登录
8.若$2x(x-3)=ax^2+bx$，则$a-b=$
$8$
答案
8
解析
【分析】
解题时首先需要将等式左侧的单项式乘多项式展开，再根据等式两边多项式相等时，相同次数项的系数对应相等的规则，分别求出a和b的值，最后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
首先展开等式左侧的式子：
$2x(x-3)=2x· x - 2x·3=2x^2 - 6x$
已知$2x(x-3)=ax^2+bx$，因此可得$2x^2 - 6x = ax^2 + bx$
根据等式两边同类项系数相等，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6$
将a、b的值代入$a-b$计算：
$a-b=2 - (-6)=2+6=8$
【答案】
8
【知识点】
单项式乘多项式；多项式相等的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，以及等式两边多项式相等时对应项系数相等的性质，计算时要注意系数的符号，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要将等式左侧的单项式乘多项式展开，再根据等式两边多项式相等时，相同次数项的系数对应相等的规则，分别求出a和b的值，最后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
首先展开等式左侧的式子：
$2x(x-3)=2x· x - 2x·3=2x^2 - 6x$
已知$2x(x-3)=ax^2+bx$，因此可得$2x^2 - 6x = ax^2 + bx$
根据等式两边同类项系数相等，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6$
将a、b的值代入$a-b$计算：
$a-b=2 - (-6)=2+6=8$
【答案】
8
【知识点】
单项式乘多项式；多项式相等的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，以及等式两边多项式相等时对应项系数相等的性质，计算时要注意系数的符号，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
9.若三角形的一边长为2a+1，这边上的高为2a－1，则此三角形的面积为
$2a^2-\dfrac{1}{2}$
答案
$2a^2-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形面积计算公式，明确需要代入已知的底和这条底对应的高进行计算；观察到底和高的表达式符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式简化整式乘法运算，最后化简得到结果即可。
【解析】
根据三角形面积公式：$\mathrm{三角形面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$
将底为$2a+1$，对应高为$2a-1$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}(2a+1)(2a-1)\\&=\frac{1}{2}[(2a)^2-1^2]\\&=\frac{1}{2}(4a^2-1)\\&=2a^2-\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$2a^2-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
三角形面积公式，平方差公式，整式运算
【点评】
本题将几何面积计算与整式乘法结合考查，解题核心是熟练掌握三角形面积公式和平方差公式，计算时需注意不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形面积计算公式，明确需要代入已知的底和这条底对应的高进行计算；观察到底和高的表达式符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式简化整式乘法运算，最后化简得到结果即可。
【解析】
根据三角形面积公式：$\mathrm{三角形面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$
将底为$2a+1$，对应高为$2a-1$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}(2a+1)(2a-1)\\&=\frac{1}{2}[(2a)^2-1^2]\\&=\frac{1}{2}(4a^2-1)\\&=2a^2-\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$2a^2-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
三角形面积公式，平方差公式，整式运算
【点评】
本题将几何面积计算与整式乘法结合考查，解题核心是熟练掌握三角形面积公式和平方差公式，计算时需注意不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10.若$(x+2m)(x^2 - x + \dfrac{1}{2}n)$的积中不含$x$项与$x^2$项，则代数式$m^{2023}n^{2024}$的值为________。
答案
2
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照多项式乘多项式的法则将原式展开并合并同类项，根据“积中不含x项与x²项”可知这两项的系数均为0，由此列方程求出m、n的值，再将所求代数式利用积的乘方逆运算变形后代入计算即可。
【解析】
第一步：展开并合并同类项
$\begin{aligned}&(x+2m)(x^2 - x + \frac{1}{2}n)\\=&x· x^2 -x· x +x· \frac{1}{2}n +2m· x^2 -2m· x +2m· \frac{1}{2}n\\=&x^3 -x^2 +\frac{1}{2}nx +2mx^2 -2mx +mn\\=&x^3 + (-1+2m)x^2 + (\frac{1}{2}n -2m)x + mn\end{aligned}$
第二步：根据不含对应项列方程求解
∵ 积中不含x项与x²项，即这两项的系数为0
∴ $\begin{cases}-1+2m=0 \\ \frac{1}{2}n -2m=0 \end{cases}$
解第一个方程得：$2m=1$，即$m=\frac{1}{2}$
