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判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
1. $(a-3)^2 = a^2 -6a +9$. （
2. $(a+b)(a-b)=a^2 -b^2$. （
3. $(a+b)^2 =a^2 +b^2$. （
4. $(2x-3y)^2=4x^2 -12xy +9y^2$. （
5. $(a-b)^2=(b-a)^2$. （
1. $(a-3)^2 = a^2 -6a +9$. （
√
）2. $(a+b)(a-b)=a^2 -b^2$. （
√
）3. $(a+b)^2 =a^2 +b^2$. （
×
）4. $(2x-3y)^2=4x^2 -12xy +9y^2$. （
√
）5. $(a-b)^2=(b-a)^2$. （
√
）答案
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
解析
【分析】
本组题目考查整式乘法的平方差公式、完全平方公式以及偶次幂的性质。解题时首先回忆两个乘法公式的标准形式：1. 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，再逐题将式子展开和右侧对比即可判断，第5题可结合互为相反数的两个数偶次幂相等的性质判断。
【解析】
1. 根据完全平方差公式展开：$(a-3)^2=a^2-2× a×3 +3^2=a^2-6a+9$，与等号右侧一致，故说法正确。
2. 该式是平方差公式的标准形式，展开结果为$a^2-b^2$，与等号右侧一致，故说法正确。
3. 根据完全平方和公式展开：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，题目给出的结果缺少$2ab$项，与展开结果不符，故说法错误。
4. 把$2x$看作公式里的$a$，$3y$看作公式里的$b$，用完全平方差公式展开：$(2x-3y)^2=(2x)^2-2×2x×3y +(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，与等号右侧一致，故说法正确。
5. 因为$b-a=-(a-b)$，所以$(b-a)^2=[-(a-b)]^2=(-1)^2×(a-b)^2=(a-b)^2$，左右两边相等，故说法正确。
【答案】
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，偶次幂的性质
【点评】
本题属于乘法公式的基础巩固类习题，核心考查对两个乘法公式结构的掌握程度，做题时要注意牢记完全平方公式的中间交叉项，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
本组题目考查整式乘法的平方差公式、完全平方公式以及偶次幂的性质。解题时首先回忆两个乘法公式的标准形式：1. 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，再逐题将式子展开和右侧对比即可判断，第5题可结合互为相反数的两个数偶次幂相等的性质判断。
【解析】
1. 根据完全平方差公式展开：$(a-3)^2=a^2-2× a×3 +3^2=a^2-6a+9$，与等号右侧一致，故说法正确。
2. 该式是平方差公式的标准形式，展开结果为$a^2-b^2$，与等号右侧一致，故说法正确。
3. 根据完全平方和公式展开：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，题目给出的结果缺少$2ab$项，与展开结果不符，故说法错误。
4. 把$2x$看作公式里的$a$，$3y$看作公式里的$b$，用完全平方差公式展开：$(2x-3y)^2=(2x)^2-2×2x×3y +(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，与等号右侧一致，故说法正确。
5. 因为$b-a=-(a-b)$，所以$(b-a)^2=[-(a-b)]^2=(-1)^2×(a-b)^2=(a-b)^2$，左右两边相等，故说法正确。
【答案】
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，偶次幂的性质
【点评】
本题属于乘法公式的基础巩固类习题，核心考查对两个乘法公式结构的掌握程度，做题时要注意牢记完全平方公式的中间交叉项，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列不能用平方差公式运算的是（
A.$(-x+2)(-x-2)$
B.$(-2m-n)(-2m-n)$
C.$(-2a+b)(2a+b)$
D.$(y-x)(-x-y)$
B
）A.$(-x+2)(-x-2)$
B.$(-2m-n)(-2m-n)$
C.$(-2a+b)(2a+b)$
D.$(y-x)(-x-y)$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该结构即可用平方差公式运算。我们只需要逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在“一组相同项、一组相反项”的结构，不满足该结构的就是本题答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心结构是两个相乘的二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项逐一判断：
A. $(-x+2)(-x-2)$：相同项为$-x$，相反项为$2$和$-2$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算；
B. $(-2m-n)(-2m-n)=(-2m-n)^2$：两个因式的两项均完全相同，不存在相反项，属于完全平方公式的适用范围，不能用平方差公式运算；
C. $(-2a+b)(2a+b)$：相同项为$b$，相反项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算；
