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13. $\sqrt{56}$的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是 （
A.7与8
B.6与7
C.5与6
D.4与5
A
）A.7与8
B.6与7
C.5与6
D.4与5
答案
A
解析
【分析】
要判断$\sqrt{56}$在哪两个连续整数之间，核心思路是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们只需要找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于、大于56，就能通过比较平方的大小，推出$\sqrt{56}$的范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$7^2=49$，$8^2=64$
因为$49＜56＜64$，根据算术平方根的大小比较规则，可得：
$\sqrt{49}＜\sqrt{56}＜\sqrt{64}$
化简后得到$7＜\sqrt{56}＜8$
因此$\sqrt{56}$的值在7和8两个连续整数之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题，解题关键是熟练掌握常见正整数的平方，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
要判断$\sqrt{56}$在哪两个连续整数之间，核心思路是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们只需要找到两个相邻的正整数，使得它们的平方分别小于、大于56，就能通过比较平方的大小，推出$\sqrt{56}$的范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$7^2=49$，$8^2=64$
因为$49＜56＜64$，根据算术平方根的大小比较规则，可得：
$\sqrt{49}＜\sqrt{56}＜\sqrt{64}$
化简后得到$7＜\sqrt{56}＜8$
因此$\sqrt{56}$的值在7和8两个连续整数之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题，解题关键是熟练掌握常见正整数的平方，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
14. 如下图所示，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A的左侧)，且AD=AE，则点E所表示的数为 （
A.$\sqrt{7}$
B.$1-\sqrt{7}$
C.$-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}+1$
B
）A.$\sqrt{7}$
B.$1-\sqrt{7}$
C.$-\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}+1$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先根据正方形的面积求出边长AD的长度；再利用AD=AE的等量关系得到AE的长度；最后结合点A在数轴上的示数、点E在A左侧的位置特征，即可求出点E表示的数。
【解析】
1. 求正方形边长AD：
正方形的面积等于边长的平方，已知正方形ABCD面积为7，因此$AD^2=7$，由于边长为正数，可得$AD=\sqrt{7}$。
2. 确定AE的长度：
由题可知$AD=AE$，因此$AE=AD=\sqrt{7}$。
3. 计算点E表示的数：
点A在数轴上表示的数为1，且点E在点A左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点E的示数为A的示数减去AE的长度，即$1-\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算，数轴的应用，算术平方根
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础题型，解题核心是先通过正方形面积求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应点的数值，需要注意数轴上越靠左的点对应的数越小。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：首先根据正方形的面积求出边长AD的长度；再利用AD=AE的等量关系得到AE的长度；最后结合点A在数轴上的示数、点E在A左侧的位置特征，即可求出点E表示的数。
【解析】
1. 求正方形边长AD：
正方形的面积等于边长的平方，已知正方形ABCD面积为7，因此$AD^2=7$，由于边长为正数，可得$AD=\sqrt{7}$。
2. 确定AE的长度：
由题可知$AD=AE$，因此$AE=AD=\sqrt{7}$。
3. 计算点E表示的数：
点A在数轴上表示的数为1，且点E在点A左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点E的示数为A的示数减去AE的长度，即$1-\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算，数轴的应用，算术平方根
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础题型，解题核心是先通过正方形面积求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应点的数值，需要注意数轴上越靠左的点对应的数越小。
【难度系数】
0.7
15.小海和乐乐在运用计算器求$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$(其中a，b是两个正有理数)的值时，通过按键得到的$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$的结果分别如图①和图②所示，那么a和b的数量关系是（
A.$a=10b$
B.$a=100b$
