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(3)若$x^2=(-5)^2$，则$x=$
±5
;答案
±5
解析
【分析】
解题时首先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，将原等式简化为$x^2$等于一个正数的形式，再根据平方的运算特点：互为相反数的两个数的平方相等，即可求出$x$的所有可能取值。
【解析】
解：先计算等式右边的乘方：
$(-5)^2 = 25$
因此原等式可转化为：$x^2 = 25$
因为$5^2=25$，$(-5)^2=25$，即平方等于25的数为$\pm5$，所以$x=\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
乘方运算；平方根的性质
【点评】
本题是基础运算题，重点考查乘方的计算和正数平方根的特点，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负数值。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，将原等式简化为$x^2$等于一个正数的形式，再根据平方的运算特点：互为相反数的两个数的平方相等，即可求出$x$的所有可能取值。
【解析】
解：先计算等式右边的乘方：
$(-5)^2 = 25$
因此原等式可转化为：$x^2 = 25$
因为$5^2=25$，$(-5)^2=25$，即平方等于25的数为$\pm5$，所以$x=\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
乘方运算；平方根的性质
【点评】
本题是基础运算题，重点考查乘方的计算和正数平方根的特点，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负数值。
【难度系数】
0.8
(4)若$(-x)^2=1.21$，则$x=$
±1.1
。答案
±1.1
解析
【分析】
解题时首先化简等式左侧的乘方项，根据乘方的性质，负数的偶次幂为正，可得$(-x)^2=x^2$，将原等式转化为$x^2=1.21$；再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，找到平方等于1.21的数即可，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\because (-x)^2=x^2$
$\therefore$ 原等式可变形为 $x^2=1.21$
又$\because (\pm1.1)^2=1.21$
$\therefore x=\pm1.1$
【答案】
$\pm1.1$
【知识点】
乘方的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方化简和平方根的求解，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负根导致失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先化简等式左侧的乘方项，根据乘方的性质，负数的偶次幂为正，可得$(-x)^2=x^2$，将原等式转化为$x^2=1.21$；再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，找到平方等于1.21的数即可，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\because (-x)^2=x^2$
$\therefore$ 原等式可变形为 $x^2=1.21$
又$\because (\pm1.1)^2=1.21$
$\therefore x=\pm1.1$
【答案】
$\pm1.1$
【知识点】
乘方的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方化简和平方根的求解，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负根导致失分。
【难度系数】
0.8
8.若$x$是25的平方根，$y$是$(-3)^2$的算术平方根，则$x^y$的值为
125或−125
。答案
125或−125
解析
【分析】
解题时先明确平方根和算术平方根的定义，第一步根据平方根的定义求出x的所有可能取值，第二步根据算术平方根的定义求出y的取值，最后分两种情况代入计算x^y即可，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
1. 求x的值：
x是25的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因此$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$；
2. 求y的值：
先计算$(-3)^2=9$，y是9的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$y=\sqrt{9}=3$；
3. 计算$x^y$的值：
当$x=5$时，$x^y=5^3=5×5×5=125$；
当$x=-5$时，$x^y=(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$。
【答案】
125或−125
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题易错点是忽略正数的平方根有两个，仅取x=5导致漏解，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念，算术平方根只有非负结果，计算负数的奇数次乘方时结果仍为负数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确平方根和算术平方根的定义，第一步根据平方根的定义求出x的所有可能取值，第二步根据算术平方根的定义求出y的取值，最后分两种情况代入计算x^y即可，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
1. 求x的值：
x是25的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因此$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$；
2. 求y的值：
先计算$(-3)^2=9$，y是9的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$y=\sqrt{9}=3$；
3. 计算$x^y$的值：
当$x=5$时，$x^y=5^3=5×5×5=125$；
当$x=-5$时，$x^y=(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$。
【答案】
125或−125