D. $(y-x)(-x-y)=(-x+y)(-x-y)$：相同项为$-x$，相反项为$y$和$-y$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题的关键是准确找到两个因式中的相同项和相反项，注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该结构即可用平方差公式运算。我们只需要逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在“一组相同项、一组相反项”的结构，不满足该结构的就是本题答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心结构是两个相乘的二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项逐一判断：
A. $(-x+2)(-x-2)$：相同项为$-x$，相反项为$2$和$-2$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算；
B. $(-2m-n)(-2m-n)=(-2m-n)^2$：两个因式的两项均完全相同，不存在相反项，属于完全平方公式的适用范围，不能用平方差公式运算；
C. $(-2a+b)(2a+b)$：相同项为$b$，相反项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算；
D. $(y-x)(-x-y)=(-x+y)(-x-y)$：相同项为$-x$，相反项为$y$和$-y$，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式运算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题的关键是准确找到两个因式中的相同项和相反项，注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 小明在下面的计算中只做对了一道题，
他做对的题目是 （
A.$(a^2)^5 = a^7$
B.$(a-1)^2 = a^2 -1$
C.$3a^2 -2a = a$
D.$(-a+2)(-a-2) = a^2 -4$
他做对的题目是 （
D
）A.$(a^2)^5 = a^7$
B.$(a-1)^2 = a^2 -1$
C.$3a^2 -2a = a$
D.$(-a+2)(-a-2) = a^2 -4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路为：依次回忆每个选项对应的运算法则，分别计算出正确结果，再与选项给出的式子对比，逐一排除错误选项，最终找出唯一正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^5=a^{2×5}=a^{10}≠ a^7$，因此A错误。
选项B：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=1$，可得$(a-1)^2=a^2-2a+1≠ a^2-1$，因此B错误。
选项C：$3a^2$和$2a$所含字母相同，但相同字母$a$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此C错误。
选项D：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，把$-a$看作$m$、2看作$n$，可得$(-a+2)(-a-2)=(-a)^2-2^2=a^2-4$，与选项表述一致，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，重点要求学生区分易混淆的运算法则和乘法公式，掌握同类项的判断标准，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路为：依次回忆每个选项对应的运算法则，分别计算出正确结果，再与选项给出的式子对比，逐一排除错误选项，最终找出唯一正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^5=a^{2×5}=a^{10}≠ a^7$，因此A错误。
选项B：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入$m=a、n=1$，可得$(a-1)^2=a^2-2a+1≠ a^2-1$，因此B错误。
选项C：$3a^2$和$2a$所含字母相同，但相同字母$a$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此C错误。
选项D：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，把$-a$看作$m$、2看作$n$，可得$(-a+2)(-a-2)=(-a)^2-2^2=a^2-4$，与选项表述一致，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，重点要求学生区分易混淆的运算法则和乘法公式，掌握同类项的判断标准，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000 km外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为 (
A.$3.84×10^4$
B.$3.84×10^5$
C.$3.84×10^6$
D.$38.4×10^5$
B
)A.$3.84×10^4$
B.$3.84×10^5$
C.$3.84×10^6$
D.$38.4×10^5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时先确定$a$的取值，再根据原数的大小确定$n$的值，最后对应选项判断即可。第一步先把384000的小数点向左移动，得到满足$1≤|a|＜10$的数$a$，再数小数点移动的位数，就是$n$的取值，也可以通过反向计算各选项的结果排除错误选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的值：将384000的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间，得到$a=3.84$。