C.$a=\frac{1}{10}b$
D.$a=\frac{1}{100}b$
1
$\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$
D
）A.$a=10b$
B.$a=100b$
C.$a=\frac{1}{10}b$
D.$a=\frac{1}{100}b$
1
$\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
首先观察两个算术平方根的计算结果，可知$\sqrt{b}$的数值是$\sqrt{a}$的10倍；接下来根据算术平方根与被开方数的关系，将两个算术平方根的倍数关系等式两边同时平方，即可得到a、b两个被开方数的数量关系，进而选出正确答案。
【解析】
由图可知：$\sqrt{a}\approx2.031083455$，$\sqrt{b}\approx20.31083455$
因此可得：$\sqrt{b}=10\sqrt{a}$
将等式两边同时平方，得：
$(\sqrt{b})^2=(10\sqrt{a})^2$
化简得：$b=100a$
变形可得$a=\frac{1}{100}b$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质，等式的变形
【点评】
本题考查算术平方根相关的规律应用，既可以通过观察算术平方根的小数点移动规律推导被开方数的关系，也可以通过平方运算直接推导，解题关键是理清被开方数和它的算术平方根之间的倍数对应关系。
【难度系数】
0.8
首先观察两个算术平方根的计算结果，可知$\sqrt{b}$的数值是$\sqrt{a}$的10倍；接下来根据算术平方根与被开方数的关系，将两个算术平方根的倍数关系等式两边同时平方，即可得到a、b两个被开方数的数量关系，进而选出正确答案。
【解析】
由图可知：$\sqrt{a}\approx2.031083455$，$\sqrt{b}\approx20.31083455$
因此可得：$\sqrt{b}=10\sqrt{a}$
将等式两边同时平方，得：
$(\sqrt{b})^2=(10\sqrt{a})^2$
化简得：$b=100a$
变形可得$a=\frac{1}{100}b$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质，等式的变形
【点评】
本题考查算术平方根相关的规律应用，既可以通过观察算术平方根的小数点移动规律推导被开方数的关系，也可以通过平方运算直接推导，解题关键是理清被开方数和它的算术平方根之间的倍数对应关系。
【难度系数】
0.8
16. 如图是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（
A.$2\sqrt{13}$
B.$4\sqrt{15}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{59}$
D
）A.$2\sqrt{13}$
B.$4\sqrt{15}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{59}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先将数阵中所有整数统一改写为带根号的形式，可发现所有数的被开方数是从1开始的连续正整数；再观察数阵排列，每行的数字个数与行数相等，即第k行有k个数字；要得到第11行第4个数，先计算前10行的总数字个数，就能确定所求数是整个序列的第几个数，对应得到它的被开方数，即可得到结果。
【解析】
首先将数阵中的数统一化为二次根式形式：
$1=\sqrt{1}$，$2=\sqrt{4}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，$3=\sqrt{9}$
观察可得：数阵中所有数的被开方数是从1开始依次递增的连续正整数，且第n行有n个数字。
先计算前10行的总数字个数：
$1+2+3+\dots+10=\frac{10×(10+1)}{2}=55$，即第10行最后一个数的被开方数是55。
因此第11行从左到右第4个数的被开方数为$55+4=59$，对应数为$\sqrt{59}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质，高斯求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过统一数的形式找到被开方数的排列规律，再结合行数与每行数字个数的关系定位所求数的位置，解题时注意计算前n行总数不要出错即可。
【难度系数】
0.7
解题时先将数阵中所有整数统一改写为带根号的形式，可发现所有数的被开方数是从1开始的连续正整数；再观察数阵排列，每行的数字个数与行数相等，即第k行有k个数字；要得到第11行第4个数，先计算前10行的总数字个数，就能确定所求数是整个序列的第几个数，对应得到它的被开方数，即可得到结果。
【解析】
首先将数阵中的数统一化为二次根式形式：
$1=\sqrt{1}$，$2=\sqrt{4}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，$3=\sqrt{9}$
观察可得：数阵中所有数的被开方数是从1开始依次递增的连续正整数，且第n行有n个数字。
先计算前10行的总数字个数：
$1+2+3+\dots+10=\frac{10×(10+1)}{2}=55$，即第10行最后一个数的被开方数是55。
因此第11行从左到右第4个数的被开方数为$55+4=59$，对应数为$\sqrt{59}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质，高斯求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过统一数的形式找到被开方数的排列规律，再结合行数与每行数字个数的关系定位所求数的位置，解题时注意计算前n行总数不要出错即可。
【难度系数】
0.7
17.已知$\sqrt{1.33}\approx1.153$，$\sqrt{x}\approx0.1153$，那么$x=$
0.0133
。答案
0.0133
解析
【分析】
