4.如图，OC平分$∠ AOB$，P是OC上一点，过点P作$PM⊥ OA$于点M，$PM=4$，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为。

4. 4

5. 如图，OM平分$∠ POQ$，$MA ⊥ OP$，$MB ⊥ OQ$，垂足分别为A，B，AB交OM于点N。求证：$OA=OB$。

5. 证明:
∵OM 平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM=BM.
在Rt△AOM 和Rt△BOM 中，
$\begin{cases} OM=OM,\\ AM=BM, \end{cases}$
∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL)，
∴OA=OB.

6.如图,两条笔直的公路$ l_1,l_2 $相交于点A,公路的旁边建有两个加工厂B,D.若$ AB=AD=5.6 \ \mathrm{km},CB=CD=5 \ \mathrm{km},C $村到公路$ l_1 $的距离为4.2 km,则C村到公路$ l_2 $的距离是 ()

A.3 km
B.4.2 km
C.5 km
D.5.6 km

6. B

7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE⊥ AB$,根据尺规作图的痕迹,以下结论不一定成立的是 ()

A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$DE=DC$
C.$∠ DAE=∠ DAC$
D.$△ ADE≌△ BDE$

7. D

8. 如图，OC平分$∠ AOD$，$CD⊥ OB$交OB于点D，且$CD=4$.已知点C到y轴的距离是6，那么点C的坐标为（）

A.$(6,4)$
B.$(-6,4)$
C.$(-4,6)$
D.$(-4,4)$

8. A

9. 如图①，D是$∠ ABC$的平分线上一点，点E，F分别在射线BA和射线BC上.
(1)若$∠ EBF$与$∠ EDF$互补，求证：$DF=DE$.
(2)反过来，如果$DF=DE$，那么$∠ EBF$和$∠ EDF$一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图②中画出反例.

9. (1)证明:如图①,过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于点 N.
∵BD 平分∠ABC,DM⊥AB,DN⊥BC,
∴DM=DN,∠DMB=∠DNB=90°,
∵∠ABD + ∠BMD + ∠BDM + ∠DBF + ∠BND + ∠BDN=360°,
∴∠ABC+∠MDN=180°.
∵∠EBF+∠EDF=180°,
∴∠MDN=∠EDF,即∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN,
∴∠MDE=∠NDF.
在△DME 和△DNF 中,
$\begin{cases} ∠MDE=∠NDF,\\ DM=DN,\\ ∠DME=∠DNF, \end{cases}$
∴△DME≌△DNF(ASA),
∴DF=DE.

(2)解:当 DF=DE 时,∠EBF 和∠EDF 不一定互补,如图②,当DE=DF'时,∠EBF'+∠EDF'≠180°.