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1. (2025 信阳)若 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}-5x + 2 = 0 $ 的两个实数根, 则 $ m + n(1 - m) $ 的值为____.
答案
3
2. (2025 长沙)已知 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}-3x - 1 = 0 $ 的两根, 则 $ \frac{2m}{m^{2}-n^{2}}-\frac{1}{m - n} $ 的值为____.
答案
$\frac{1}{3}$
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2mx + m^{2}+m = 0 $ 有实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若该方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $, 且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 12 $, 求 $ m $ 的值.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若该方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $, 且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 12 $, 求 $ m $ 的值.
答案
解：(1) 由题意可得 $\Delta=(2 m)^{2}-4\left(m^{2}+m\right) \geqslant 0$，解得 $m \leqslant 0$；
(2) 由 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=12$，
得 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=12$。
$\because x_{1}+x_{2}=-2 m, x_{1} x_{2}=m^{2}+m$，
$\therefore(-2 m)^{2}-2\left(m^{2}+m\right)=12$，
解得 $m=3$ 或 $m=-2$。
$\because m \leqslant 0, \therefore m=-2$。
(2) 由 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=12$，
得 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=12$。
$\because x_{1}+x_{2}=-2 m, x_{1} x_{2}=m^{2}+m$，
$\therefore(-2 m)^{2}-2\left(m^{2}+m\right)=12$，
解得 $m=3$ 或 $m=-2$。
$\because m \leqslant 0, \therefore m=-2$。
4. (2024 内江中考)已知 $ a,b $ 是方程 $ x^{2}+3x - 4 = 0 $ 的两根, 则 $ a^{2}+4a + b - 3 $ 的值为____.
答案
$-2$
5. (2025 南通)已知方程 $ x^{2}-2025x + 1 = 0 $ 的两根分别为 $ m,n $, 则 $ m^{2}-\frac{2025}{n} $ 的值为____.
答案
$-1$
6. (2024 德州中考改)若 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-x - 17 = 0 $ 的两根, 求 $ x_{1}^{3}-17x_{1}+x_{2}^{2} $ 的值.
答案
解：由题意，得 $x_{1}^{2}=x_{1}+17$，
$\therefore x_{1}^{3}=x_{1}^{2}+17 x_{1}$，
$\therefore$ 原式 $=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=1+2 \times 17=35$。
$\therefore x_{1}^{3}=x_{1}^{2}+17 x_{1}$，
$\therefore$ 原式 $=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=1+2 \times 17=35$。
7. (2025 武昌联考)已知 $ \square ABCD $ 的两边 $ AB,AD $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0 $ 的两个实数根.
(1) 当 $ m $ 为何值时, 四边形 $ ABCD $ 是菱形?
(2) 若 $ (AB - 3)(AD - 3)= \frac{25}{4}m^{2} $, 求 $ m $ 的值.
(1) 当 $ m $ 为何值时, 四边形 $ ABCD $ 是菱形?
(2) 若 $ (AB - 3)(AD - 3)= \frac{25}{4}m^{2} $, 求 $ m $ 的值.
答案
解：(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形，
$\therefore$ 当 $A B=A D$ 时，平行四边形 $A B C D$ 是菱形。
$\because A B, A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-m x+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根，
$\therefore \Delta=(-m)^{2}-4 \times 1 \times\left(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}\right)=0$，
即 $m^{2}-2 m+1=0, \therefore m_{1}=m_{2}=1$，
$\therefore$ 当 $m=1$ 时，
四边形 $A B C D$ 为菱形；
(2) $\because A B, A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-m x+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根，
$\therefore A B+A D=m$，
$A B \cdot A D=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，
$\because(A B-3)(A D-3)=\frac{25}{4} m^{2}$，
$\therefore A B \cdot A D-3(A B+A D)+9=\frac{25}{4} m^{2}$，
即 $5 m^{2}+2 m-7=0$，
$\therefore m=1, m_{2}=-\frac{7}{5}$。
$\because A B+A D=m＞0$，
$\therefore m=-\frac{7}{5}$ 不合题意，
$\therefore m$ 的值为 1。
$\therefore$ 当 $A B=A D$ 时，平行四边形 $A B C D$ 是菱形。
$\because A B, A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-m x+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根，
$\therefore \Delta=(-m)^{2}-4 \times 1 \times\left(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}\right)=0$，
即 $m^{2}-2 m+1=0, \therefore m_{1}=m_{2}=1$，
$\therefore$ 当 $m=1$ 时，
四边形 $A B C D$ 为菱形；
(2) $\because A B, A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-m x+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根，
$\therefore A B+A D=m$，
$A B \cdot A D=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，
$\because(A B-3)(A D-3)=\frac{25}{4} m^{2}$，
$\therefore A B \cdot A D-3(A B+A D)+9=\frac{25}{4} m^{2}$，
即 $5 m^{2}+2 m-7=0$，
$\therefore m=1, m_{2}=-\frac{7}{5}$。
$\because A B+A D=m＞0$，
$\therefore m=-\frac{7}{5}$ 不合题意，
$\therefore m$ 的值为 1。
