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8. (教材变式)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD= BD,∠CAD= 24^{\circ }$,则$∠C$的度数为______.
答案
52°
9. 如图,$a// b$,直线l与a,b分别交于点B,A,分别以点A,B为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,直线EF分别交直线a,b于点C,D,若$∠CDA= 34^{\circ }$,则$∠CAB$的度数为______.
答案
56°
10. (2025呼和浩特)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠B= 70^{\circ }$,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则$∠APB$的度数是______.
答案
35°或55°
11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,BD为AC边上的高.求证:$∠BAC= 2∠CBD$.
答案
证明：过点A作AE⊥BC于点E．
∵AB=AC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠BAC=2∠CAE．
∵BD为△ABC的高，
∴∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠C=∠CBD+∠C，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠BAC=2∠CBD．
∵AB=AC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠BAC=2∠CAE．
∵BD为△ABC的高，
∴∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠C=∠CBD+∠C，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠BAC=2∠CBD．
12. 如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB,∠ACB= 90^{\circ }$,O为AB的中点,D,E分别在AC,BC上,且$OD⊥OE$.若$CE= 2,CD= 4$,求四边形CDOE的面积.
答案
证明：连接OC．
∵CA=CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°．
又∵OD⊥OE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE．
又∵∠OCE=∠A=45°，OA=OC，
∴△OCE≌△OAD(ASA)，
∴CE=AD=2，
∴AC=6，
∴S_{四边形CDOE}=S_{△AOC}
=$\frac{1}{2}$S_{△ABC}
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×6
=9．
∵CA=CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°．
又∵OD⊥OE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE．
又∵∠OCE=∠A=45°，OA=OC，
∴△OCE≌△OAD(ASA)，
∴CE=AD=2，
∴AC=6，
∴S_{四边形CDOE}=S_{△AOC}
=$\frac{1}{2}$S_{△ABC}
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×6
=9．
13. (2025原创题)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D为BC上一点,点D在AC的垂直平分线上,$CM⊥AD$于点M.求证:$AM= BD+DM$.
答案
证明：延长AD至点E，使DE=BD，连接CE．
∵∠BDA=∠CDE，AD=CD，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴CE=AB=AC．
∵CM⊥AD，
∴AM=ME=MD+DE=MD+BD．
另证：在AM上截取MF=DM，再证△AFC≌△BDA，AF=BD即可．
∵∠BDA=∠CDE，AD=CD，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴CE=AB=AC．
∵CM⊥AD，
∴AM=ME=MD+DE=MD+BD．
另证：在AM上截取MF=DM，再证△AFC≌△BDA，AF=BD即可．
