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7. 阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当地进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题.
例如：分解因式：$x^2 -4xy -5y^2$.
解：原式$=x^2 -4xy +4y^2 -4y^2 -5y^2$
$=(x^2 -4xy +4y^2)-9y^2$
$=(x-2y)^2 -9y^2$
$=(x-2y+3y)(x-2y-3y)$
$=(x+y)(x-5y)$.
根据阅读材料，用上述方法解决下列问题：
(1) 分解因式：$x^2 +2xy -3y^2$.
(2) 已知一个长方形的长为$(3a+2)$，宽为$(2a+3)$，面积记为$S_1$，另一个长方形的长为$4a$，宽为$(a+\dfrac{17}{4})$，面积记为$S_2$，请你通过计算，比较$S_1$与$S_2$的大小. (提示：求$S_1 - S_2$的大小)
例如：分解因式：$x^2 -4xy -5y^2$.
解：原式$=x^2 -4xy +4y^2 -4y^2 -5y^2$
$=(x^2 -4xy +4y^2)-9y^2$
$=(x-2y)^2 -9y^2$
$=(x-2y+3y)(x-2y-3y)$
$=(x+y)(x-5y)$.
根据阅读材料，用上述方法解决下列问题：
(1) 分解因式：$x^2 +2xy -3y^2$.
(2) 已知一个长方形的长为$(3a+2)$，宽为$(2a+3)$，面积记为$S_1$，另一个长方形的长为$4a$，宽为$(a+\dfrac{17}{4})$，面积记为$S_2$，请你通过计算，比较$S_1$与$S_2$的大小. (提示：求$S_1 - S_2$的大小)
答案
7. 解：(1) $x^2+2xy-3y^2=x^2+2xy+y^2-4y^2=(x+y)^2-(2y)^2=(x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y)$.
(2) $S_1=(3a+2)(2a+3)=6a^2+9a+4a+6=6a^2+13a+6$,
$S_2=4a(a+\dfrac{17}{4})=4a^2+17a$,
$\therefore S_1-S_2=(6a^2+13a+6)-(4a^2+17a)=6a^2+13a+6-4a^2-17a=2a^2-4a+6=2(a^2-2a+1+2)=2(a-1)^2+4＞0$, $\therefore S_1＞S_2$.
(2) $S_1=(3a+2)(2a+3)=6a^2+9a+4a+6=6a^2+13a+6$,
$S_2=4a(a+\dfrac{17}{4})=4a^2+17a$,
$\therefore S_1-S_2=(6a^2+13a+6)-(4a^2+17a)=6a^2+13a+6-4a^2-17a=2a^2-4a+6=2(a^2-2a+1+2)=2(a-1)^2+4＞0$, $\therefore S_1＞S_2$.
解析
【分析】
（1）第一问参照材料给出的配方法因式分解思路，先将含x、y的二次项和一次项凑成完全平方，通过加$y^2$再减$y^2$保证原式值不变，将原式转化为平方差的结构，再用平方差公式完成因式分解即可。
（2）第二问按照提示采用作差法比较大小：先根据长方形面积公式分别计算$S_1$和$S_2$的整式表达式，再计算$S_1-S_2$，将所得的多项式用配方法变形为“完全平方+正数”的形式，利用平方的非负性判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系。
【解析】
(1) 分解因式$x^2 +2xy -3y^2$：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2xy+y^2 - y^2 -3y^2\\&=(x+y)^2 -4y^2\\&=(x+y)^2 - (2y)^2\\&=(x+y+2y)(x+y-2y)\\&=(x+3y)(x-y)\end{aligned}$
(2) 先计算两个长方形的面积：
$S_1=(3a+2)(2a+3)=6a^2+9a+4a+6=6a^2+13a+6$
$S_2=4a(a+\dfrac{17}{4})=4a^2+17a$
再计算$S_1-S_2$并判断符号：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=(6a^2+13a+6)-(4a^2+17a)\\&=6a^2+13a+6-4a^2-17a\\&=2a^2-4a+6\\&=2(a^2-2a+1 + 2)\\&=2(a-1)^2 +4\end{aligned}$
$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2 +4≥4＞0$，即$S_1-S_2＞0$，因此$S_1＞S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{(x+3y)(x-y)}$
(2) $\boxed{S_1＞S_2}$
【知识点】
1. 配方法因式分解
2. 整式乘法运算
3. 非负数的性质
【点评】
本题为材料阅读类题型，考查对新方法的迁移应用能力，第一问直接套用材料给出的配方法思路即可求解，第二问结合整式运算和配方法，利用偶次幂的非负性判断代数式符号，整体侧重对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）第一问参照材料给出的配方法因式分解思路，先将含x、y的二次项和一次项凑成完全平方，通过加$y^2$再减$y^2$保证原式值不变，将原式转化为平方差的结构，再用平方差公式完成因式分解即可。
