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【例1】阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以点C，D为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM.
如图，根据以上作图步骤，一定可以推得的结论是（
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以点C，D为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM.
如图，根据以上作图步骤，一定可以推得的结论是（
A
）A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
答案
A
【例2】如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P为线段OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
答案
证明:
∵OD 平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD.
在△OBD 和△OAD 中，
$\begin{cases} OB=OA,\\ ∠BOD=∠AOD,\\ OD=OD, \end{cases}$
∴△OBD≌△OAD(SAS)，
∴∠BDO=∠ADO.
又
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.
∵OD 平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD.
在△OBD 和△OAD 中，
$\begin{cases} OB=OA,\\ ∠BOD=∠AOD,\\ OD=OD, \end{cases}$
∴△OBD≌△OAD(SAS)，
∴∠BDO=∠ADO.
又
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.
【变式】如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为E，$S_{△ ABC}=7$，$DE=2$，$AB=4$，则AC的长是（
A.6
B.5
C.4
D.3
D
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
D
1.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若PD=3，则PE的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. B
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点$E$，$BE=3$，$BC=7$，则$△ BDE$的周长为（
A.6
B.8
C.10
D.14
C
）A.6
B.8
C.10
D.14
答案
2. C
3. (2026宜宾)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以点A为圆心,小于AC长为半径画弧分别交AC,AB于点P,Q,又分别以P,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}PQ$为半径画弧交于点M,连接AM交BC于点D.已知$AB=5,CD=2$,则$△ ABD$的面积是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. D
