4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=72°$，$∠ C=46°$，D是AC上一点，连接BD，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ BC$于点F。若$DE=DF$，则$∠ DBF$的度数为（）


A.$20°$
B.$25°$
C.$31°$
D.$35°$

4. C

5.如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，且$DB=DC$，求证：$AD$是$∠BAC$的平分线。

5. 证明:$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore∠ BED=∠ CFD=90°,$
$\therefore△ BDE$与$△ CDF$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,
$\begin{cases}BD=CD,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF,$
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线.

6. 如图，P为△ABC内一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E,G,F，且PE=PG=PF.若AB=9，AC=5，BC=6，则AE=.

6. 4

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线相交于点$P$,$PD⊥ AC$于点$D$,$PH⊥ BA$,交$BA$的延长线于点$H$.
(1)若点$P$到直线$BA$的距离为$5\ \mathrm{cm}$,求点$P$到直线$BC$的距离;
(2)求证:点$P$在$∠ HAC$的平分线上.

7. (1)解:如图,过点$ P $作$ PF⊥ BE $于点$ F $.

$\because$点$ P $在$∠ ABC$的平分线上,$PH⊥ BA,PF⊥ BE,$
$\therefore PF=PH=5\ \mathrm{cm},$
即点$ P $到直线$ BC $的距离为$ 5\ \mathrm{cm}.$
(2)证明:$\because$点$ P $在$∠ ACE$的平分线上,$PD⊥ CA,PF⊥ BE,$
$\therefore PF=PD.$
$\because PF=PH,$
$\therefore PD=PH.$
$\because PD⊥ AC,PH⊥ BA,$
$\therefore $点$ P $在$∠ HAC$的平分线上.

8. 如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD//BC,E为CD的中点,连接AE,BE,且AE平分∠BAD,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)BE是∠ABF的平分线.

8. 证明:(1)$\because AD// BC,$
$\therefore∠ EAD=∠ EFC,∠ EDA=∠ ECF.$
$\because E $为$ CD $的中点,
$\therefore ED=EC.$
在$△ EAD$和$△ EFC$中,
$\begin{cases}∠ EAD=∠ EFC,\\∠ EDA=∠ ECF,\\ED=EC,\end{cases}$
$\therefore△ EAD≌△ EFC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore FC=AD.$
(2)如图,过点$ E $作$ EH⊥ AB $于点$ H $.

$\because AD⊥ CD,AD// BC,$
$\therefore CD⊥ BC.$
$\because AE$平分$∠ BAD,DE⊥ AD,HE⊥ AB,$
$\therefore EH=ED.$
$\because ED=EC,\therefore EH=EC.$
又$\because EH⊥ AB,EC⊥ BC,$
$\therefore BE$是$∠ ABF$的平分线.