（2）第二问按照提示采用作差法比较大小：先根据长方形面积公式分别计算$S_1$和$S_2$的整式表达式，再计算$S_1-S_2$，将所得的多项式用配方法变形为“完全平方+正数”的形式，利用平方的非负性判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系。
【解析】
(1) 分解因式$x^2 +2xy -3y^2$：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2xy+y^2 - y^2 -3y^2\\&=(x+y)^2 -4y^2\\&=(x+y)^2 - (2y)^2\\&=(x+y+2y)(x+y-2y)\\&=(x+3y)(x-y)\end{aligned}$
(2) 先计算两个长方形的面积：
$S_1=(3a+2)(2a+3)=6a^2+9a+4a+6=6a^2+13a+6$
$S_2=4a(a+\dfrac{17}{4})=4a^2+17a$
再计算$S_1-S_2$并判断符号：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=(6a^2+13a+6)-(4a^2+17a)\\&=6a^2+13a+6-4a^2-17a\\&=2a^2-4a+6\\&=2(a^2-2a+1 + 2)\\&=2(a-1)^2 +4\end{aligned}$
$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2 +4≥4＞0$，即$S_1-S_2＞0$，因此$S_1＞S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{(x+3y)(x-y)}$
(2) $\boxed{S_1＞S_2}$
【知识点】
1. 配方法因式分解
2. 整式乘法运算
3. 非负数的性质
【点评】
本题为材料阅读类题型，考查对新方法的迁移应用能力，第一问直接套用材料给出的配方法思路即可求解，第二问结合整式运算和配方法，利用偶次幂的非负性判断代数式符号，整体侧重对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. (2025·北京) 分解因式：$7m^2 -28 =$
7(m+2)(m-2)
.答案
8. 7(m+2)(m-2)
解析
【分析】
解决因式分解问题需遵循“先提公因式，再用公式”的思路：首先观察多项式的各项是否存在公因式，本题中两项的公因式为7，第一步先提取公因式；提取后剩余的多项式为$m^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可继续用平方差公式分解，直到所有因式都无法再分解即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式7：
$7m^2 -28 = 7(m^2 - 4)$
第二步，利用平方差公式分解$m^2-4$：
$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m+2)(m-2)$
综上，$7m^2 -28 = 7(m+2)(m-2)$
【答案】
$7(m+2)(m-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，解题核心是牢记因式分解的操作顺序，同时注意分解要彻底，最终结果中每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
解决因式分解问题需遵循“先提公因式，再用公式”的思路：首先观察多项式的各项是否存在公因式，本题中两项的公因式为7，第一步先提取公因式；提取后剩余的多项式为$m^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可继续用平方差公式分解，直到所有因式都无法再分解即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式7：
$7m^2 -28 = 7(m^2 - 4)$
第二步，利用平方差公式分解$m^2-4$：
$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m+2)(m-2)$
综上，$7m^2 -28 = 7(m+2)(m-2)$
【答案】
$7(m+2)(m-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，解题核心是牢记因式分解的操作顺序，同时注意分解要彻底，最终结果中每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
(2025·西宁) 分解因式：$8ab^2 - 2a =$
2a(2b-1)(2b+1)
.答案
9. 2a(2b-1)(2b+1)
解析
【分析】
解决这道分解因式的题，我们遵循因式分解的常规步骤思考：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步再观察提取公因式后剩下的因式是否符合乘法公式的形式，若符合则用对应公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