将$m=\frac{1}{2}$代入第二个方程：$\frac{1}{2}n -2×\frac{1}{2}=0$，解得$n=2$
第三步：计算代数式的值
对$m^{2023}n^{2024}$逆用积的乘方公式变形：
$\begin{aligned}m^{2023}n^{2024}&=m^{2023}· n^{2023}· n\\&=(mn)^{2023}· n\end{aligned}$
代入$m=\frac{1}{2}$，$n=2$得：
原式$=(\frac{1}{2}×2)^{2023}×2=1^{2023}×2=2$
【答案】
2
【知识点】
多项式乘多项式，多项式项的系数，积的乘方逆运算
【点评】
本题是整式乘法的典型题型，核心考查“多项式不含某一项则该项系数为0”的应用，结合幂的运算性质简化高次幂的计算，解题时需注意合并同类项时系数计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先按照多项式乘多项式的法则将原式展开并合并同类项，根据“积中不含x项与x²项”可知这两项的系数均为0，由此列方程求出m、n的值，再将所求代数式利用积的乘方逆运算变形后代入计算即可。
【解析】
第一步：展开并合并同类项
$\begin{aligned}&(x+2m)(x^2 - x + \frac{1}{2}n)\\=&x· x^2 -x· x +x· \frac{1}{2}n +2m· x^2 -2m· x +2m· \frac{1}{2}n\\=&x^3 -x^2 +\frac{1}{2}nx +2mx^2 -2mx +mn\\=&x^3 + (-1+2m)x^2 + (\frac{1}{2}n -2m)x + mn\end{aligned}$
第二步：根据不含对应项列方程求解
∵ 积中不含x项与x²项，即这两项的系数为0
∴ $\begin{cases}-1+2m=0 \\ \frac{1}{2}n -2m=0 \end{cases}$
解第一个方程得：$2m=1$，即$m=\frac{1}{2}$
将$m=\frac{1}{2}$代入第二个方程：$\frac{1}{2}n -2×\frac{1}{2}=0$，解得$n=2$
第三步：计算代数式的值
对$m^{2023}n^{2024}$逆用积的乘方公式变形：
$\begin{aligned}m^{2023}n^{2024}&=m^{2023}· n^{2023}· n\\&=(mn)^{2023}· n\end{aligned}$
代入$m=\frac{1}{2}$，$n=2$得：
原式$=(\frac{1}{2}×2)^{2023}×2=1^{2023}×2=2$
【答案】
2
【知识点】
多项式乘多项式，多项式项的系数，积的乘方逆运算
【点评】
本题是整式乘法的典型题型，核心考查“多项式不含某一项则该项系数为0”的应用，结合幂的运算性质简化高次幂的计算，解题时需注意合并同类项时系数计算的准确性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 先化简,再求值:$(2x+y)^2 + (x+y)(x-y) -5x(x-y)$,其中$x=1,y=-1$
11. 先化简,再求值:$(2x+y)^2 + (x+y)(x-y) -5x(x-y)$,其中$x=1,y=-1$
答案
解:$(2x+y)^2+(x+y)(x-y)-5x(x-y)=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy=9xy$.
当$x=1,y=-1$时,原式$=9×1×(-1)=-9$.
当$x=1,y=-1$时,原式$=9×1×(-1)=-9$.
解析
【分析】
解决这类整式化简求值问题，不要直接代入数值计算，优先按步骤化简可降低运算难度：第一步先识别各部分对应的运算法则：$(2x+y)^2$适用完全平方和公式，$(x+y)(x-y)$适用平方差公式，$-5x(x-y)$适用单项式乘多项式法则；第二步按对应法则展开每一项，展开时注意去括号的符号变化，不要漏乘项；第三步合并同类项得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(2x+y)^2 + (x+y)(x-y) -5x(x-y)&=4x^2+4xy+y^2 + x^2 - y^2 -5x^2 +5xy\\&=(4x^2+x^2-5x^2)+(y^2-y^2)+(4xy+5xy)\\&=9xy\end{aligned}$
再代入$x=1,y=-1$计算：
原式$=9×1×(-1)=-9$
【答案】
$-9$
【知识点】
1. 整式的化简求值
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题重点考查整式混合运算的能力，需熟练掌握乘法公式的形式，尤其注意去括号、单项式乘多项式时的符号问题，先化简再求值的思路能大幅减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决这类整式化简求值问题，不要直接代入数值计算，优先按步骤化简可降低运算难度：第一步先识别各部分对应的运算法则：$(2x+y)^2$适用完全平方和公式，$(x+y)(x-y)$适用平方差公式，$-5x(x-y)$适用单项式乘多项式法则；第二步按对应法则展开每一项，展开时注意去括号的符号变化，不要漏乘项；第三步合并同类项得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(2x+y)^2 + (x+y)(x-y) -5x(x-y)&=4x^2+4xy+y^2 + x^2 - y^2 -5x^2 +5xy\\&=(4x^2+x^2-5x^2)+(y^2-y^2)+(4xy+5xy)\\&=9xy\end{aligned}$
再代入$x=1,y=-1$计算：
原式$=9×1×(-1)=-9$
【答案】
$-9$
【知识点】
1. 整式的化简求值
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题重点考查整式混合运算的能力，需熟练掌握乘法公式的形式，尤其注意去括号、单项式乘多项式时的符号问题，先化简再求值的思路能大幅减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
12.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中“M”是关于x的单项式。
(1)求单项式 M；
(2)写出该例题的完整解答过程；
(3)当$x=-1$时，计算原式的值。
(1)求单项式 M；
(2)写出该例题的完整解答过程；
(3)当$x=-1$时，计算原式的值。
答案
解:(1)由题意,得$x^2 · M=x^6$,所以$M=x^6÷x^2=x^4$.