2. 确定$n$的值：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
3. 因此384000用科学记数法表示为$3.84×10^5$。
也可通过排除法验证：
A选项$3.84×10^4=38400$，与原数不符，错误；
C选项$3.84×10^6=3840000$，与原数不符，错误；
D选项中$a=38.4$，不满足$1≤|a|＜10$的要求，不符合科学记数法的规范，错误。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题型，解题的核心是掌握科学记数法中$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于考试中常见的基础类题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时先确定$a$的取值，再根据原数的大小确定$n$的值，最后对应选项判断即可。第一步先把384000的小数点向左移动，得到满足$1≤|a|＜10$的数$a$，再数小数点移动的位数，就是$n$的取值，也可以通过反向计算各选项的结果排除错误选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的值：将384000的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间，得到$a=3.84$。
2. 确定$n$的值：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
3. 因此384000用科学记数法表示为$3.84×10^5$。
也可通过排除法验证：
A选项$3.84×10^4=38400$，与原数不符，错误；
C选项$3.84×10^6=3840000$，与原数不符，错误；
D选项中$a=38.4$，不满足$1≤|a|＜10$的要求，不符合科学记数法的规范，错误。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题型，解题的核心是掌握科学记数法中$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于考试中常见的基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.已知$(3x+2)(ax+b)=9x^2-4$，则$a+b$的值是 （
A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
C
）A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
答案
C
解析
【分析】
解题有两种常用思路：方法一，先观察等式右边的$9x^2-4$，它符合平方差公式的结构特征，可先对右边因式分解，再和左边的因式对比，直接得到$a$、$b$的值；方法二，先将左边的多项式乘法展开，再根据等式两边多项式相等时同次项系数对应相等的规则，列方程求出$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
方法一（利用平方差公式求解）：
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
$9x^2-4=(3x)^2-2^2=(3x+2)(3x-2)$
已知$(3x+2)(ax+b)=9x^2-4$，对比左右两边的因式可得$ax+b=3x-2$，因此$a=3$，$b=-2$。
则$a+b=3+(-2)=1$。
方法二（展开对比系数求解）：
先计算左边的多项式乘法：$(3x+2)(ax+b)=3ax^2+(3b+2a)x+2b$
等式右边为$9x^2-4$，两个多项式相等时同次项系数对应相等，因此：
二次项系数：$3a=9$，解得$a=3$
常数项：$2b=-4$，解得$b=-2$
代入验证一次项系数：$3b+2a=3×(-2)+2×3=0$，和右边一次项系数0一致，结果正确。
则$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都是整式章节的核心应用，熟练掌握平方差公式可大幅提升解题效率，也可通过展开对比系数的方法验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：方法一，先观察等式右边的$9x^2-4$，它符合平方差公式的结构特征，可先对右边因式分解，再和左边的因式对比，直接得到$a$、$b$的值；方法二，先将左边的多项式乘法展开，再根据等式两边多项式相等时同次项系数对应相等的规则，列方程求出$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
方法一（利用平方差公式求解）：
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
$9x^2-4=(3x)^2-2^2=(3x+2)(3x-2)$
已知$(3x+2)(ax+b)=9x^2-4$，对比左右两边的因式可得$ax+b=3x-2$，因此$a=3$，$b=-2$。
则$a+b=3+(-2)=1$。
方法二（展开对比系数求解）：
先计算左边的多项式乘法：$(3x+2)(ax+b)=3ax^2+(3b+2a)x+2b$
等式右边为$9x^2-4$，两个多项式相等时同次项系数对应相等，因此：
二次项系数：$3a=9$，解得$a=3$
常数项：$2b=-4$，解得$b=-2$
代入验证一次项系数：$3b+2a=3×(-2)+2×3=0$，和右边一次项系数0一致，结果正确。
则$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都是整式章节的核心应用，熟练掌握平方差公式可大幅提升解题效率，也可通过展开对比系数的方法验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
