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7.化学元素钌(Ru)是除铁(Fe)、钻(Co)和镍(N)以外,在室温下具有独特磁性的第四个元素.钌(Ru)的原子半径约为0.000 000 000 189 m.将0.000 000 000 189用科学记数法表示为
$1.89×10^{-10}$
.答案
$1.89×10^{-10}$
解析
【分析】
解题前先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，当原数是小于1的正数时，n为负整数，要求$1≤ a＜10$，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时第一步先确定a的取值，把原数的小数点向右移动到第一个非零数字的后方，得到的符合取值要求的数就是a；第二步数小数点移动的总位数，移动了多少位，n就是负几。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n为正整数，n的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。
1. 确定a的值：将0.000000000189的小数点向右移动，直到得到介于1和10之间的数，可得$a=1.89$；
2. 确定n的值：数得小数点一共向右移动了10位，因此$n=10$。
综上，0.000000000189用科学记数法可表示为$1.89×10^{-10}$。
【答案】
$1.89×10^{-10}$
【知识点】
科学记数法表示较小数、小数点移动规律
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确确定a的取值范围和指数的绝对值，要注意数清原数中第一个非零数字前的0的总个数，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，当原数是小于1的正数时，n为负整数，要求$1≤ a＜10$，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时第一步先确定a的取值，把原数的小数点向右移动到第一个非零数字的后方，得到的符合取值要求的数就是a；第二步数小数点移动的总位数，移动了多少位，n就是负几。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n为正整数，n的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。
1. 确定a的值：将0.000000000189的小数点向右移动，直到得到介于1和10之间的数，可得$a=1.89$；
2. 确定n的值：数得小数点一共向右移动了10位，因此$n=10$。
综上，0.000000000189用科学记数法可表示为$1.89×10^{-10}$。
【答案】
$1.89×10^{-10}$
【知识点】
科学记数法表示较小数、小数点移动规律
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确确定a的取值范围和指数的绝对值，要注意数清原数中第一个非零数字前的0的总个数，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.9
8.若$a=3.2×10^{-5},b=7.5×10^{-5},c=6.3×10^{-6}$，则$a,b,c$三数的大小关系为
$c＜a＜b$
。答案
$c＜a＜b$
解析
【分析】
要比较用科学记数法表示的三个数的大小，有两种符合学段要求的常用思路：一种是把三个数都还原成普通小数，再按照小数大小比较的规则判断大小；另一种是统一科学记数法中10的指数，当指数相同时，只需要比较前面的系数大小，系数越大对应的数就越大，两种方法操作都很简便。
【解析】
方法1：还原成原数比较
先把三个科学记数法表示的数还原为小数：
$a=3.2×10^{-5}=0.000032$
$b=7.5×10^{-5}=0.000075$
$c=6.3×10^{-6}=0.0000063$
根据小数大小比较规则，依次对比各位数位的数值，可得$0.0000063 ＜ 0.000032 ＜ 0.000075$，即$c ＜ a ＜ b$。
方法2：统一指数比较
将三个数的10的指数统一为$10^{-6}$：
$a=3.2×10^{-5}=3.2×10×10^{-6}=32×10^{-6}$
$b=7.5×10^{-5}=7.5×10×10^{-6}=75×10^{-6}$
$c=6.3×10^{-6}$
指数相同的情况下，对比系数可得$6.3 ＜ 32 ＜ 75$，因此$6.3×10^{-6} ＜ 32×10^{-6} ＜ 75×10^{-6}$，即$c ＜ a ＜ b$。
【答案】
$c＜a＜b$
【知识点】
科学记数法，有理数大小比较
【点评】
本题考查科学记数法表示的负指数幂的大小比较，两种解题方法都偏向基础，只要掌握科学记数法的还原规则或指数换算规则即可顺利解题，属于基础概念应用类题型。
【难度系数】
0.8
要比较用科学记数法表示的三个数的大小，有两种符合学段要求的常用思路：一种是把三个数都还原成普通小数，再按照小数大小比较的规则判断大小；另一种是统一科学记数法中10的指数，当指数相同时，只需要比较前面的系数大小，系数越大对应的数就越大，两种方法操作都很简便。
【解析】
方法1：还原成原数比较