首先看原式$8ab^2 - 2a$，两项的系数最大公约数是2，都含有字母a，所以公因式是$2a$，提取公因式后得到$2a(4b^2 - 1)$；再看括号内的$4b^2 -1$，符合平方差公式$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$的形式，其中$m=2b$，$n=1$，可以继续分解，直到不能再分解就得到最终结果。
【解析】
解：$8ab^2 - 2a$
第一步，提取公因式$2a$：
$=2a(4b^2 - 1)$
第二步，利用平方差公式分解$4b^2 -1$：
$=2a[(2b)^2 - 1^2]$
$=2a(2b - 1)(2b + 1)$
【答案】
$2a(2b-1)(2b+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意因式分解的基本顺序：先提公因式，再用公式法，最终要保证每个因式都不能再继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
解决这道分解因式的题，我们遵循因式分解的常规步骤思考：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步再观察提取公因式后剩下的因式是否符合乘法公式的形式，若符合则用对应公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
首先看原式$8ab^2 - 2a$，两项的系数最大公约数是2，都含有字母a，所以公因式是$2a$，提取公因式后得到$2a(4b^2 - 1)$；再看括号内的$4b^2 -1$，符合平方差公式$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$的形式，其中$m=2b$，$n=1$，可以继续分解，直到不能再分解就得到最终结果。
【解析】
解：$8ab^2 - 2a$
第一步，提取公因式$2a$：
$=2a(4b^2 - 1)$
第二步，利用平方差公式分解$4b^2 -1$：
$=2a[(2b)^2 - 1^2]$
$=2a(2b - 1)(2b + 1)$
【答案】
$2a(2b-1)(2b+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意因式分解的基本顺序：先提公因式，再用公式法，最终要保证每个因式都不能再继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
11. (2025·烟台) 因式分解：$2x^2 -12xy +18y^2=$ .
答案
$\boldsymbol{2(x-3y)^2}$
解析
【分析】
解决因式分解问题需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，且无共有的字母因式，因此先提取公因式2；第二步观察提取公因式后余下的多项式，判断是否符合乘法公式的结构特征，余下的$x^2-6xy+9y^2$满足完全平方差公式“$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$”的形式，可套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否已经化为几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解，确认分解彻底。
【解析】
解：先提取公因式2，得：
$2x^2 -12xy +18y^2=2(x^2 - 6xy + 9y^2)$
再根据完全平方差公式分解括号内的多项式，其中$a=x$，$b=3y$：
$x^2 -6xy +9y^2=(x-3y)^2$
因此原式分解结果为：
$2(x-3y)^2$
【答案】
$2(x-3y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意牢记因式分解的常规顺序，先提公因式再套用公式，避免出现直接套用公式漏提公因式的错误，最终需确认分解结果彻底，无再可分解的因式。
【难度系数】
0.8
解决因式分解问题需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，且无共有的字母因式，因此先提取公因式2；第二步观察提取公因式后余下的多项式，判断是否符合乘法公式的结构特征，余下的$x^2-6xy+9y^2$满足完全平方差公式“$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$”的形式，可套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否已经化为几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解，确认分解彻底。
【解析】
解：先提取公因式2，得：
$2x^2 -12xy +18y^2=2(x^2 - 6xy + 9y^2)$
再根据完全平方差公式分解括号内的多项式，其中$a=x$，$b=3y$：
$x^2 -6xy +9y^2=(x-3y)^2$
因此原式分解结果为：
$2(x-3y)^2$
【答案】
$2(x-3y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意牢记因式分解的常规顺序，先提公因式再套用公式，避免出现直接套用公式漏提公因式的错误，最终需确认分解结果彻底，无再可分解的因式。
【难度系数】
0.8