(2)$x^2 · x^4-(2x^2)^3-(1-π)^0=x^6-8x^6-1=-7x^6-1$.
(3)当$x=-1$时,原式$=-7×(-1)^6-1=-7×1-1=-8$.
(2)$x^2 · x^4-(2x^2)^3-(1-π)^0=x^6-8x^6-1=-7x^6-1$.
(3)当$x=-1$时,原式$=-7×(-1)^6-1=-7×1-1=-8$.
解析
【分析】
(1) 求单项式M时，观察给出的解题步骤可知$x^2· M$的运算结果为$x^6$，根据“因数=积÷另一个因数”，结合同底数幂的除法法则即可求出M；
(2) 完整化简时，先代入M的表达式，按照先算乘方（幂的乘方、积的乘方、零指数幂），再算乘法，最后合并同类项的顺序计算即可；
(3) 代入$x=-1$求值时，先计算x的幂次，注意负数的偶次幂为正，再按有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由题中给出的解答步骤可得$x^2 · M = x^6$，
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得：
$M = x^6 ÷ x^2 = x^{6-2} = x^4$
(2) 将$M=x^4$代入原式，按运算顺序化简：
$\begin{aligned}&x^2 · x^4 - (2x^2)^3 - (1-π)^0 \\=&x^{2+4} - 2^3 · (x^2)^3 - 1 \\=&x^6 - 8x^6 - 1 \\=&-7x^6 - 1\end{aligned}$
(3) 当$x=-1$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7× (-1)^6 -1 \\&=-7× 1 -1 \\&=-7-1 \\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $M=x^4$；
(2) 化简结果为$-7x^6-1$；
(3) 原式的值为$-8$
【知识点】
同底数幂的运算；幂的乘方与积的乘方；零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算综合题，解题突破口是根据给出的部分解题步骤推导得到M的表达式，运算时要注意区分各类幂运算的规则，牢记非零数的零次幂等于1的性质，代入求值时注意幂运算的符号判断。
【难度系数】
0.7
(1) 求单项式M时，观察给出的解题步骤可知$x^2· M$的运算结果为$x^6$，根据“因数=积÷另一个因数”，结合同底数幂的除法法则即可求出M；
(2) 完整化简时，先代入M的表达式，按照先算乘方（幂的乘方、积的乘方、零指数幂），再算乘法，最后合并同类项的顺序计算即可；
(3) 代入$x=-1$求值时，先计算x的幂次，注意负数的偶次幂为正，再按有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由题中给出的解答步骤可得$x^2 · M = x^6$，
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得：
$M = x^6 ÷ x^2 = x^{6-2} = x^4$
(2) 将$M=x^4$代入原式，按运算顺序化简：
$\begin{aligned}&x^2 · x^4 - (2x^2)^3 - (1-π)^0 \\=&x^{2+4} - 2^3 · (x^2)^3 - 1 \\=&x^6 - 8x^6 - 1 \\=&-7x^6 - 1\end{aligned}$
(3) 当$x=-1$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7× (-1)^6 -1 \\&=-7× 1 -1 \\&=-7-1 \\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $M=x^4$；
(2) 化简结果为$-7x^6-1$；
(3) 原式的值为$-8$
【知识点】
同底数幂的运算；幂的乘方与积的乘方；零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算综合题，解题突破口是根据给出的部分解题步骤推导得到M的表达式，运算时要注意区分各类幂运算的规则，牢记非零数的零次幂等于1的性质，代入求值时注意幂运算的符号判断。
【难度系数】
0.7
