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3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点 D. 下列结论不一定正确的是（
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$BD=CD$
D.$AD=BC$
D
）A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$BD=CD$
D.$AD=BC$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先根据AB=AC判定△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”（底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合）的性质，逐个分析选项，找出不一定成立的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项正确，不符合题意；
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠1=∠2，故B选项正确，不符合题意；
AD也是底边BC的中线，因此BD=CD，故C选项正确，不符合题意；
对于D选项：AD是BC边上的高，其长度与BC的长度无必然相等的关系，仅在部分特殊等腰三角形中成立，因此该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要围绕等腰三角形的核心性质设题，熟练掌握“等边对等角”和“三线合一”的适用条件，即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先根据AB=AC判定△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”（底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合）的性质，逐个分析选项，找出不一定成立的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项正确，不符合题意；
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠1=∠2，故B选项正确，不符合题意；
AD也是底边BC的中线，因此BD=CD，故C选项正确，不符合题意；
对于D选项：AD是BC边上的高，其长度与BC的长度无必然相等的关系，仅在部分特殊等腰三角形中成立，因此该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要围绕等腰三角形的核心性质设题，熟练掌握“等边对等角”和“三线合一”的适用条件，即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.9
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$D$是$BC$边上一点，$AD=AC$ ，若$∠ B=50°$，则$∠ BAD=$
15°
.答案
4. 15°
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；再根据△ADC也是等腰三角形，得到∠ADC=∠C；最后利用三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，$AB=BC$，$∠ B=50°$
根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ BAC=∠ C$
由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=(180°-∠ B)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
$\because AD=AC$，$\therefore △ ADC$为等腰三角形，同理得$∠ ADC=∠ C=65°$
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$
则$∠ BAD=∠ ADC-∠ B=65°-50°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，梳理清楚各角之间的数量关系，结合三角形相关角度性质列式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；再根据△ADC也是等腰三角形，得到∠ADC=∠C；最后利用三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，$AB=BC$，$∠ B=50°$
根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ BAC=∠ C$
由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=(180°-∠ B)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
$\because AD=AC$，$\therefore △ ADC$为等腰三角形，同理得$∠ ADC=∠ C=65°$
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$
则$∠ BAD=∠ ADC-∠ B=65°-50°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，梳理清楚各角之间的数量关系，结合三角形相关角度性质列式计算即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$CA=CB$，$D$是$AB$的中点，$∠ B=42°$，求$∠ ACD$的度数.
答案
5. 解：$\because CA=CB$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形.$\because ∠ B=42°$，$\therefore ∠ A=∠ B=42°$，$\therefore ∠ ACB=96°$. 又$\because D$是$AB$的中点，即$CD$是底边$AB$上的中线，$\therefore CD$平分$∠ ACB$. $\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=48°$.
解析
【分析】
首先提取题目已知条件：①CA=CB，可判定△ABC是等腰三角形；②D是AB的中点；③∠B=42°。要求∠ACD的度数，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠B，再结合三角形内角和定理即可算出顶角∠ACB的度数；接下来根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线与顶角平分线互相重合，已知CD是底边AB的中线，因此CD平分∠ACB，即可推出∠ACD是∠ACB的一半，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because CA=CB$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
$\because ∠ B=42°$，$\therefore ∠ A=∠ B=42°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠A-∠B=180°-42°-42°=96°$.
又$\because D$是$AB$的中点，即$CD$是底边$AB$上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore CD$平分$∠ ACB$.
$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×96°=48°$.
【答案】
$48°$
【知识点】
等边对等角，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查等腰三角形的常用性质，解题的关键是结合已知条件选择合适的等腰三角形性质进行推导，掌握相关性质后可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先提取题目已知条件：①CA=CB，可判定△ABC是等腰三角形；②D是AB的中点；③∠B=42°。要求∠ACD的度数，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠B，再结合三角形内角和定理即可算出顶角∠ACB的度数；接下来根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线与顶角平分线互相重合，已知CD是底边AB的中线，因此CD平分∠ACB，即可推出∠ACD是∠ACB的一半，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because CA=CB$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
$\because ∠ B=42°$，$\therefore ∠ A=∠ B=42°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠A-∠B=180°-42°-42°=96°$.