5.已知$x,y$为任意有理数,记$M=x^2+y^2$，$N=2xy$,则$M$与$N$的大小关系为
（
A.$M＞N$
B.$M≥ N$
C.$M≤ N$
D.不能确定
（
B
）A.$M＞N$
B.$M≥ N$
C.$M≤ N$
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法：计算M-N的结果，若结果≥0，则M≥N；若结果≤0，则M≤N。本题中我们先计算M-N，再结合完全平方公式和平方的非负性判断差的符号，即可得出大小关系。
【解析】
计算M与N的差：
$M-N = (x^2+y^2) - 2xy$
根据完全平方公式，可得：
$x^2+y^2-2xy = (x-y)^2$
∵x、y是任意有理数，任意有理数的平方都是非负数，
∴$(x-y)^2 ≥ 0$，即$M-N ≥ 0$
∴$M ≥ N$（当且仅当x=y时，等号成立）
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题关键是掌握作差法的应用，结合完全平方公式变形后，利用平方的非负性判断差的正负，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法：计算M-N的结果，若结果≥0，则M≥N；若结果≤0，则M≤N。本题中我们先计算M-N，再结合完全平方公式和平方的非负性判断差的符号，即可得出大小关系。
【解析】
计算M与N的差：
$M-N = (x^2+y^2) - 2xy$
根据完全平方公式，可得：
$x^2+y^2-2xy = (x-y)^2$
∵x、y是任意有理数，任意有理数的平方都是非负数，
∴$(x-y)^2 ≥ 0$，即$M-N ≥ 0$
∴$M ≥ N$（当且仅当x=y时，等号成立）
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题关键是掌握作差法的应用，结合完全平方公式变形后，利用平方的非负性判断差的正负，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
6.小张利用如图1所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图2所示的图形，则根据图2的面积关系能验证的恒等式为 （
A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
C.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
D.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C
）A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
C.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
D.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们用面积法验证恒等式，核心思路是同一个图形用两种不同方式计算面积，结果必然相等。首先先计算图2大正方形的整体面积，再将大正方形分割为中间空白小正方形和4张已知的长方形卡片，计算各部分面积之和得到大正方形面积的另一种表达式，最后联立两个表达式得到恒等式，对应选项即可。
【解析】
1. 计算图2大正方形的面积：
观察图2可知，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
2. 用分割法计算大正方形的面积：
大正方形由两部分组成：①中间空白的小正方形，边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；②4张长为$a$、宽为$b$的长方形卡片，每张面积为$ab$，4张总面积为$4ab$。
因此大正方形的面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$。
3. 联立等量关系：
两种方式计算的是同一个大正方形的面积，因此可得恒等式：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式的几何背景，面积法验证恒等式，数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形的拼接考查代数恒等式的验证，解题的关键是掌握面积法的核心：用两种不同的表达式表示同一个图形的面积，进而建立等量关系，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们用面积法验证恒等式，核心思路是同一个图形用两种不同方式计算面积，结果必然相等。首先先计算图2大正方形的整体面积，再将大正方形分割为中间空白小正方形和4张已知的长方形卡片，计算各部分面积之和得到大正方形面积的另一种表达式，最后联立两个表达式得到恒等式，对应选项即可。
【解析】
1. 计算图2大正方形的面积：
观察图2可知，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
2. 用分割法计算大正方形的面积：
大正方形由两部分组成：①中间空白的小正方形，边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；②4张长为$a$、宽为$b$的长方形卡片，每张面积为$ab$，4张总面积为$4ab$。
因此大正方形的面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$。
3. 联立等量关系：
两种方式计算的是同一个大正方形的面积，因此可得恒等式：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式的几何背景，面积法验证恒等式，数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形的拼接考查代数恒等式的验证，解题的关键是掌握面积法的核心：用两种不同的表达式表示同一个图形的面积，进而建立等量关系，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