先把三个科学记数法表示的数还原为小数：
$a=3.2×10^{-5}=0.000032$
$b=7.5×10^{-5}=0.000075$
$c=6.3×10^{-6}=0.0000063$
根据小数大小比较规则，依次对比各位数位的数值，可得$0.0000063 ＜ 0.000032 ＜ 0.000075$，即$c ＜ a ＜ b$。
方法2：统一指数比较
将三个数的10的指数统一为$10^{-6}$：
$a=3.2×10^{-5}=3.2×10×10^{-6}=32×10^{-6}$
$b=7.5×10^{-5}=7.5×10×10^{-6}=75×10^{-6}$
$c=6.3×10^{-6}$
指数相同的情况下，对比系数可得$6.3 ＜ 32 ＜ 75$，因此$6.3×10^{-6} ＜ 32×10^{-6} ＜ 75×10^{-6}$，即$c ＜ a ＜ b$。
【答案】
$c＜a＜b$
【知识点】
科学记数法，有理数大小比较
【点评】
本题考查科学记数法表示的负指数幂的大小比较，两种解题方法都偏向基础，只要掌握科学记数法的还原规则或指数换算规则即可顺利解题，属于基础概念应用类题型。
【难度系数】
0.8
9. 代数式$x^2 -10x +b$可以化为$(x -a)^2 -2$，则$a+b$的值是
28
。答案
28
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先利用完全平方公式将右侧的$(x-a)^2-2$展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别列等式求出$a$和$b$的值，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
先将$(x-a)^2-2$展开：
$(x-a)^2-2=x^2-2ax+a^2-2$
已知$x^2 -10x +b=(x -a)^2 -2$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 一次项系数对应：$-2a=-10$，解得$a=5$
2. 常数项对应：$b=a^2-2$，将$a=5$代入得$b=5^2-2=25-2=23$
因此$a+b=5+23=28$
【答案】
28
【知识点】
完全平方公式，多项式相等的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的展开与多项式系数对应相等的性质，计算时注意符号的处理，熟练掌握配方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先利用完全平方公式将右侧的$(x-a)^2-2$展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别列等式求出$a$和$b$的值，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
先将$(x-a)^2-2$展开：
$(x-a)^2-2=x^2-2ax+a^2-2$
已知$x^2 -10x +b=(x -a)^2 -2$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 一次项系数对应：$-2a=-10$，解得$a=5$
2. 常数项对应：$b=a^2-2$，将$a=5$代入得$b=5^2-2=25-2=23$
因此$a+b=5+23=28$
【答案】
28
【知识点】
完全平方公式，多项式相等的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的展开与多项式系数对应相等的性质，计算时注意符号的处理，熟练掌握配方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 计算$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) · (2^{16}+1)$的个位数字是
5
。答案
5
解析
【分析】
本题直接计算连乘结果数值过大，可通过两种思路求解：思路一：利用平方差公式简化运算，给原式左端乘数值为1的(2-1)，不改变原式结果，后续可连续应用平方差公式化简得到最终表达式，再结合2的幂次个位数字的循环规律计算个位；思路二：观察各因式的个位，发现其中(2²+1)的个位是5，其余因式均为奇数，奇数与5相乘的个位恒为5，可直接得出结论。
【解析】
方法一：给原式乘(2-1)=1，不改变原式大小，结合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$逐步化简：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
观察2的幂次个位规律：$2^1$个位为2，$2^2$个位为4，$2^3$个位为8，$2^4$个位为6，之后以4为周期循环出现。
$32÷4=8$，无余数，说明$2^{32}$的个位为周期最后一个数6，则$2^{32}-1$的个位为$6-1=5$。
方法二：计算各因式的个位：
$2+1$个位为3，$2^2+1$个位为5，其余因式均为2的偶次幂加1，结果都是奇数。
由于5与任意奇数相乘的个位始终为5，因此整个乘积的个位数字为5。
【答案】
5
【知识点】
平方差公式；乘方规律
【点评】
本题考查整式乘法和数字规律的应用，既可以通过构造平方差公式化简求解，也可以通过观察数字特征快速得到答案，能很好地锻炼学生的灵活解题能力。
