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【例】如图，已知$BE⊥ AC$于点$E$，$CF⊥ AB$于点$F$，$BE$，$CF$相交于点$D$，连接$AD$。若$BD=CD$，求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
证明:在$△ BDF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ BFD=∠ CED=90°,\\∠ BDF=∠ CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore△ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DF=DE.$
又$\because DF⊥ AB,DE⊥ AC,$
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,即$AD$平分$∠ BAC.$
$\begin{cases}∠ BFD=∠ CED=90°,\\∠ BDF=∠ CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore△ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DF=DE.$
又$\because DF⊥ AB,DE⊥ AC,$
$\therefore$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,即$AD$平分$∠ BAC.$
【变式1】如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠A=90°,∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数为
15°
.答案
15°
【变式2】如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等。若∠A=70°，则∠BOC=
125°
。答案
125°
1.如图,分别将两把相同的直尺的一边分别与射线OA,OB重合.若两把直尺的另一边相交于点P,则OP平分∠AOB的依据是（
A.等腰三角形两底边相等
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.角平分线的定义
D.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
D
）A.等腰三角形两底边相等
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.角平分线的定义
D.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
答案
1. D
2. 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是 （
A.①②③④
B.①②③
C.④
D.②③
第2题图 第3题图
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是 （
A
）A.①②③④
B.①②③
C.④
D.②③
第2题图 第3题图
答案
2. A
3.如图，$∠ AOB=70°$，C是$∠ AOB$内一点，$CD⊥ OA$于点D，$CE⊥ OB$于点E，且$CD=CE$，则$∠ DOC$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
3. B