解题时首先观察已知的$\sqrt{1.33}\approx1.153$和待求的$\sqrt{x}\approx0.1153$的数值关系，发现0.1153是1.153的小数点向左移动1位得到的，也就是算术平方根缩小到原来的$\frac{1}{10}$。再结合算术平方根与被开方数的变化规律：算术平方根的小数点向左移动1位，对应被开方数的小数点向左移动2位，据此即可求出x的值。
【解析】
已知$\sqrt{1.33}\approx1.153$，$\sqrt{x}\approx0.1153$，观察可得$0.1153=1.153×0.1$。
根据被开方数与算术平方根的小数点移动规律：算术平方根的小数点向左移动1位，对应的被开方数的小数点需要向左移动2位。
将1.33的小数点向左移动2位，得到0.0133，因此$x=0.0133$。
【答案】
0.0133
【知识点】
算术平方根的性质；小数点移动规律
【点评】
本题考查算术平方根相关的变化规律，解题关键是掌握被开方数和算术平方根的小数点移动位数的对应关系，熟练运用规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知的$\sqrt{1.33}\approx1.153$和待求的$\sqrt{x}\approx0.1153$的数值关系，发现0.1153是1.153的小数点向左移动1位得到的，也就是算术平方根缩小到原来的$\frac{1}{10}$。再结合算术平方根与被开方数的变化规律：算术平方根的小数点向左移动1位，对应被开方数的小数点向左移动2位，据此即可求出x的值。
【解析】
已知$\sqrt{1.33}\approx1.153$，$\sqrt{x}\approx0.1153$，观察可得$0.1153=1.153×0.1$。
根据被开方数与算术平方根的小数点移动规律：算术平方根的小数点向左移动1位，对应的被开方数的小数点需要向左移动2位。
将1.33的小数点向左移动2位，得到0.0133，因此$x=0.0133$。
【答案】
0.0133
【知识点】
算术平方根的性质；小数点移动规律
【点评】
本题考查算术平方根相关的变化规律，解题关键是掌握被开方数和算术平方根的小数点移动位数的对应关系，熟练运用规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
18.若$\sqrt{(a-1)^2}$与$\sqrt{b+1}$互为相反数，则$a^{2008} - b^{2009}=$
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，得到两个算术平方根的和为0；再结合算术平方根的非负性（即算术平方根的结果一定大于等于0），可推出两个算术平方根各自的值都为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-1)^2}$与$\sqrt{b+1}$互为相反数
∴$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{b+1} = 0$
又
∵算术平方根具有非负性，即$\sqrt{(a-1)^2} ≥ 0$，$\sqrt{b+1} ≥ 0$
∴只有当$\sqrt{(a-1)^2}=0$且$\sqrt{b+1}=0$时，等式成立
由$\sqrt{(a-1)^2}=0$得：$(a-1)^2=0$，解得$a=1$
由$\sqrt{b+1}=0$得：$b+1=0$，解得$b=-1$
将$a=1$，$b=-1$代入$a^{2008} - b^{2009}$得：
$1^{2008} - (-1)^{2009} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的非负性；相反数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0，这类题型是代数部分的基础常考题型，掌握非负性的常见应用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，得到两个算术平方根的和为0；再结合算术平方根的非负性（即算术平方根的结果一定大于等于0），可推出两个算术平方根各自的值都为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-1)^2}$与$\sqrt{b+1}$互为相反数
∴$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{b+1} = 0$
又
∵算术平方根具有非负性，即$\sqrt{(a-1)^2} ≥ 0$，$\sqrt{b+1} ≥ 0$
∴只有当$\sqrt{(a-1)^2}=0$且$\sqrt{b+1}=0$时，等式成立
由$\sqrt{(a-1)^2}=0$得：$(a-1)^2=0$，解得$a=1$
由$\sqrt{b+1}=0$得：$b+1=0$，解得$b=-1$
将$a=1$，$b=-1$代入$a^{2008} - b^{2009}$得：
$1^{2008} - (-1)^{2009} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的非负性；相反数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0，这类题型是代数部分的基础常考题型，掌握非负性的常见应用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.8
19.已知$\sqrt{19}-2$的整数部分是$m$，小数部分是$n$，则$m=$
2
，$n=$$\sqrt{19}-4$
。答案
2，$\sqrt{19}-4$
解析
【分析】
解题时首先使用夹逼法估算无理数$\sqrt{19}$的取值范围，再通过不等式的运算得到$\sqrt{19}-2$的取值范围，即可确定它的整数部分$m$；最后根据“小数部分 = 原数 - 整数部分”的关系计算出小数部分$n$。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{19}$的范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$。
第二步：求$\sqrt{19}-2$的范围
给上述不等式各部分同时减2，得$4-2＜\sqrt{19}-2＜5-2$，即$2＜\sqrt{19}-2＜3$。
