1. 将多项式$x-x^3$因式分解正确的是（）

A.$x(1-x^2)$
B.$x(x^2-1)$
C.$x(1+x)(1-x)$
D.$x(x+1)(x-1)$

1. C

【分析】
解决这类因式分解选择题，要遵循因式分解的基本思路：先提取公因式，再看剩余部分能否套用公式继续分解，最终要分解到每个因式都不能再分解为止，同时注意符号的正误。本题先观察多项式$x-x^3$，两项都含有公因式$x$，先提取公因式，再判断剩余多项式的特征，套用对应公式继续分解，最后对比选项判断即可。
【解析】
对多项式$x-x^3$进行因式分解：
第一步：提取公因式$x$，可得：
$x-x^3 = x(1 - x^2)$
第二步：$1-x^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=1$，$b=x$，继续分解得：
$x(1 - x^2)=x(1+x)(1-x)$
分析各选项：
A选项$x(1-x^2)$未分解彻底，还能继续用平方差公式分解，错误；
B选项提取公因式后符号错误，应为$1-x^2$而非$x^2-1$，错误；
C选项和分解结果一致，正确；
D选项平方差分解后符号错误，$(x+1)(x-1)=x^2-1$，与原式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤和符号处理，只要熟练掌握“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的流程，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解：
(1) $a^3 - 4a=$；
(2) $a^3b - 9ab=$；
(3) $16m^3 - mn^2=$；
(4) $a^2(a - b) - 4(a - b)=$。

2. (1) a(a+2)(a-2) (2) ab(a+3)(a-3) (3) m(4m+n)(4m-n) (4) (a-b)(a+2)(a-2)

【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题步骤：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式结构，两项式优先验证平方差公式；第三步检查最终结果是否分解到每一个因式都不能再分解。本题4个小题均符合“先提公因式，再用平方差公式分解”的特征，按步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$a$，得$a^3 - 4a=a(a^2-4)$；第二步对$a^2-4$用平方差公式分解：$a^2-4=a^2-2^2=(a+2)(a-2)$，故结果为$a(a+2)(a-2)$。
(2) 第一步提取公因式$ab$，得$a^3b - 9ab=ab(a^2-9)$；第二步对$a^2-9$用平方差公式分解：$a^2-9=a^2-3^2=(a+3)(a-3)$，故结果为$ab(a+3)(a-3)$。
(3) 第一步提取公因式$m$，得$16m^3 - mn^2=m(16m^2-n^2)$；第二步对$16m^2-n^2$用平方差公式分解：$16m^2-n^2=(4m)^2-n^2=(4m+n)(4m-n)$，故结果为$m(4m+n)(4m-n)$。
(4) 第一步提取公因式$(a-b)$，得$a^2(a - b) - 4(a - b)=(a-b)(a^2-4)$；第二步对$a^2-4$用平方差公式分解：$a^2-4=a^2-2^2=(a+2)(a-2)$，故结果为$(a-b)(a+2)(a-2)$。
【答案】
(1) $a(a+2)(a-2)$ (2) $ab(a+3)(a-3)$ (3) $m(4m+n)(4m-n)$ (4) $(a-b)(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，牢记因式分解的操作步骤，准确识别平方差公式的结构特征，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8

3. 因式分解:
(1) $x^2y - 2xy + y$;
(2) $-4x^3 + 8x^2 - 4x$;
(3) $4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$;
(4) $(a^2 + 4)^2 - 16a^2$.

(1) y(x-1)² (2) -4x(x-1)² (3) (2x+y-1)(2x-y+1) (4) (a+2)²(a-2)²

【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步根据提取公因式后剩余多项式的项数选择公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解结果是否彻底，是否每一个因式都不能再分解。针对这4道小题：(1)先提取公因式y，剩余三项符合完全平方公式特征；(2)先提取公因式-4x（注意提取负号后括号内各项要变号），剩余三项符合完全平方公式；(3)先将括号内的三项用完全平方公式变形，整体变为两项的平方差，再用平方差公式分解；(4)整体符合平方差公式特征，先用平方差公式分解，再对分解得到的两个二次三项式分别用完全平方公式继续分解即可。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$y$，第二步对剩余三项用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}x^2y - 2xy + y &= y(x^2 - 2x + 1)\\&= y(x-1)^2\end{aligned}$
(2) 第一步提取公因式$-4x$，第二步对剩余三项用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-4x^3 + 8x^2 - 4x &= -4x(x^2 - 2x + 1)\\&= -4x(x-1)^2\end{aligned}$
(3) 第一步将括号内的三项用完全平方公式变形，第二步对整体用平方差公式分解，第三步整理括号：
$\begin{aligned}4x^2 - (y^2 - 2y + 1) &= 4x^2 - (y-1)^2\\&= [2x + (y-1)][2x - (y-1)]\\&= (2x+y-1)(2x-y+1)\end{aligned}$
(4) 第一步对整体用平方差公式分解，第二步对两个因式分别用完全平方公式继续分解：
$\begin{aligned}(a^2 + 4)^2 - 16a^2 &= (a^2 +4 +4a)(a^2 +4 -4a)\\&= (a^2 +4a +4)(a^2 -4a +4)\\&= (a+2)^2(a-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $y(x-1)^2$；(2) $-4x(x-1)^2$；(3) $(2x+y-1)(2x-y+1)$；(4) $(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤，注意提取负公因式时括号内各项的符号变化，涉及整体代入的思想，需要熟练掌握平方差和完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.7

【例】因式分解：$3m(2x-y)^2 - 3mn^2$.
【点拨】当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解因式，若能，注意确定哪项是公式中的“$a$”，哪项是公式中的“$b$”. 另外，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.