又$\because D$是$AB$的中点，即$CD$是底边$AB$上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore CD$平分$∠ ACB$.
$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×96°=48°$.
【答案】
$48°$
【知识点】
等边对等角，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查等腰三角形的常用性质，解题的关键是结合已知条件选择合适的等腰三角形性质进行推导，掌握相关性质后可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，若∠BDA=90°，∠BAD=68°，则∠CAD的度数为（
A.24°
B.28°
C.34°
D.38°
A
）A.24°
B.28°
C.34°
D.38°
答案
6. A
解析
【分析】
解题时可按以下步骤推导：第一步，先在Rt△ABD中，利用三角形内角和算出∠ABD的度数；第二步，根据角平分线的定义，得到∠ABC的度数；第三步，结合等腰三角形两底角相等的性质，算出∠C的度数，再用三角形内角和求出∠BAC的总度数；最后用∠BAC减去已知的∠BAD，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=68°，根据三角形内角和为180°：
∠ABD = 180° - ∠ADB - ∠BAD = 180° - 90° - 68° = 22°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC = 2∠ABD = 2×22° = 44°
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠C = ∠ABC = 44°
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 44° - 44° = 92°
∴∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 92° - 68° = 24°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合已知角的条件，逐步推导未知角的度数，只要熟练掌握相关几何性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤推导：第一步，先在Rt△ABD中，利用三角形内角和算出∠ABD的度数；第二步，根据角平分线的定义，得到∠ABC的度数；第三步，结合等腰三角形两底角相等的性质，算出∠C的度数，再用三角形内角和求出∠BAC的总度数；最后用∠BAC减去已知的∠BAD，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=68°，根据三角形内角和为180°：
∠ABD = 180° - ∠ADB - ∠BAD = 180° - 90° - 68° = 22°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC = 2∠ABD = 2×22° = 44°
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠C = ∠ABC = 44°
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 44° - 44° = 92°
∴∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 92° - 68° = 24°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合已知角的条件，逐步推导未知角的度数，只要熟练掌握相关几何性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$G$，$DM// BC$交$∠ ABC$的外角平分线于点$M$，分别交$AB$，$AC$于点$F$，$E$. 下列结论正确的是（
A.$EF=ED$
B.$FD=BC$
C.$EC=MF$
D.$EC=AG$
C
）A.$EF=ED$
B.$FD=BC$
C.$EC=MF$
D.$EC=AG$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ ABC是等腰三角形，两底角相等；再结合DM// BC可推出△ AFE也是等腰三角形，进而推导得到FB=EC；之后利用角平分线的性质和平行线的内错角相等，证明△ MBF是等腰三角形，得到MF=FB，通过等量代换即可得到EC=MF，可判断选项C正确，其余选项均无足够条件证明成立。【解析】解：1. 推导$FB=EC\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。$\because DM// BC$，$\therefore ∠ AFE=∠ ABC$，∠ AEF=∠ ACB，$\therefore ∠ AFE=∠ AEF$，$\therefore AF=AE$，$\therefore AB-AF=AC-AE$，即FB=EC。2. 推导MF=FB设CB的延长线为射线BP，BM平分∠ ABC的外角∠ ABP，$\therefore ∠ ABM=∠ MBP$。$\because DM// BC$，$\therefore ∠ M=∠ MBP（$内错角相等），$\therefore ∠ M=∠ ABM=∠ MBF$，$\therefore MF=FB$。3. 等量代换得结论结合前两步结论：MF=FB=EC，即EC=MF，故C选项正确。
其余选项无对应条件证明成立，均错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、角平分线的相关性质，解题的核心是通过等角对等边找到相等线段，再通过等量代换得到结论，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ ABC是等腰三角形，两底角相等；再结合DM// BC可推出△ AFE也是等腰三角形，进而推导得到FB=EC；之后利用角平分线的性质和平行线的内错角相等，证明△ MBF是等腰三角形，得到MF=FB，通过等量代换即可得到EC=MF，可判断选项C正确，其余选项均无足够条件证明成立。【解析】解：1. 推导$FB=EC\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。$\because DM// BC$，$\therefore ∠ AFE=∠ ABC$，∠ AEF=∠ ACB，$\therefore ∠ AFE=∠ AEF$，$\therefore AF=AE$，$\therefore AB-AF=AC-AE$，即FB=EC。2. 推导MF=FB设CB的延长线为射线BP，BM平分∠ ABC的外角∠ ABP，$\therefore ∠ ABM=∠ MBP$。$\because DM// BC$，$\therefore ∠ M=∠ MBP（$内错角相等），$\therefore ∠ M=∠ ABM=∠ MBF$，$\therefore MF=FB$。3. 等量代换得结论结合前两步结论：MF=FB=EC，即EC=MF，故C选项正确。