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题易错点是忽略正数的平方根有两个，仅取x=5导致漏解，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念，算术平方根只有非负结果，计算负数的奇数次乘方时结果仍为负数。
【难度系数】
0.7
9. 求下列各数的平方根：
(1) $\frac{64}{81}$；
(2) $6^2$；
(3) $0.49$。
(1) $\frac{64}{81}$；
(2) $6^2$；
(3) $0.49$。
答案
(1)±$\dfrac{8}{9}$ (2)±6 (3)±0.7
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；同时明确平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0。本题给出的三个数均为正数，因此各有两个平方根，解题时找到平方后等于对应数的两个互为相反数的数即可，第(2)小题可以先计算出$6^2$的结果，再求其平方根，降低出错率。
【解析】
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，解题过程如下：
(1) 因为$(\pm \dfrac{8}{9})^2=\dfrac{64}{81}$，所以$\dfrac{64}{81}$的平方根为$\pm \dfrac{8}{9}$；
(2) 先化简得$6^2=36$，又因为$(\pm 6)^2=36$，所以$6^2$的平方根为$\pm 6$；
(3) 因为$(\pm 0.7)^2=0.49$，所以$0.49$的平方根为$\pm 0.7$。
【答案】
(1)$\pm \dfrac{8}{9}$；(2)$\pm 6$；(3)$\pm 0.7$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对平方根概念的掌握，解题时需注意不要漏写正数的负平方根，遇到带运算的数时可先化简再求平方根，能有效减少错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；同时明确平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0。本题给出的三个数均为正数，因此各有两个平方根，解题时找到平方后等于对应数的两个互为相反数的数即可，第(2)小题可以先计算出$6^2$的结果，再求其平方根，降低出错率。
【解析】
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，解题过程如下：
(1) 因为$(\pm \dfrac{8}{9})^2=\dfrac{64}{81}$，所以$\dfrac{64}{81}$的平方根为$\pm \dfrac{8}{9}$；
(2) 先化简得$6^2=36$，又因为$(\pm 6)^2=36$，所以$6^2$的平方根为$\pm 6$；
(3) 因为$(\pm 0.7)^2=0.49$，所以$0.49$的平方根为$\pm 0.7$。
【答案】
(1)$\pm \dfrac{8}{9}$；(2)$\pm 6$；(3)$\pm 0.7$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对平方根概念的掌握，解题时需注意不要漏写正数的负平方根，遇到带运算的数时可先化简再求平方根，能有效减少错误。
【难度系数】
0.8
10. 计算：$\sqrt{25} - \sqrt{81} + \sqrt{\frac{121}{49}} × \sqrt{196}.$
答案
解:$\sqrt{25} - \sqrt{81} + \sqrt{\dfrac{121}{49}} × \sqrt{196} = 5 - 9 + \dfrac{11}{7}×14 = 18.$
解析
【分析】
本题是包含算术平方根的混合运算题，解题思路如下：第一步先根据算术平方根的定义，分别求出每个算术平方根的值，注意算术平方根的结果均为非负数；第二步按照实数混合运算的顺序，先计算乘法运算，再计算加减运算，计算乘法时可先约分再计算，简化运算过程，减少计算错误。
【解析】
先分别计算各算术平方根：
$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{\frac{121}{49}}=\frac{11}{7}$，$\sqrt{196}=14$
将结果代入原式，按照先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - 9 + \frac{11}{7} × 14\\&=5-9+22\\&=-4+22\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$18$
【知识点】
算术平方根的计算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查算术平方根的化简能力和四则运算顺序的应用能力，计算时注意不要弄错算术平方根的符号，乘法运算优先约分可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.85
本题是包含算术平方根的混合运算题，解题思路如下：第一步先根据算术平方根的定义，分别求出每个算术平方根的值，注意算术平方根的结果均为非负数；第二步按照实数混合运算的顺序，先计算乘法运算，再计算加减运算，计算乘法时可先约分再计算，简化运算过程，减少计算错误。
【解析】
先分别计算各算术平方根：
$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{\frac{121}{49}}=\frac{11}{7}$，$\sqrt{196}=14$
将结果代入原式，按照先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - 9 + \frac{11}{7} × 14\\&=5-9+22\\&=-4+22\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$18$
【知识点】
算术平方根的计算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查算术平方根的化简能力和四则运算顺序的应用能力，计算时注意不要弄错算术平方根的符号，乘法运算优先约分可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.85
11. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ 25x^2 - 49 = 0 $；
(2) $ 2(x + 1)^2 - 49 = 1 $。
(1) $ 25x^2 - 49 = 0 $；
(2) $ 2(x + 1)^2 - 49 = 1 $。
答案
解:(1)$25x^2 - 49 = 0$,
$25x^2 = 49$,
$x^2 = \dfrac{49}{25}$,
$x = \dfrac{7}{5}$ 或 $x = -\dfrac{7}{5}$.