【难度系数】
0.7
本题直接计算连乘结果数值过大，可通过两种思路求解：思路一：利用平方差公式简化运算，给原式左端乘数值为1的(2-1)，不改变原式结果，后续可连续应用平方差公式化简得到最终表达式，再结合2的幂次个位数字的循环规律计算个位；思路二：观察各因式的个位，发现其中(2²+1)的个位是5，其余因式均为奇数，奇数与5相乘的个位恒为5，可直接得出结论。
【解析】
方法一：给原式乘(2-1)=1，不改变原式大小，结合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$逐步化简：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
观察2的幂次个位规律：$2^1$个位为2，$2^2$个位为4，$2^3$个位为8，$2^4$个位为6，之后以4为周期循环出现。
$32÷4=8$，无余数，说明$2^{32}$的个位为周期最后一个数6，则$2^{32}-1$的个位为$6-1=5$。
方法二：计算各因式的个位：
$2+1$个位为3，$2^2+1$个位为5，其余因式均为2的偶次幂加1，结果都是奇数。
由于5与任意奇数相乘的个位始终为5，因此整个乘积的个位数字为5。
【答案】
5
【知识点】
平方差公式；乘方规律
【点评】
本题考查整式乘法和数字规律的应用，既可以通过构造平方差公式化简求解，也可以通过观察数字特征快速得到答案，能很好地锻炼学生的灵活解题能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.简便运算：
(1)$111^2 - 110 × 112$；
(2)$(-2)^{101} × 0.5^{100}$。
11.简便运算：
(1)$111^2 - 110 × 112$；
(2)$(-2)^{101} × 0.5^{100}$。
答案
解:(1)原式$=111^2-(111-1)(111+1)=111^2-111^2+1=1.$
(2)原式$=(-2)(-2)^{100}×0.5^{100}=(-2)(-2×0.5)^{100}=(-2)(-1)^{100}=(-2)×1=-2.$
(2)原式$=(-2)(-2)^{100}×0.5^{100}=(-2)(-2×0.5)^{100}=(-2)(-1)^{100}=(-2)×1=-2.$
解析
【分析】
(1) 观察算式可知110、112分别与111相差1，可将110改写为111-1、112改写为111+1，刚好符合平方差公式的结构，利用平方差公式计算可避免大数乘法，简化运算。
(2) 观察算式发现两个幂的指数接近，可先将$(-2)^{101}$拆分为$(-2)×(-2)^{100}$，此时两个幂的指数均为100，逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积再乘方，降低计算难度。
【解析】
(1) 原式$=111^2-(111-1)(111+1)$
$=111^2-(111^2-1^2)$
$=111^2-111^2+1$
$=1$
(2) 原式$=(-2)×(-2)^{100}×0.5^{100}$
$=(-2)×[(-2)×0.5]^{100}$
$=(-2)×(-1)^{100}$
$=(-2)×1$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$-2$
【知识点】
平方差公式，积的乘方逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式乘除相关公式在简便运算中的应用，解题核心是观察算式特征，灵活对原式变形，凑出公式适用的结构，可有效提升计算效率、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式可知110、112分别与111相差1，可将110改写为111-1、112改写为111+1，刚好符合平方差公式的结构，利用平方差公式计算可避免大数乘法，简化运算。
(2) 观察算式发现两个幂的指数接近，可先将$(-2)^{101}$拆分为$(-2)×(-2)^{100}$，此时两个幂的指数均为100，逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积再乘方，降低计算难度。
【解析】
(1) 原式$=111^2-(111-1)(111+1)$
$=111^2-(111^2-1^2)$
$=111^2-111^2+1$
$=1$
(2) 原式$=(-2)×(-2)^{100}×0.5^{100}$
$=(-2)×[(-2)×0.5]^{100}$
$=(-2)×(-1)^{100}$
$=(-2)×1$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$-2$
【知识点】
平方差公式，积的乘方逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式乘除相关公式在简便运算中的应用，解题核心是观察算式特征，灵活对原式变形，凑出公式适用的结构，可有效提升计算效率、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
12.已知$(a-b)^2=25$，$ab=-6$，求下列各式的值.
(1)$a^2+b^2$；(2)$a^4+b^4$.
(1)$a^2+b^2$；(2)$a^4+b^4$.
