登录
7. 用简便方法进行计算.
(1) $100^2 - 2×100×99 + 99^2$；
(2) $34^2 + 34×32 + 16^2$.
(1) $100^2 - 2×100×99 + 99^2$；
(2) $34^2 + 34×32 + 16^2$.
答案
7. (1) 1
(2) 2 500
(2) 2 500
解析
【分析】
这两道题是整式简便计算类题目，解题核心是识别算式结构是否符合完全平方公式的特征。完全平方公式可逆向应用为因式分解：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时先对应找到公式中的$a$和$b$，再套用公式转化为简单的乘方运算即可。
(1) 式中100相当于公式里的$a$，99相当于公式里的$b$，刚好符合$a^2-2ab+b^2$的完全平方差结构；
(2) 式中先观察中间项$34×32$可变形为$2×34×16$，此时34相当于$a$，16相当于$b$，符合$a^2+2ab+b^2$的完全平方和结构。
【解析】
(1) 计算$100^2 - 2×100×99 + 99^2$：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=100$，$b=99$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(100-99)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
(2) 计算$34^2 + 34×32 + 16^2$：
先将中间项变形为$34×32=2×34×16$，再根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，令$a=34$，$b=16$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=34^2 + 2×34×16 + 16^2\\&=(34+16)^2\\&=50^2\\&=2500\end{aligned}$
【答案】
(1) 1；(2) 2500
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解简便计算
【点评】
本题考查完全平方公式的逆向应用，解题关键是准确识别算式的结构特征，通过套用公式将复杂的乘法运算转化为简单的乘方运算，既降低计算量，也能提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题是整式简便计算类题目，解题核心是识别算式结构是否符合完全平方公式的特征。完全平方公式可逆向应用为因式分解：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时先对应找到公式中的$a$和$b$，再套用公式转化为简单的乘方运算即可。
(1) 式中100相当于公式里的$a$，99相当于公式里的$b$，刚好符合$a^2-2ab+b^2$的完全平方差结构；
(2) 式中先观察中间项$34×32$可变形为$2×34×16$，此时34相当于$a$，16相当于$b$，符合$a^2+2ab+b^2$的完全平方和结构。
【解析】
(1) 计算$100^2 - 2×100×99 + 99^2$：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=100$，$b=99$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(100-99)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
(2) 计算$34^2 + 34×32 + 16^2$：
先将中间项变形为$34×32=2×34×16$，再根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，令$a=34$，$b=16$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=34^2 + 2×34×16 + 16^2\\&=(34+16)^2\\&=50^2\\&=2500\end{aligned}$
【答案】
(1) 1；(2) 2500
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解简便计算
【点评】
本题考查完全平方公式的逆向应用，解题关键是准确识别算式的结构特征，通过套用公式将复杂的乘法运算转化为简单的乘方运算，既降低计算量，也能提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
8. 下面是洋洋同学对多项式$(x^2+4x+2)(x^2+4x+6)+4$进行因式分解的过程：
解：设$x^2+4x=y$，则原式=$(y+2)(y+6)+4$（第一步）
$=y^2+8y+16$（第二步）
$=(y+4)^2$（第三步）
$=(x^2+4x+4)^2$（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果.
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^2-6x+8)(x^2-6x+10)+1$进行因式分解.
解：设$x^2+4x=y$，则原式=$(y+2)(y+6)+4$（第一步）
$=y^2+8y+16$（第二步）
$=(y+4)^2$（第三步）
$=(x^2+4x+4)^2$（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果.
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^2-6x+8)(x^2-6x+10)+1$进行因式分解.
答案
8. 解：（1）不彻底，原式=$(y+2)(y+6)+4=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2+4x+4)^2=(x+2)^4$.
（2）设$x^2-6x=y$，原式=$y^2+18y+80+1=y^2+18y+81=(y+9)^2=(x^2-6x+9)^2=(x-3)^4$.