其余选项无对应条件证明成立，均错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、角平分线的相关性质，解题的核心是通过等角对等边找到相等线段，再通过等量代换得到结论，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.65
8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$，则等腰三角形的底角度数为
75°
15°
.答案
8. 75°或15°
解析
【分析】
解决本题需要对等腰三角形的形状进行分类讨论：等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，两种情况下腰上的高位置不同，分别在三角形内部和外部。先结合直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部
已知腰上的高与另一腰的夹角为60°，高与腰的夹角为直角，根据直角三角形两锐角互余，可得顶角度数为：$90° - 60° = 30°$
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，底角度数为：$\frac{180° - 30°}{2} = 75°$
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部
此时腰上的高与另一腰的夹角为60°，在高构成的直角三角形中，另一个锐角为$90° - 60° = 30°$，该角是等腰三角形顶角的外角，因此顶角度数为$180° - 30° = 150°$
同理可得底角度数为：$\frac{180° - 150°}{2} = 15°$
综上，等腰三角形的底角度数为75°或15°。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型易错题，解题的核心是不能忽略对等腰三角形形状的分类讨论，要考虑到高在三角形内部和外部两种情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.65
解决本题需要对等腰三角形的形状进行分类讨论：等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，两种情况下腰上的高位置不同，分别在三角形内部和外部。先结合直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部
已知腰上的高与另一腰的夹角为60°，高与腰的夹角为直角，根据直角三角形两锐角互余，可得顶角度数为：$90° - 60° = 30°$
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，底角度数为：$\frac{180° - 30°}{2} = 75°$
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部
此时腰上的高与另一腰的夹角为60°，在高构成的直角三角形中，另一个锐角为$90° - 60° = 30°$，该角是等腰三角形顶角的外角，因此顶角度数为$180° - 30° = 150°$
同理可得底角度数为：$\frac{180° - 150°}{2} = 15°$
综上，等腰三角形的底角度数为75°或15°。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型易错题，解题的核心是不能忽略对等腰三角形形状的分类讨论，要考虑到高在三角形内部和外部两种情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.65
9. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角. 这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE=81°，则∠CDE的度数为
72°
.答案
9. 72°
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE都是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，找到已知角∠BDE和最小角∠O的数量关系，先求出∠O的度数，最后通过平角的性质即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ △OCD和△CDE均为等腰三角形，
∴ ∠O = ∠CDO，∠DCE = ∠DEC。
设∠O = x，则∠CDO = x，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE = ∠O + ∠CDO = 2x，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x。
∵ ∠BDE是△ODE的外角，
∴ ∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE=81°，
∴ 3x = 81°，解得x=27°，即∠CDO=27°。
∵ 点O、D、B共线，∠ODB为平角，
∴ ∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠CDE = 180° - 27° - 81° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；平角的定义
【点评】
本题结合实际工具考查等腰三角形相关性质的应用，解题关键是理清各角之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，能有效检验学生对几何基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE都是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，找到已知角∠BDE和最小角∠O的数量关系，先求出∠O的度数，最后通过平角的性质即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ △OCD和△CDE均为等腰三角形，
∴ ∠O = ∠CDO，∠DCE = ∠DEC。
设∠O = x，则∠CDO = x，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE = ∠O + ∠CDO = 2x，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x。
∵ ∠BDE是△ODE的外角，
∴ ∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE=81°，
∴ 3x = 81°，解得x=27°，即∠CDO=27°。
∵ 点O、D、B共线，∠ODB为平角，
∴ ∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠CDE = 180° - 27° - 81° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；平角的定义
【点评】
本题结合实际工具考查等腰三角形相关性质的应用，解题关键是理清各角之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，能有效检验学生对几何基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