答案
解:(1)因为$(a-b)^2=25,ab=-6$,
所以$a^2+b^2=a^2+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+2ab=25+2×(-6)=25-12=13.$
(2)因为$a^2+b^2=13,ab=-6$,
所以$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=13^2-2×(-6)^2=169-72=97.$
所以$a^2+b^2=a^2+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+2ab=25+2×(-6)=25-12=13.$
(2)因为$a^2+b^2=13,ab=-6$,
所以$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=13^2-2×(-6)^2=169-72=97.$
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形结合整体代入法求解。(1) 首先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对公式变形可得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，题目已给出$(a-b)^2$和$ab$的取值，直接整体代入即可算出结果。(2) 求$a^4+b^4$时，可将$a^2$、$b^2$看作整体，再次利用完全平方公式变形：$(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4$，整理得$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2$，代入第(1)问求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$的值计算即可。
【解析】
(1) 已知$(a-b)^2=25$，$ab=-6$，根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}a^2+b^2&=(a-b)^2+2ab\\&=25+2×(-6)\\&=25-12\\&=13\end{aligned}$
(2) 由(1)得$a^2+b^2=13$，结合已知$ab=-6$，对$a^4+b^4$变形计算：
$\begin{aligned}a^4+b^4&=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2\\&=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2\\&=13^2-2×(-6)^2\\&=169-2×36\\&=169-72\\&=97\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{97}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变式，学会用整体代入法简化计算，整体代入思想是整式运算中非常常用的解题思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
本题可利用完全平方公式的变形结合整体代入法求解。(1) 首先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对公式变形可得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，题目已给出$(a-b)^2$和$ab$的取值，直接整体代入即可算出结果。(2) 求$a^4+b^4$时，可将$a^2$、$b^2$看作整体，再次利用完全平方公式变形：$(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4$，整理得$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2$，代入第(1)问求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$的值计算即可。
【解析】
(1) 已知$(a-b)^2=25$，$ab=-6$，根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}a^2+b^2&=(a-b)^2+2ab\\&=25+2×(-6)\\&=25-12\\&=13\end{aligned}$
(2) 由(1)得$a^2+b^2=13$，结合已知$ab=-6$，对$a^4+b^4$变形计算：
$\begin{aligned}a^4+b^4&=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2\\&=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2\\&=13^2-2×(-6)^2\\&=169-2×36\\&=169-72\\&=97\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{97}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变式，学会用整体代入法简化计算，整体代入思想是整式运算中非常常用的解题思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
13. 阅读下面的材料并填空：
①$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{2^2}=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
②$(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=1-\frac{1}{3^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{3^2}=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_$；
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=1-\frac{1}{4^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{4^2}=\_\_\_\_\_\_=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$。
利用上面材料中的方法和结论计算下题：
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{2021^2})(1-\frac{1}{2022^2})(1-\frac{1}{2023^2})$。
14. 阅读下列材料，完成相应的任务。
任务：
(1)小明发现多项式$x+3,x+4,x+6,x+7$是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：$(x+3)(x+7)-(x+4)·(x+6)$，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子。
(2)判断多项式$x-1,x-2,x-4,x-5$是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由。
(3)若多项式$x+2,x-4,x+1,x+m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，求$m$的值。
①$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{2^2}=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
②$(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=1-\frac{1}{3^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{3^2}=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_$；
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=1-\frac{1}{4^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{4^2}=\_\_\_\_\_\_=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$。
利用上面材料中的方法和结论计算下题：
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{2021^2})(1-\frac{1}{2022^2})(1-\frac{1}{2023^2})$。
14. 阅读下列材料，完成相应的任务。
任务：
(1)小明发现多项式$x+3,x+4,x+6,x+7$是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：$(x+3)(x+7)-(x+4)·(x+6)$，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子。
(2)判断多项式$x-1,x-2,x-4,x-5$是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由。
(3)若多项式$x+2,x-4,x+1,x+m$（$m$是常数）是一组平衡多项式，求$m$的值。
答案
解:②$\frac{2}{3}\quad \frac{4}{3}$
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$
根据上面材料中的方法和结论,得
原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})·(1-\frac{1}{4})·(1+\frac{1}{4})· …· (1-\frac{1}{2021})·(1+\frac{1}{2021})(1-\frac{1}{2022})(1+\frac{1}{2022})·(1-\frac{1}{2023})(1+\frac{1}{2023})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×\frac{2020}{2021}×\frac{2022}{2021}×\frac{2021}{2022}×\frac{2023}{2022}×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}=\frac{1}{2}×\frac{2024}{2023}=\frac{1012}{2023}.$
14.解:(1)$(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x^2+10x+21-x^2-10x-24=-3.$
因为$|-3|=3$,
所以该组平衡多项式的平衡因子是3.
