10. ，在△ABC中，∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形时，∠ADB的度数为。

10. 40°或100°或70°或20°

【分析】
本题属于等腰三角形的多解问题，解题思路如下：①首先明确等腰三角形未指定腰和底边时，需分三种情况讨论腰的对应关系：AB=BD、AB=AD、AD=BD；②其次动点D在直线BC上，位置不固定，需考虑D在线段BC上、BC的延长线、CB的延长线三种位置；③最后结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算每种情况下∠ADB的度数，避免漏解。
【解析】
分三类情况讨论等腰△ABD的腰的关系：
1. 当AB=AD时：
此时∠ADB=∠ABC=40°，符合三角形内角和规律；
2. 当AB=BD时，分两种子情况：
（1）点D在线段BC上：
∠ABD=40°，等腰△ABD中∠BAD=∠ADB，根据三角形内角和为180°，得$∠ ADB=(180°-40°)÷2=70°$；
（2）点D在CB的延长线上（点B右侧）：
此时$∠ ABD=180°-∠ ABC=140°$，等腰△ABD中∠BAD=∠ADB，得$∠ ADB=(180°-140°)÷2=20°$；
3. 当AD=BD时：
此时∠BAD=∠ABD=40°，根据三角形内角和为180°，得$∠ ADB=180°-40°-40°=100°$。
综上，∠ADB的度数为40°或100°或70°或20°。
【答案】
40°或100°或70°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形的多解性，容易漏分腰的情况或忽略动点在直线上的多种位置，解题时要养成分类讨论的习惯，结合图形验证每种情况是否成立。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$AB=AC$，$∠ BAC=48°$，且$AD=AE$，求$∠ EDC$的度数.

11. 解：$\because AD⊥ BC$，$AB=AC$，$\therefore ∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$. 又$\because ∠ BAC=48°$，$\therefore ∠ DAC=24°$. $\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-24°)=78°$. $\because ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ EDC=90°-78°=12°$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC且AD⊥BC，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，判断AD是顶角∠BAC的平分线，先求出∠DAC的度数；再根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，算出∠ADE的度数；最后结合AD⊥BC得到∠ADC=90°，通过角度的和差关系即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，$AB=AC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
又$\because ∠ BAC=48°$，
$\therefore ∠ DAC=\frac{1}{2}×48°=24°$。
$\because AD=AE$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-24°)=78°$。
$\because AD⊥BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ EDC=∠ADC-∠ADE=90°-78°=12°$。
【答案】
$12°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础典型题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合角度和差关系计算即可，解题时注意理清各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，过点$A$作$AE ⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$. 若$∠ BAC=2∠ DAE$，求$∠ DAE$的度数.

12. 解：设$∠ DAE=x°$，则$∠ BAC=2x°$，$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-2x°)=90°-x°$. $\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=45°-\frac{1}{2}x°$. $\because AE⊥ BD$，$\therefore ∠ ABE+∠ BAE=90°$. $\therefore 45°-\frac{1}{2}x°+2x°+x°=90°$，$\therefore x=18$，$\therefore ∠ DAE=18°$.

【分析】
本题是等腰三角形中的角度计算问题，可通过方程思想简化求解：首先根据∠BAC=2∠DAE的倍数关系设未知数，再利用等腰三角形两底角相等的性质用未知数表示出底角∠ABC的度数，接着结合角平分线的定义得到∠ABE的度数，最后根据AE⊥BD可知直角三角形ABE的两个锐角和为90°，找到角之间的和差关系列出方程，求解即可得到∠DAE的度数。
【解析】
设$∠ DAE=x°$，则$∠ BAC=2x°$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-2x°)=90°-x°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×(90°-x°)=45°-\frac{1}{2}x°$。
$\because AE⊥ BD$，$\therefore ∠ E=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAE=90°$。
又$\because ∠ BAE=∠ BAC+∠ DAE=2x°+x°=3x°$，代入得：
$45°-\frac{1}{2}x°+3x°=90°$
解得$x=18$。
【答案】
$18°$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了三角形中多个基础性质的应用，核心解题方法是方程思想，解题的关键是准确梳理各个角之间的数量关系，找准等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7