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13.将7张相同的小长方形纸片(如图1)按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别记为$S_1,S_2$.已知小长方形纸片的长为$a$,宽为$b$,且$a＞b$,$AD=m$.
(1)当$AD=20$时,用含$a,b$的式子表示$S_1,S_2$;
(2)若$AB$长度不变,$AD$变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形$ABCD$内,而$S_1-S_2$的值总保持不变,求$a,b$满足的数量关系.
(1)当$AD=20$时,用含$a,b$的式子表示$S_1,S_2$;
(2)若$AB$长度不变,$AD$变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形$ABCD$内,而$S_1-S_2$的值总保持不变,求$a,b$满足的数量关系.
答案
解:(1)观察图形,可知$S_1=4b(20-a)$;$S_2=a(20-3b)$.
(2)$S_1-S_2=4b(AD-a)-a(AD-3b)=4bAD-4ab-aAD+3ab=(4b-a)AD-ab$.
因为$S_1-S_2$的值与$AD$无关,
所以$4b-a=0,a=4b$,
所以$a,b$之间满足的关系式为$a=4b$.
(2)$S_1-S_2=4b(AD-a)-a(AD-3b)=4bAD-4ab-aAD+3ab=(4b-a)AD-ab$.
因为$S_1-S_2$的值与$AD$无关,
所以$4b-a=0,a=4b$,
所以$a,b$之间满足的关系式为$a=4b$.
解析
【分析】
(1) 求解$S_1$、$S_2$的核心是先确定两个长方形的长和宽：观察图形可知，$S_1$的竖直边长为4个小长方形的宽之和即$4b$，水平边长为大长方形的长$AD$减去小长方形的长$a$；$S_2$的竖直边长为小长方形的长$a$，水平边长为大长方形的长$AD$减去3个小长方形的宽之和$3b$，再结合$AD=20$，根据长方形面积公式即可列出代数式。
(2) 要让$S_1-S_2$的值不随$AD$的变化而变化，说明化简后的式子中$AD$的系数为0，先将$S_1-S_2$用含$AD$、$a$、$b$的式子表示，展开合并同类项后令$AD$的系数等于0，即可求出$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 由图形可得：
$S_1$的一边长为$4b$，另一边长为$20-a$，因此$S_1=4b(20-a)$；
$S_2$的一边长为$a$，另一边长为$20-3b$，因此$S_2=a(20-3b)$。
(2) 用$AD$代替20，计算$S_1-S_2$：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=4b(AD-a)-a(AD-3b)\\&=4b· AD - 4ab - a· AD + 3ab\\&=(4b-a)AD - ab\end{aligned}$
因为$S_1-S_2$的值与$AD$无关，所以$AD$的系数为0，即：
$4b-a=0$，整理得$a=4b$。
【答案】
(1) $S_1=4b(20-a)$，$S_2=a(20-3b)$；
(2) $a=4b$
【知识点】
列代数式，整式加减运算，代数式定值问题
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题的关键是结合图形准确提取各边的长度关系，掌握代数式的值与某一变量无关时，该变量的系数为0的结论，能有效考查对整式运算的掌握和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解$S_1$、$S_2$的核心是先确定两个长方形的长和宽：观察图形可知，$S_1$的竖直边长为4个小长方形的宽之和即$4b$，水平边长为大长方形的长$AD$减去小长方形的长$a$；$S_2$的竖直边长为小长方形的长$a$，水平边长为大长方形的长$AD$减去3个小长方形的宽之和$3b$，再结合$AD=20$，根据长方形面积公式即可列出代数式。
(2) 要让$S_1-S_2$的值不随$AD$的变化而变化，说明化简后的式子中$AD$的系数为0，先将$S_1-S_2$用含$AD$、$a$、$b$的式子表示，展开合并同类项后令$AD$的系数等于0，即可求出$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 由图形可得：
$S_1$的一边长为$4b$，另一边长为$20-a$，因此$S_1=4b(20-a)$；
$S_2$的一边长为$a$，另一边长为$20-3b$，因此$S_2=a(20-3b)$。
(2) 用$AD$代替20，计算$S_1-S_2$：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=4b(AD-a)-a(AD-3b)\\&=4b· AD - 4ab - a· AD + 3ab\\&=(4b-a)AD - ab\end{aligned}$
因为$S_1-S_2$的值与$AD$无关，所以$AD$的系数为0，即：
$4b-a=0$，整理得$a=4b$。
【答案】
(1) $S_1=4b(20-a)$，$S_2=a(20-3b)$；
(2) $a=4b$
【知识点】
列代数式，整式加减运算，代数式定值问题
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题的关键是结合图形准确提取各边的长度关系，掌握代数式的值与某一变量无关时，该变量的系数为0的结论，能有效考查对整式运算的掌握和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
14. 阅读后作答:我们知道,有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示,例如$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$,就可以用图1所示的面积关系来说明.
