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21. 某市决定在一块面积为$1100\ \mathrm{m}^2$的正方形空地上建一个足球场以供全民健身.已知足球场的面积为$540\ \mathrm{m}^2$,其中长是宽的$\frac{5}{3}$倍,足球场的四周必须留出$1\ \mathrm{m}$宽的空地,这块空地能否成功建一个符合规定的足球场?
答案
解:设足球场的宽为 $x$ m,则长为$\dfrac{5}{3}x$ m,根据题意,得
$x · \dfrac{5}{3}x = 540, x^2 = 324.$
$\because x$ 为正数,
$\therefore x = \sqrt{324} = 18.$
$\therefore$ 足球场的长为 $\dfrac{5}{3} × 18 = 30(\mathrm{m}).$
$\because (30+2)^2 = 1024 ＜ 1100,$
$\therefore$ 这块空地能建一个符合规定的足球场.
$x · \dfrac{5}{3}x = 540, x^2 = 324.$
$\because x$ 为正数,
$\therefore x = \sqrt{324} = 18.$
$\therefore$ 足球场的长为 $\dfrac{5}{3} × 18 = 30(\mathrm{m}).$
$\because (30+2)^2 = 1024 ＜ 1100,$
$\therefore$ 这块空地能建一个符合规定的足球场.
解析
【分析】
要判断这块空地能否建符合要求的足球场，可按以下思路思考：①先根据足球场的面积以及长与宽的数量关系，设未知数列出方程，求出足球场的实际长和宽；②因为四周要留1m宽的空地，放置足球场需要的最小正方形边长为足球场的长加2m（长比宽大，只要长方向满足要求，宽方向必然满足）；③计算所需最小正方形的面积，和已知空地的面积1100m²比较，若小于等于1100则能建，否则不能。
【解析】
设足球场的宽为 $x$ m，则长为$\dfrac{5}{3}x$ m，根据足球场面积为540$\mathrm{m}^2$列方程：
$x · \dfrac{5}{3}x = 540$
整理得：$x^2 = 324$
$\because x$ 代表宽度，为正数，
$\therefore x = \sqrt{324} = 18$
则足球场的长为：$\dfrac{5}{3} × 18 = 30(\mathrm{m})$
四周留出1m宽的空地后，所需正方形场地的边长为 $30+1×2=32(\mathrm{m})$，所需面积为$32^2=1024(\mathrm{m}^2)$
$\because 1024 ＜ 1100$
$\therefore$ 这块空地能建符合规定的足球场。
【答案】
这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
【知识点】
一元二次方程应用；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查实际问题的求解能力，解题核心是先通过方程求出足球场的长宽，再结合预留空地的要求计算所需场地规模，和现有场地参数对比即可得到结论，需注意四周预留空地意味着长和宽都要各加2m，避免漏加单边的错误。
【难度系数】
0.7
要判断这块空地能否建符合要求的足球场，可按以下思路思考：①先根据足球场的面积以及长与宽的数量关系，设未知数列出方程，求出足球场的实际长和宽；②因为四周要留1m宽的空地，放置足球场需要的最小正方形边长为足球场的长加2m（长比宽大，只要长方向满足要求，宽方向必然满足）；③计算所需最小正方形的面积，和已知空地的面积1100m²比较，若小于等于1100则能建，否则不能。
【解析】
设足球场的宽为 $x$ m，则长为$\dfrac{5}{3}x$ m，根据足球场面积为540$\mathrm{m}^2$列方程：
$x · \dfrac{5}{3}x = 540$
整理得：$x^2 = 324$
$\because x$ 代表宽度，为正数，
$\therefore x = \sqrt{324} = 18$
则足球场的长为：$\dfrac{5}{3} × 18 = 30(\mathrm{m})$
四周留出1m宽的空地后，所需正方形场地的边长为 $30+1×2=32(\mathrm{m})$，所需面积为$32^2=1024(\mathrm{m}^2)$
$\because 1024 ＜ 1100$
$\therefore$ 这块空地能建符合规定的足球场。
【答案】
这块空地能成功建一个符合规定的足球场。
【知识点】
一元二次方程应用；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查实际问题的求解能力，解题核心是先通过方程求出足球场的长宽，再结合预留空地的要求计算所需场地规模，和现有场地参数对比即可得到结论，需注意四周预留空地意味着长和宽都要各加2m，避免漏加单边的错误。
【难度系数】
0.7
22.杨老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为$2m - 6$,它的平方根为$\pm (m - 2)$,求这个数.