(2)$2(x+1)^2 - 49 = 1$,
$2(x+1)^2 = 50$,
$(x+1)^2 = 25$,
$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$,
$x = 4$ 或 $x = -6$.
$25x^2 = 49$,
$x^2 = \dfrac{49}{25}$,
$x = \dfrac{7}{5}$ 或 $x = -\dfrac{7}{5}$.
(2)$2(x+1)^2 - 49 = 1$,
$2(x+1)^2 = 50$,
$(x+1)^2 = 25$,
$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$,
$x = 4$ 或 $x = -6$.
解析
【分析】
这两道题都是利用平方根的性质求解未知数的题型，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1的操作，把式子整理为“含x的代数式的平方等于正数”的形式；再根据正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方，得到两个一元一次方程；最后解一元一次方程得到x的值，注意不要漏解负根。第二小问可以将(x+1)看作一个整体处理，简化计算步骤。
【解析】
(1) 解方程$25x^2 - 49 = 0$：
移项得：$25x^2 = 49$
系数化为1得：$x^2 = \dfrac{49}{25}$
开平方得：$x = \dfrac{7}{5}$ 或 $x = -\dfrac{7}{5}$
(2) 解方程$2(x + 1)^2 - 49 = 1$：
移项得：$2(x+1)^2 = 50$
系数化为1得：$(x+1)^2 = 25$
开平方得：$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$
分别解得：$x = 4$ 或 $x = -6$
【答案】
(1) $x=\dfrac{7}{5}$或$x=-\dfrac{7}{5}$；(2) $x=4$或$x=-6$
【知识点】
平方根的性质、直接开平方法解方程、整体思想
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对平方根性质的理解，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根，第二小问运用整体思想可快速理清解题思路，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这两道题都是利用平方根的性质求解未知数的题型，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1的操作，把式子整理为“含x的代数式的平方等于正数”的形式；再根据正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方，得到两个一元一次方程；最后解一元一次方程得到x的值，注意不要漏解负根。第二小问可以将(x+1)看作一个整体处理，简化计算步骤。
【解析】
(1) 解方程$25x^2 - 49 = 0$：
移项得：$25x^2 = 49$
系数化为1得：$x^2 = \dfrac{49}{25}$
开平方得：$x = \dfrac{7}{5}$ 或 $x = -\dfrac{7}{5}$
(2) 解方程$2(x + 1)^2 - 49 = 1$：
移项得：$2(x+1)^2 = 50$
系数化为1得：$(x+1)^2 = 25$
开平方得：$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$
分别解得：$x = 4$ 或 $x = -6$
【答案】
(1) $x=\dfrac{7}{5}$或$x=-\dfrac{7}{5}$；(2) $x=4$或$x=-6$
【知识点】
平方根的性质、直接开平方法解方程、整体思想
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对平方根性质的理解，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根，第二小问运用整体思想可快速理清解题思路，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
12. 已知$\sqrt{2a - 18} + |b - 1| = 0$，则$\frac{a}{b}$的算术平方根是（
A.3
B.$\pm3$
C.$-3$
D.$\frac{1}{3}$
A
）A.3
B.$\pm3$
C.$-3$
D.$\frac{1}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数（即大于等于0）。若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须都等于0，据此我们可以先列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再计算$\frac{a}{b}$的算术平方根，注意算术平方根的结果是非负的，排除负的结果即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2a-18} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且二者相加等于0
∴ 可列两个等式：
$2a - 18 = 0$，$b - 1 = 0$
解第一个等式：$2a = 18$，得$a = 9$
解第二个等式：得$b = 1$
∴ $\frac{a}{b} = \frac{9}{1} = 9$
∵ 9的算术平方根是非负的，结果为3
∴ 本题选A
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、绝对值的性质
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”，同时要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果仅为非负数，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数（即大于等于0）。若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须都等于0，据此我们可以先列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再计算$\frac{a}{b}$的算术平方根，注意算术平方根的结果是非负的，排除负的结果即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2a-18} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且二者相加等于0
∴ 可列两个等式：
$2a - 18 = 0$，$b - 1 = 0$
解第一个等式：$2a = 18$，得$a = 9$
解第二个等式：得$b = 1$
∴ $\frac{a}{b} = \frac{9}{1} = 9$
∵ 9的算术平方根是非负的，结果为3
∴ 本题选A
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、绝对值的性质
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”，同时要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果仅为非负数，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