解：原式=3m[(2x-y)²-n²]=3m(2x-y+n)(2x-y-n).

【分析】
解因式分解题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题两项都含有公因式3m，因此先提取公因式3m；提取后剩余的部分为$(2x-y)^2 - n^2$，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，其中$a$对应$(2x-y)$，$b$对应$n$，接下来套用平方差公式分解即可；最后检查分解后的因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
解：第一步提取公因式$3m$，得：
原式$=3m[(2x-y)^2 - n^2]$
第二步对括号内的式子套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2x-y$，$b=n$，得：
$=3m(2x-y+n)(2x-y-n)$
此时所有因式均为一次式，无法继续分解，分解完成。
【答案】
$3m(2x-y+n)(2x-y-n)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，先提取公因式再套用对应公式，分解时要准确识别公式中的对应项，同时注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

1. 分解因式 $a^3 - 9a$ 的结果是（）

A.$a(a^2 +9)$
B.$a(a-9)$
C.$a(a+3)(a-3)$
D.$a(a^2 -1)$

1. C

【分析】
解决分解因式类题目首先遵循“先提公因式，再用公式”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差或完全平方公式的形式，若符合则套用公式继续分解，直至每个因式都不能再分解为止。本题先找公因式，再对剩余部分用平方差公式分解即可得到结果。
【解析】
分解因式$a^3 - 9a$步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 9a = a(a^2 - 9)$
2. 观察剩余多项式$a^2-9$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=3$，因此：
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
3. 综上，$a^3 -9a = a(a+3)(a-3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本操作顺序，同时注意分解要彻底，提取公因式后要检查剩余部分是否还能继续用公式分解，避免半途而废导致结果错误。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解：$2x^2 -18 =$ .

2. 2(x+3)(x-3)

【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中$2x^2$和$-18$的公因式为2，先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可以套用平方差公式继续分解；最后检查分解后的因式是否还能继续分解，确认所有因式都无法再分解即得到最终结果。
【解析】
解：对多项式先提取公因式，再利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}2x^2 - 18 &= 2(x^2 - 9) \\&= 2(x^2 - 3^2) \\&= 2(x+3)(x-3)\end{aligned}$
【答案】
$2(x+3)(x-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察因式分解的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要保证分解彻底，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.9

3. 因式分解：$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3 = \underline{\hspace{15cm}}$.

2y(x-y)²

【分析】
要对给定的多项式进行因式分解，遵循因式分解的常规解题思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有公因式首先提取公因式；第二步再判断提取公因式后余下的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则用公式法继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。本题中可先观察到三项都含有公因式$2y$，先提取公因式，再判断余下的二次三项式是否为完全平方式即可完成分解。
【解析】
解：$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3$
第一步，提取各项的公因式$2y$：
$= 2y(x^2 - 2xy + y^2)$
第二步，观察括号内的多项式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=y$，继续分解：
$= 2y(x - y)^2$
【答案】
$2y(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要牢记“一提二套三查”的分解步骤，先提取公因式，再根据余下式子的特征选择对应的乘法公式分解，最后要检查是否分解彻底，避免出现分解不完整、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8

4. 已知实数$a$，$b$满足$a+b=2$，则$a^2 - b^2 + 4b = \underline{\hspace{5cm}}$。
5. 因式分解：
(1) $x^2y - 4y$；
(2) $81a^4 - b^4$；
(3) $x^2(x - y) + y^2(y - x)$。
6. 已知$x + y = 4$，$xy = 2$，求$x^3y - x^2y^2 + xy^3$的值。

4. 4
5. (1) y(x+2)(x-2) (2) (9a²+b²)(3a+b)(3a-b) (3) (x-y)²(x+y)
6. 解：原式=xy(x²-xy+y²)=xy[(x+y)²-3xy].
∵x+y=4，xy=2，
∴原式=2×(4²-3×2)=2×10=20.

【分析】
第4题：观察到式中含平方差形式$a^2-b^2$，优先用平方差公式分解，结合已知$a+b=2$整体代入，化简后利用$a+b=2$消去变量即可得到结果。
第5题因式分解通用思路：先提取公因式，再判断剩余部分是否符合公式形式继续分解，直到不能分解为止；其中第(3)题需先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式后再提取分解。
第6题：先对所求代数式提取公因式$xy$，再将剩余二次式用完全平方公式变形为含$x+y$、$xy$的形式，整体代入已知条件计算即可，无需单独求$x$、$y$的值。
【解析】
4. 解：由平方差公式得$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，已知$a+b=2$，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a-b)(a+b)+4b\\&=2(a-b)+4b\\&=2a-2b+4b\\&=2(a+b)\\&=2×2=4\end{aligned}$
5. 解：
(1) 先提公因式再用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=y(x^2-4)\\&=y(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(2) 连续用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9a^2)^2-(b^2)^2\\&=(9a^2+b^2)(9a^2-b^2)\\&=(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b)\end{aligned}$
(3) 先统一公因式再分步分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2(x-y)-y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2-y^2)\\&=(x-y)^2(x+y)\end{aligned}$
6. 解：先对原式因式分解变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=xy(x^2-xy+y^2)\\&=xy[(x+y)^2-3xy]\end{aligned}$
将$x+y=4$，$xy=2$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(4^2-3×2)\\&=2×(16-6)\\&=20\end{aligned}$
【答案】
4. 4
5. (1) $y(x+2)(x-2)$ (2) $(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b)$ (3) $(x-y)^2(x+y)$
6. 20
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，整体代入求值
【点评】
本组题是因式分解的基础应用题型，既考查了因式分解的基本操作规范，也考查了利用因式分解变形代数式、整体代入简化计算的思想，解题时需注意因式分解要分解到不能再分解为止，处理符号变形时要细心。
【难度系数】
0.75