9. (2024·邛崃校级月考)如图,在$2×2$的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使$△ ABC$为直角三角形的概率是

( )
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{4}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{2}{5}$

B

10. 在完全相同的四张卡片上分别写有如下四个命题:①半圆所对的弦是直径;②圆内接四边形的对角互补;③弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心;④等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上.把这四张卡片放入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内任取一张卡片,则取出卡片上的命题是真命题的概率是______.

$\frac{3}{4}$

11.（2024·潍坊中考）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______.

$\frac{1}{3}$

12. 围棋盒中有 $ x $ 颗白色棋子,$ y $ 颗黑色棋子,从盒中随机地取出一颗棋子,它是白色棋子的概率是$\frac{5}{8}$.
(1) 试写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式;
(2) 将第一次取出的棋子放回盒中,再往盒中放入6颗白色棋子,若第二次随机取出一颗白色棋子的概率为$\frac{2}{3}$,求 $ x $ 和 $ y $ 的值.

解：​$(1)$​因为从盒中随机地取出一颗棋子，它是白色棋子的概率是​$\frac {5}{8}，$​所以​$\frac {x}{x + y}=\frac {5}{8}，$​​$8x = 5x+5y，$​​$3x = 5y，$​则​$y=\frac {3}{5}x。$​​$ (2)$​将第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入​$6$​颗白色棋子，此时盒中白色棋子有​$(x + 6)$​颗，棋子总数为​$(x + y+6)$​颗，又因为第二次随机取出一颗白色棋子的概率为​$\frac {2}{3}，$​所以​$\frac {x + 6}{x + y+6}=\frac {2}{3}，$​把​$y=\frac {3}{5}x$​代入​$\frac {x + 6}{x + \frac {3}{5}x+6}=\frac {2}{3}，$​即​$\frac {x + 6}{\frac {8}{5}x+6}=\frac {2}{3}，$​​$3(x + 6)=2(\frac {8}{5}x+6)，$​​$3x+18=\frac {16}{5}x + 12，$​​$3x-\frac {16}{5}x=12 - 18，$​​$\frac {15x-16x}{5}=-6，$​​$-\frac {x}{5}=-6，$​解得​$x = 30。$​经检验，​$x = 30$​是原方程的解。则​$y=\frac {3}{5}×30 = 18。$​

13. 改编题 某风景区内的公路如图①所示,景区内有免费的班车,从入口处出发,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一辆班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车,小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林,离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图②所示.
(1)求第一辆班车从入口处到达塔林所需的时间.
(2)小聪在塔林游玩40分钟后来到塔林车站,准备坐等到的第一辆班车到草甸,若每一辆班车速度均相同,则小聪能在上午8:55之前到达草甸的概率是多少?
(3)若小聪在上午8:30至8:50之间到达塔林站乘坐班车,且到达塔林站的时刻是随机的,则他等车时间不超过3分钟的概率是多少?

解：​$(1)$​已知班车的速度为​$2700\div (38 - 20)=150($​米​$/$​分​$)，$​景区入口到塔林的距离为​$1500$​米，所以第一辆班车从入口处到达塔林所需时间为​$1500\div 150 = 10($​分钟​$)。$​​$ (2)$​小聪上午​$7$​：​$40$​到达入口处，步行​$25$​分钟后到达塔林，即上午​$8$​：​$05$​到达塔林，在塔林游玩​$40$​分钟后，​$8$​：​$45$​到达塔林车站。第一辆班车上午​$8$​：​$10$​到达塔林，以后每隔​$10$​分钟有一班车，​$8$​：​$50$​有班车到达塔林，班车从塔林到草甸用时​$1200\div 150 = 8$​分钟，所以小聪最早能在​$8$​：​$58$​到达草甸，故在​$8$​：​$55$​之前到达草甸的概率是​$0。$​​$ (3)$​设小聪到达时间为​$y，$​当​$y$​在​$8$​：​$37$​至​$8$​：​$40，$​或​$8$​：​$47$​至​$8$​：​$50$​时，共计​$6$​分钟，小聪等车时间不超过​$3$​分钟，小聪在​$8$​：​$30$​至​$8$​：​$50$​之间到达塔林站乘坐班车，总时长为​$8\colon 50 - 8\colon 30=20$​分钟，所以他等车时间不超过​$3$​分钟的概率为​$\frac {6}{20}=\frac {3}{10}。$​