(1)图2中阴影部分的面积为
(2)根据图3写出一个等式;
(3)已知等式$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$,请画出一个相应的几何图形加以说明.
(1)图2中阴影部分的面积为
$(m-n)^2$
;(2)根据图3写出一个等式;
(3)已知等式$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$,请画出一个相应的几何图形加以说明.
答案
(1)$(m-n)^2$
(2)解:图3表示的代数恒等式为$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$.
(3)解:等式$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$可以用以下图形面积关系说明:
解析
【分析】
(1) 求解阴影部分面积时，先判断阴影为正方形，先确定它的边长：观察图2中的四个长方形长为m、宽为n，阴影正方形的边长等于长方形的长减去宽，即m-n，再代入正方形面积公式即可算出结果。
(2) 推导图3对应的等式时，用面积法：先计算大长方形的长和宽，得到总面积的乘积形式；再计算所有小图形的面积之和，两种方法计算的面积相等，即可得到对应的代数恒等式。
(3) 要画出对应$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$的几何图形，只需构造长为$(x+q)$、宽为$(x+p)$的长方形，将其分割为4个小区域，面积分别对应等式右边的四项即可。
【解析】
(1) 图2中阴影部分是正方形，它的边长为$m-n$，根据正方形面积公式，面积为$\boxed{(m-n)^2}$。
(2) 先算图3大长方形的长：$a+a+b=2a+b$，宽：$b+a+b=a+2b$，因此大长方形面积为$(2a+b)(a+2b)$；
再计算所有小图形的面积和：包含2个面积为$a^2$的正方形，5个面积为$ab$的长方形，2个面积为$b^2$的正方形，总和为$2a^2+5ab+2b^2$；
两种方式计算的是同一个大长方形的面积，因此可得等式：$\boxed{(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2}$。
(3) 构造长为$x+q$、宽为$x+p$的长方形，分割为四个区域，面积分别对应$x^2$、$px$、$qx$、$pq$，对应的图形如下：
【答案】
(1)$(m-n)^2$
(2)$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$
(3)
【知识点】
多项式乘多项式，代数恒等式的几何意义，面积法应用
【点评】
本题以数形结合的形式考查代数恒等式和几何面积的对应关系，能够帮助学生直观理解多项式乘法的运算原理，侧重考查图形与代数表达式的转化能力，题型基础。
【难度系数】
0.7
(1) 求解阴影部分面积时，先判断阴影为正方形，先确定它的边长：观察图2中的四个长方形长为m、宽为n，阴影正方形的边长等于长方形的长减去宽，即m-n，再代入正方形面积公式即可算出结果。
(2) 推导图3对应的等式时，用面积法：先计算大长方形的长和宽，得到总面积的乘积形式；再计算所有小图形的面积之和，两种方法计算的面积相等，即可得到对应的代数恒等式。
(3) 要画出对应$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$的几何图形，只需构造长为$(x+q)$、宽为$(x+p)$的长方形，将其分割为4个小区域，面积分别对应等式右边的四项即可。
【解析】
(1) 图2中阴影部分是正方形，它的边长为$m-n$，根据正方形面积公式，面积为$\boxed{(m-n)^2}$。
(2) 先算图3大长方形的长：$a+a+b=2a+b$，宽：$b+a+b=a+2b$，因此大长方形面积为$(2a+b)(a+2b)$；
再计算所有小图形的面积和：包含2个面积为$a^2$的正方形，5个面积为$ab$的长方形，2个面积为$b^2$的正方形，总和为$2a^2+5ab+2b^2$；
两种方式计算的是同一个大长方形的面积，因此可得等式：$\boxed{(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2}$。
(3) 构造长为$x+q$、宽为$x+p$的长方形，分割为四个区域，面积分别对应$x^2$、$px$、$qx$、$pq$，对应的图形如下：
【答案】
(1)$(m-n)^2$
(2)$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$
(3)
【知识点】
多项式乘多项式，代数恒等式的几何意义，面积法应用
【点评】
本题以数形结合的形式考查代数恒等式和几何面积的对应关系，能够帮助学生直观理解多项式乘法的运算原理，侧重考查图形与代数表达式的转化能力，题型基础。
【难度系数】
0.7