（2）设$x^2-6x=y$，原式=$y^2+18y+80+1=y^2+18y+81=(y+9)^2=(x^2-6x+9)^2=(x-3)^4$.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确因式分解的核心要求：因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。观察该同学得到的结果$(x^2+4x+4)^2$，其中$x^2+4x+4$还可以用完全平方公式继续分解，因此原结果不彻底，继续分解即可得到最终结果。
（2）解决第二问可模仿题干的换元法思路：首先观察待分解多项式，发现两个括号中都含有相同的整体$x^2-6x$，因此设$x^2-6x=y$，将原式转化为关于y的简单多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将y换回$x^2-6x$，最后检查是否还能继续分解，分解到最简即可。
【解析】
（1）该同学的因式分解结果不彻底。
因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$，所以：
$(x^2+4x+4)^2=[(x+2)^2]^2=(x+2)^4$
即因式分解的最后结果为$(x+2)^4$。
（2）设$x^2-6x=y$，则：
$\begin{aligned}原式&=(y+8)(y+10)+1\\&=y^2+18y+80+1\\&=y^2+18y+81\\&=(y+9)^2\end{aligned}$
将$y=x^2-6x$代回得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-6x+9)^2\\&=[(x-3)^2]^2\\&=(x-3)^4\end{aligned}$
【答案】
（1）不彻底，最后结果为$\boldsymbol{(x+2)^4}$；
（2）因式分解的结果为$\boldsymbol{(x-3)^4}$。
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解的要求
【点评】
本题重点考查换元法在因式分解中的应用，换元法可以将结构复杂的多项式简化，降低运算难度，解题时需要牢记因式分解的最终要求，必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一问首先要明确因式分解的核心要求：因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。观察该同学得到的结果$(x^2+4x+4)^2$，其中$x^2+4x+4$还可以用完全平方公式继续分解，因此原结果不彻底，继续分解即可得到最终结果。
（2）解决第二问可模仿题干的换元法思路：首先观察待分解多项式，发现两个括号中都含有相同的整体$x^2-6x$，因此设$x^2-6x=y$，将原式转化为关于y的简单多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将y换回$x^2-6x$，最后检查是否还能继续分解，分解到最简即可。
【解析】
（1）该同学的因式分解结果不彻底。
因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$，所以：
$(x^2+4x+4)^2=[(x+2)^2]^2=(x+2)^4$
即因式分解的最后结果为$(x+2)^4$。
（2）设$x^2-6x=y$，则：
$\begin{aligned}原式&=(y+8)(y+10)+1\\&=y^2+18y+80+1\\&=y^2+18y+81\\&=(y+9)^2\end{aligned}$
将$y=x^2-6x$代回得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-6x+9)^2\\&=[(x-3)^2]^2\\&=(x-3)^4\end{aligned}$
【答案】
（1）不彻底，最后结果为$\boldsymbol{(x+2)^4}$；
（2）因式分解的结果为$\boldsymbol{(x-3)^4}$。
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解的要求
【点评】
本题重点考查换元法在因式分解中的应用，换元法可以将结构复杂的多项式简化，降低运算难度，解题时需要牢记因式分解的最终要求，必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.6
9. (2025·甘肃) 因式分解：$x^2 -6x +9 =$
$(x-3)^2$
.答案
9. $(x-3)^2$
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式的结构：这是一个三项式，第一项$x^2$是$x$的平方，第三项$9$是$3$的平方，中间项$-6x$恰好是$x$与$3$乘积的2倍的相反数，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可以套用完全平方差公式求解，只需要确定公式中对应的$a$和$b$即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$x^2 -6x +9$，可将其改写为公式形态：
$x^2 - 2× x×3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处对应$a=x$，$b=3$，代入公式可得：
$x^2 -6x +9=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
公式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对完全平方公式结构的识别与运用，熟练掌握完全平方公式的形式特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
拿到这道因式分解题，首先观察多项式的结构：这是一个三项式，第一项$x^2$是$x$的平方，第三项$9$是$3$的平方，中间项$-6x$恰好是$x$与$3$乘积的2倍的相反数，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可以套用完全平方差公式求解，只需要确定公式中对应的$a$和$b$即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$x^2 -6x +9$，可将其改写为公式形态：
$x^2 - 2× x×3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处对应$a=x$，$b=3$，代入公式可得：
$x^2 -6x +9=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
公式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对完全平方公式结构的识别与运用，熟练掌握完全平方公式的形式特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
10. (2025·成都) 多项式$4x^2+1$加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
$4x$（答案不唯一）
.答案
10. $4x$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题的核心是运用完全平方公式的结构特征分析。首先回忆完全平方公式：两数和（或差）的平方等于两数的平方和加（或减）两数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察已知多项式$4x^2+1$，可将其看作完全平方公式中的两个平方项：$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，此时仅缺少公式中的交叉项$\pm2ab$，计算出交叉项即可得到符合要求的单项式，除此之外也可构造其他形式的完全平方式，因此答案不唯一。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
1. 把$4x^2$看作$(2x)^2$，$1$看作$1^2$，对应公式中的$a^2$和$b^2$；
2. 计算交叉项：$\pm2ab=\pm2×2x×1=\pm4x$；
因此加上$4x$后，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合要求（加$-4x$、$4x^4$等也可，写出一个即可）。
【答案】
$4x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；整式的运算
【点评】
本题属于开放性题目，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需紧扣公式的三类构成项（两个平方项、一个交叉项）分析，注意不要遗漏正负交叉项等其他可能的答案。
【难度系数】
0.7
解题的核心是运用完全平方公式的结构特征分析。首先回忆完全平方公式：两数和（或差）的平方等于两数的平方和加（或减）两数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察已知多项式$4x^2+1$，可将其看作完全平方公式中的两个平方项：$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，此时仅缺少公式中的交叉项$\pm2ab$，计算出交叉项即可得到符合要求的单项式，除此之外也可构造其他形式的完全平方式，因此答案不唯一。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
1. 把$4x^2$看作$(2x)^2$，$1$看作$1^2$，对应公式中的$a^2$和$b^2$；
2. 计算交叉项：$\pm2ab=\pm2×2x×1=\pm4x$；
因此加上$4x$后，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合要求（加$-4x$、$4x^4$等也可，写出一个即可）。
【答案】
$4x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；整式的运算
【点评】
本题属于开放性题目，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需紧扣公式的三类构成项（两个平方项、一个交叉项）分析，注意不要遗漏正负交叉项等其他可能的答案。
【难度系数】
0.7
