【知识点1】等腰三角形的性质
◎性质1：等腰三角形的两个相等（简写成“”）.
◎性质2：等腰三角形的、及

底角 等边对等角 底边上的中线 高 顶角平分线

【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形性质的标准表述，对应空缺位置填写即可。首先回忆性质1：等腰三角形两条腰相等，对应的两个底角相等，简写为“等边对等角”；再回忆性质2即“三线合一”相关内容，对应空缺填写对应线段名称即可。
【解析】
根据等腰三角形的标准性质内容：
1. 等腰三角形的两个底角相等，该性质可简写成“等边对等角”；
2. 等腰三角形存在“三线合一”的性质，即等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线三条线段互相重合。
按照题干空缺顺序依次填入对应内容即可。
【答案】
底角 等边对等角 底边上的中线 高 顶角平分线
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角、三线合一
【点评】
本题是基础概念考察题，重点考查对等腰三角形核心性质的记忆掌握情况，相关性质是解决等腰三角形角度计算、线段证明类问题的基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9

1. 若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则该三角形的周长是（）

A.13
B.17
C.13 或 17
D.20

1. B

【分析】
等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为3和7，未明确腰和底，因此需要分两种情况讨论。同时，三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”的三边关系，因此每种情况都要先验证是否能构成三角形，再计算周长，避免得到不符合实际的结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为7，则三角形三边长为3，3，7。
由于$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为7，底边长为3，则三角形三边长为7，7，3。
由于$3+7=10＞7$，$7+7=14＞3$，满足三角形三边关系，此时三角形周长为$7+7+3=17$。
综上，该三角形的周长为17，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题易错点是忽略三角形三边的成立条件，直接认为两种情况都成立误选C，解题时要注意分类讨论后必须验证三边关系是否符合要求。
【难度系数】
0.6

2. 等腰三角形的一个角为110°，则顶角的度数为（）

A.35°
B.70°
C.110°
D.70°或110°
A
↑

2. C

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：两底角相等，同时结合三角形内角和为180°的定理分析。已知给出的一个角为110°，需要分两种情况讨论：①该角为顶角；②该角为底角，再分别验证两种情况是否满足三角形内角和要求，排除不成立的情况即可得到顶角的度数。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为110°，分两种情况讨论：
1. 若110°的角为顶角：此时剩余两个底角的和为$180°-110°=70°$，每个底角为$70°÷2=35°$，符合三角形内角和定理，该情况成立。
2. 若110°的角为底角：根据等腰三角形两底角相等，两个底角的和为$110°×2=220°＞180°$，不符合三角形内角和为180°的要求，该情况不成立。
因此该等腰三角形的顶角只能是110°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略三角形内角和的限制，直接认为110°既可以是顶角也可以是底角，错选D。解题时遇到等腰三角形已知角度求角的问题，分情况讨论后一定要验证是否符合三角形的基本性质，避免错误。
【难度系数】
0.7

3. 如图15.3-1，△ABC的周长是14，AB=AC=5，AD⊥BC，则BD等于（）

A.1
B.2
C.3
D.4

3. B

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是BC边上的中线，即BD=½BC，因此需要先求出底边BC的长度。已知三角形周长和两腰长，用周长减去两个腰长即可得到BC的长，再除以2就能求出BD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC的周长是14，AB=AC=5
∴BC = 周长 - AB - AC = 14 - 5 - 5 = 4
又
∵AB=AC，AD⊥BC
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的中线
∴BD = ½BC = ½×4 = 2
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质的应用，解题关键是先利用周长求出底边长度，再结合三线合一的性质得到BD与底边的数量关系，掌握等腰三角形的核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

等腰三角形是图形，底边上的（顶角的、底边上的）所在就是它的对称轴。

轴对称 中线 平分线 高 直线

【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，解题思路如下：第一步，结合轴对称图形的定义，判断等腰三角形的图形类型；第二步，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，明确重合的三条线段分别是什么；第三步，根据对称轴是直线的属性，确定最后一空的答案。
【解析】
1. 若一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分可以完全重合，该图形就是轴对称图形，等腰三角形符合这个特征，因此第一空填“轴对称”。
2. 根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合，因此接下来三个空依次填“中线”“平分线”“高”。
3. 对称轴的定义是直线，上述三条重合的线段所在的直线才是等腰三角形的对称轴，因此最后一空填“直线”。
【答案】
轴对称 中线 平分线 高 直线
【知识点】
轴对称图形；等腰三角形性质；三线合一
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对等腰三角形轴对称性和三线合一性质的识记，熟练掌握相关基础知识点即可准确作答。
【难度系数】
0.9

【例】如图15.3-2，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD=DB=BC$，$DE ⊥ AB$于点$E$，若$CD=4$，且$△ BDC$的周长为24，则$AE$的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8
【点拨】解决此题关键在于根据等腰三角形的性质得出$AE=\frac{1}{2}AB$，故要求$AE$，只需求出$AB$，即$AC$的长。

例. C

【分析】
解题时先从△BDC的周长和CD的长度入手，结合DB=BC的条件先求出BD、BC的长度；再根据AD=DB求出AD的长度，结合AB=AC得到AB的长度；最后根据等腰△ADB中DE⊥AB，由三线合一可知E是AB中点，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵△BDC的周长为24，CD=4
∴$BD+BC+CD=24$，即$BD+BC=24-4=20$
又
∵$DB=BC$
∴$BD=BC=10$
∵$AD=DB$
∴$AD=10$
∴$AC=AD+CD=10+4=14$
∵$AB=AC$
∴$AB=14$
∵$AD=DB$，$DE⊥AB$于点E
根据等腰三角形三线合一的性质，可得E为AB的中点
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三线合一、周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形性质的灵活运用，解题的关键是先通过周长条件推导各边长度，再利用三线合一建立所求线段和已知边长的等量关系，熟练掌握等腰三角形的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

1. 等腰三角形的一个角是$40°$，则它的顶角是（）

A.$40°$
B.$70°$
C.$100°$
D.$40°$或$100°$

1. D

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角度数相等，同时结合三角形内角和为180°的定理思考。由于题目没有明确说明40°的角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种是40°的角为顶角，第二种是40°的角为底角，分别计算两种情况下顶角的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
已知等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 若40°的角是顶角，此时顶角就是40°，两个底角均为$(180°-40°)÷2=70°$，符合三角形内角和要求；
2. 若40°的角是底角，此时顶角的度数为$180° - 40°×2 = 100°$，符合三角形内角和要求。
因此该等腰三角形的顶角是40°或100°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题，解题关键是明确当未指明已知角是顶角还是底角时，要进行分类讨论，避免漏解，同时需要验证计算结果是否符合三角形内角和的约束条件。
【难度系数】
0.8

2. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（）

A.11
B.13
C.11或13
D.12或13

2. C

【分析】
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两条腰长度相等。题目仅给出两边长3和5，未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论计算。同时要注意三角形的三边需满足“任意两边之和大于第三边”，每种情况算出三边长后都要验证是否符合三边关系，符合要求的情况才能计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为3时，三角形的三边长分别为3、3、5。
验证三边关系：$3+3=6＞5$，$3+5=8＞3$，满足三角形三边要求，此时周长为$3+3+5=11$。
2. 当腰长为5时，三角形的三边长分别为5、5、3。
验证三边关系：$5+5=10＞3$，$5+3=8＞5$，满足三角形三边要求，此时周长为$5+5+3=13$。
综上，该等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查分类讨论思想在等腰三角形边长问题中的应用，解题时容易出现的错误是忘记验证三边是否能构成三角形，或漏算其中一种情况，解题时要养成分类后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7