小孟的解法如下:
杨老师看到后,说小孟的解法是错误的.你知道小孟错在哪里吗?请你予以改正.
小孟的解法如下:
杨老师看到后,说小孟的解法是错误的.你知道小孟错在哪里吗?请你予以改正.
答案
解:小孟的解法在第⑤步开始出错.
改正如下:
$\because 2m-6$ 是某个数的算术平方根,
$\therefore 2m-6$ 为非负数.
当 $m = \dfrac{8}{3}$ 时,$2m-6 = -\dfrac{2}{3} ＜ 0.$
$\therefore m = \dfrac{8}{3}$ 不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为 4.
改正如下:
$\because 2m-6$ 是某个数的算术平方根,
$\therefore 2m-6$ 为非负数.
当 $m = \dfrac{8}{3}$ 时,$2m-6 = -\dfrac{2}{3} ＜ 0.$
$\therefore m = \dfrac{8}{3}$ 不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为 4.
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根与平方根的性质差异：一个正数的平方根有两个，互为相反数，而它的算术平方根是平方根中为非负数的那一个，这是隐含的限制条件。小孟解题时仅考虑了算术平方根和平方根的数值对应关系，没有验证算术平方根的非负性，因此出现了多余的错误解。解题时先分两种情况求出m的可能取值，再根据算术平方根≥0的要求排除不符合题意的m，最后计算出正确的结果即可。
【解析】
小孟的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，第⑤步算出$2m-6=-\dfrac{2}{3}$时，未判断该结果是否符合算术平方根的定义就直接计算所求数，导致出现增解。
改正如下：
$\because 2m-6$是某个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，算术平方根为非负数，
$\therefore 2m-6≥ 0$。
当$2m-6=m-2$时，解得$m=4$，
此时$2m-6=2× 4-6=2≥ 0$，符合要求，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
当$2m-6=-(m-2)$时，解得$m=\dfrac{8}{3}$，
此时$2m-6=2×\dfrac{8}{3}-6=-\dfrac{2}{3}＜0$，不符合算术平方根非负的要求，
$\therefore m=\dfrac{8}{3}$不合题意，舍去。
综上所述，这个数为4。
【答案】
这个数为$\boxed{4}$
【知识点】
算术平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易只关注算术平方根和平方根的数值关联，忽略算术平方根的非负性导致出现多余解，完成计算后要注意结合定义检验结果是否符合要求。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确算术平方根与平方根的性质差异：一个正数的平方根有两个，互为相反数，而它的算术平方根是平方根中为非负数的那一个，这是隐含的限制条件。小孟解题时仅考虑了算术平方根和平方根的数值对应关系，没有验证算术平方根的非负性，因此出现了多余的错误解。解题时先分两种情况求出m的可能取值，再根据算术平方根≥0的要求排除不符合题意的m，最后计算出正确的结果即可。
【解析】
小孟的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，第⑤步算出$2m-6=-\dfrac{2}{3}$时，未判断该结果是否符合算术平方根的定义就直接计算所求数，导致出现增解。
改正如下：
$\because 2m-6$是某个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，算术平方根为非负数，
$\therefore 2m-6≥ 0$。
当$2m-6=m-2$时，解得$m=4$，
此时$2m-6=2× 4-6=2≥ 0$，符合要求，
$\therefore$ 这个数为$2^2=4$。
当$2m-6=-(m-2)$时，解得$m=\dfrac{8}{3}$，
此时$2m-6=2×\dfrac{8}{3}-6=-\dfrac{2}{3}＜0$，不符合算术平方根非负的要求，
$\therefore m=\dfrac{8}{3}$不合题意，舍去。
综上所述，这个数为4。
【答案】
这个数为$\boxed{4}$
【知识点】
算术平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易只关注算术平方根和平方根的数值关联，忽略算术平方根的非负性导致出现多余解，完成计算后要注意结合定义检验结果是否符合要求。
【难度系数】
0.6