由此可得$\sqrt{19}-2$的整数部分$m=2$。
第三步：计算小数部分$n$
根据小数部分的定义，小数部分等于原数减去整数部分，因此：
$n=(\sqrt{19}-2)-m=\sqrt{19}-2-2=\sqrt{19}-4$。
【答案】
$2$，$\sqrt{19}-4$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数整数与小数部分的概念
【点评】
本题核心考察无理数的估算技巧，解题关键是利用相邻完全平方数夹逼出无理数的取值范围，再结合整数、小数部分的对应关系求解，是实数章节的典型基础题，需熟练掌握夹逼法的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先使用夹逼法估算无理数$\sqrt{19}$的取值范围，再通过不等式的运算得到$\sqrt{19}-2$的取值范围，即可确定它的整数部分$m$；最后根据“小数部分 = 原数 - 整数部分”的关系计算出小数部分$n$。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{19}$的范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$。
第二步：求$\sqrt{19}-2$的范围
给上述不等式各部分同时减2，得$4-2＜\sqrt{19}-2＜5-2$，即$2＜\sqrt{19}-2＜3$。
由此可得$\sqrt{19}-2$的整数部分$m=2$。
第三步：计算小数部分$n$
根据小数部分的定义，小数部分等于原数减去整数部分，因此：
$n=(\sqrt{19}-2)-m=\sqrt{19}-2-2=\sqrt{19}-4$。
【答案】
$2$，$\sqrt{19}-4$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数整数与小数部分的概念
【点评】
本题核心考察无理数的估算技巧，解题关键是利用相邻完全平方数夹逼出无理数的取值范围，再结合整数、小数部分的对应关系求解，是实数章节的典型基础题，需熟练掌握夹逼法的应用。
【难度系数】
0.7
20.有一列数按一定规律排列：$\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{5}}{6}, -\frac{\sqrt{7}}{8}, \frac{3}{10}, -\frac{\sqrt{11}}{12}, \dots$, 则第$n$个数是
$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$
。答案
$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$
解析
【分析】
要推导这列数的第n项，可将每个数拆分为符号、分母、分子三个独立部分分别探究规律：首先观察符号，奇数项为正、偶数项为负，可借助(-1)的乘方表示符号规律；再观察分母，所有分母都是连续偶数，第1项分母是2×1，第2项是2×2，以此类推可推出第n项的分母；最后观察分子，注意第5项的3可还原为$\sqrt{9}$，此时所有分子的被开方数都是连续奇数，第1项被开方数是2×1-1，第2项是2×2-1，即可推出第n项的分子，最后将三部分规律组合即可。
【解析】
1. 符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正……奇数项正、偶数项负，因此符号可表示为$(-1)^{n+1}$（n为奇数时结果为1，对应正号；n为偶数时结果为-1，对应负号，符合规律）。
2. 分母规律：第1项分母为$2=2×1$，第2项分母为$4=2×2$，第3项分母为$6=2×3$……因此第n项的分母为$2n$。
3. 分子规律：将第5项的3改写为$\sqrt{9}$后，各分子的被开方数依次为1、3、5、7、9、11……是连续奇数，第1项被开方数为$1=2×1-1$，第2项被开方数为$3=2×2-1$……因此第n项的分子为$\sqrt{2n-1}$。
将三部分规律组合，可得第n个数为$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$。
【答案】
$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，代数式表示，乘方符号规律
【点评】
解决数列找规律问题时，通常可将数列拆分为符号、分子、分母等部分分别探究规律，遇到形式特殊的项可先还原为统一形式，更容易发现共性规律。
【难度系数】
0.7
要推导这列数的第n项，可将每个数拆分为符号、分母、分子三个独立部分分别探究规律：首先观察符号，奇数项为正、偶数项为负，可借助(-1)的乘方表示符号规律；再观察分母，所有分母都是连续偶数，第1项分母是2×1，第2项是2×2，以此类推可推出第n项的分母；最后观察分子，注意第5项的3可还原为$\sqrt{9}$，此时所有分子的被开方数都是连续奇数，第1项被开方数是2×1-1，第2项是2×2-1，即可推出第n项的分子，最后将三部分规律组合即可。
【解析】
1. 符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正……奇数项正、偶数项负，因此符号可表示为$(-1)^{n+1}$（n为奇数时结果为1，对应正号；n为偶数时结果为-1，对应负号，符合规律）。
2. 分母规律：第1项分母为$2=2×1$，第2项分母为$4=2×2$，第3项分母为$6=2×3$……因此第n项的分母为$2n$。
3. 分子规律：将第5项的3改写为$\sqrt{9}$后，各分子的被开方数依次为1、3、5、7、9、11……是连续奇数，第1项被开方数为$1=2×1-1$，第2项被开方数为$3=2×2-1$……因此第n项的分子为$\sqrt{2n-1}$。
将三部分规律组合，可得第n个数为$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$。
【答案】
$(-1)^{n+1}\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，代数式表示，乘方符号规律
【点评】
解决数列找规律问题时，通常可将数列拆分为符号、分子、分母等部分分别探究规律，遇到形式特殊的项可先还原为统一形式，更容易发现共性规律。
【难度系数】
0.7