(2)多项式$x-1,x-2,x-4,x-5$是一组平衡多项式.理由如下:
因为$(x-1)(x-5)-(x-2)(x-4)=x^2-6x+5-x^2+6x-8=-3$,所以该组平衡多项式的平衡因子是$|-3|=3.$
(3)若多项式$x+2,x-4,x+1,x+m$（$m$是常数）是一组平衡多项式,有三种情况:
①$(x+2)(x-4)-(x+1)(x+m)=x^2-2x-8-x^2-(1+m)x-m$,
因为是一组平衡多项式,
所以$-2-(1+m)=0$,所以$m=-3$;
②$(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m)=x^2+3x+2-x^2-(m-4)x+4m$,
因为是一组平衡多项式,
所以$3-(m-4)=0$,所以$m=7$;
③$(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)=x^2+(2+m)x+2m-x^2+3x+4$,
因为是一组平衡多项式,
所以$2+m+3=0$,所以$m=-5$.
综上所述,$m$的值为$-3$或$7$或$-5.$
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$
根据上面材料中的方法和结论,得
原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})·(1-\frac{1}{4})·(1+\frac{1}{4})· …· (1-\frac{1}{2021})·(1+\frac{1}{2021})(1-\frac{1}{2022})(1+\frac{1}{2022})·(1-\frac{1}{2023})(1+\frac{1}{2023})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×\frac{2020}{2021}×\frac{2022}{2021}×\frac{2021}{2022}×\frac{2023}{2022}×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}=\frac{1}{2}×\frac{2024}{2023}=\frac{1012}{2023}.$
14.解:(1)$(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x^2+10x+21-x^2-10x-24=-3.$
因为$|-3|=3$,
所以该组平衡多项式的平衡因子是3.
(2)多项式$x-1,x-2,x-4,x-5$是一组平衡多项式.理由如下:
因为$(x-1)(x-5)-(x-2)(x-4)=x^2-6x+5-x^2+6x-8=-3$,所以该组平衡多项式的平衡因子是$|-3|=3.$
(3)若多项式$x+2,x-4,x+1,x+m$（$m$是常数）是一组平衡多项式,有三种情况:
①$(x+2)(x-4)-(x+1)(x+m)=x^2-2x-8-x^2-(1+m)x-m$,
因为是一组平衡多项式,
所以$-2-(1+m)=0$,所以$m=-3$;
②$(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m)=x^2+3x+2-x^2-(m-4)x+4m$,
因为是一组平衡多项式,
所以$3-(m-4)=0$,所以$m=7$;
③$(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)=x^2+(2+m)x+2m-x^2+3x+4$,
因为是一组平衡多项式,
所以$2+m+3=0$,所以$m=-5$.
综上所述,$m$的值为$-3$或$7$或$-5.$
解析
【分析】
13题：本题考查平方差公式的逆用，解题时先参照给出的示例，将每个形如$1-\frac{1}{n^2}$的式子利用平方差公式拆成$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$的形式，拆分后排列所有项，会发现中间相邻的分数互为倒数可相互约分，最终仅剩余首项和末项，相乘即可得到结果。
14题：本题为新定义题型，首先要明确平衡多项式的核心：四个一次二项式两两乘积的差为常数时，属于平衡多项式，平衡因子是该常数的绝对值。
(1) 按照给出的分组展开两个多项式乘积，相减后消去x项得到常数，取绝对值即为平衡因子；
(2) 按“最小配最大、中间两个配对”的逻辑分组，计算两个乘积的差，判断是否为常数，若是则计算其绝对值得到平衡因子；
(3) 四个多项式两两分组共有3种不同的分组方式，分别对每种分组计算乘积差，令差中x的系数为0（保证差为常数），解方程即可求出对应的m值，注意不要遗漏分组情况。
【解析】
13题解答
② 根据拆分规则：$1-\frac{1}{3^2}=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；
③ 同理：$1-\frac{1}{4^2}=(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；
计算连乘式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{2023})(1+\frac{1}{2023})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}\\&=\frac{1}{2}×\frac{2024}{2023}\\&=\frac{1012}{2023}\end{aligned}$
---
14题解答
(1) 展开计算给出的式子：
$\begin{aligned}(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)&=(x^2+10x+21)-(x^2+10x+24)\\&=-3\end{aligned}$
平衡因子为$|-3|=3$。
(2) 分组计算乘积差：
$\begin{aligned}(x-1)(x-5)-(x-2)(x-4)&=(x^2-6x+5)-(x^2-6x+8)\\&=-3\end{aligned}$
差为常数，符合平衡多项式的定义，平衡因子为$|-3|=3$。
(3) 共有3种分组情况：
① 分组为$(x+2)(x-4)$和$(x+1)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x-4)-(x+1)(x+m)&=(x^2-2x-8)-(x^2+(m+1)x+m)\\&=(-3-m)x-8-m\end{aligned}$
令x的系数为0：$-3-m=0$，解得$m=-3$；
② 分组为$(x+2)(x+1)$和$(x-4)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m)&=(x^2+3x+2)-(x^2+(m-4)x-4m)\\&=(7-m)x+2+4m\end{aligned}$
令x的系数为0：$7-m=0$，解得$m=7$；
③ 分组为$(x+2)(x+m)$和$(x+1)(x-4)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)&=(x^2+(m+2)x+2m)-(x^2-3x-4)\\&=(m+5)x+2m+4\end{aligned}$
令x的系数为0：$m+5=0$，解得$m=-5$；
综上，$m$的值为$-3$或$7$或$-5$。
【答案】
13题：②$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$；③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$；计算结果为$\frac{1012}{2023}$；
14题：(1) 平衡因子为3；(2) 是平衡多项式，平衡因子为3；(3) $m=-3$或$7$或$-5$。
【知识点】
平方差公式，多项式乘多项式，新定义运算
【点评】
两类题型都侧重阅读理解能力的考查，13题需灵活运用平方差公式的逆用，结合约分技巧简化计算；14题关键是准确把握新定义的规则，第三问需要全面考虑所有分组情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13题：本题考查平方差公式的逆用，解题时先参照给出的示例，将每个形如$1-\frac{1}{n^2}$的式子利用平方差公式拆成$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$的形式，拆分后排列所有项，会发现中间相邻的分数互为倒数可相互约分，最终仅剩余首项和末项，相乘即可得到结果。
14题：本题为新定义题型，首先要明确平衡多项式的核心：四个一次二项式两两乘积的差为常数时，属于平衡多项式，平衡因子是该常数的绝对值。
(1) 按照给出的分组展开两个多项式乘积，相减后消去x项得到常数，取绝对值即为平衡因子；
(2) 按“最小配最大、中间两个配对”的逻辑分组，计算两个乘积的差，判断是否为常数，若是则计算其绝对值得到平衡因子；
(3) 四个多项式两两分组共有3种不同的分组方式，分别对每种分组计算乘积差，令差中x的系数为0（保证差为常数），解方程即可求出对应的m值，注意不要遗漏分组情况。
【解析】
13题解答
② 根据拆分规则：$1-\frac{1}{3^2}=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；
③ 同理：$1-\frac{1}{4^2}=(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；
计算连乘式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{2023})(1+\frac{1}{2023})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}\\&=\frac{1}{2}×\frac{2024}{2023}\\&=\frac{1012}{2023}\end{aligned}$
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14题解答
(1) 展开计算给出的式子：
$\begin{aligned}(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)&=(x^2+10x+21)-(x^2+10x+24)\\&=-3\end{aligned}$
平衡因子为$|-3|=3$。
(2) 分组计算乘积差：
$\begin{aligned}(x-1)(x-5)-(x-2)(x-4)&=(x^2-6x+5)-(x^2-6x+8)\\&=-3\end{aligned}$
差为常数，符合平衡多项式的定义，平衡因子为$|-3|=3$。
(3) 共有3种分组情况：
① 分组为$(x+2)(x-4)$和$(x+1)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x-4)-(x+1)(x+m)&=(x^2-2x-8)-(x^2+(m+1)x+m)\\&=(-3-m)x-8-m\end{aligned}$
令x的系数为0：$-3-m=0$，解得$m=-3$；
② 分组为$(x+2)(x+1)$和$(x-4)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m)&=(x^2+3x+2)-(x^2+(m-4)x-4m)\\&=(7-m)x+2+4m\end{aligned}$
令x的系数为0：$7-m=0$，解得$m=7$；
③ 分组为$(x+2)(x+m)$和$(x+1)(x-4)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)&=(x^2+(m+2)x+2m)-(x^2-3x-4)\\&=(m+5)x+2m+4\end{aligned}$
令x的系数为0：$m+5=0$，解得$m=-5$；
综上，$m$的值为$-3$或$7$或$-5$。
【答案】
13题：②$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$；③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$；计算结果为$\frac{1012}{2023}$；
14题：(1) 平衡因子为3；(2) 是平衡多项式，平衡因子为3；(3) $m=-3$或$7$或$-5$。
【知识点】
平方差公式，多项式乘多项式，新定义运算
【点评】
两类题型都侧重阅读理解能力的考查，13题需灵活运用平方差公式的逆用，结合约分技巧简化计算；14题关键是准确把握新定义的规则，第三问需要全面考虑所有分组情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
