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在$\triangle ABC$中,若$∠A:∠B:∠C = 1:1:2$,则$\triangle ABC$的形状是______。
【点睛】易填直角三角形或等腰三角形而出错。
【点睛】易填直角三角形或等腰三角形而出错。
答案
等腰直角三角形
1. 如图,$AB = AC$,$D$,$E分别为AC$,$BC$上一点,$DE// AB$,$DE = 6$,$AD = 2$,则$AC$的长为____。
答案
8
2. (教材变式)如图,$DB与EC交于点A$,$DE// BC$,$∠B = ∠C$,$DB = 4$,则$EC$的长为______。
答案
4
3. (教材变式)如图,$∠ABC$,$∠ACB的平分线交于点O$,过点$O作直线MN// BC$,分别与$AB$,$AC交于点M$,$N$,$AB = 6$,$\triangle AMN$的周长是15。则$AC$的长为______。
答案
9
4. (教材变式)如图,点$E$,$F在BC$上,$BE = CF$,$AB = DC$,$∠B = ∠C$,$AF与DE交于点O$,求证：$\triangle OEF$是等腰三角形。
答案
证明：$\because BE = CF$，
$\therefore BE + EF = CF + EF$，
$\therefore BF = EC$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$AB = DC$，$\angle B = \angle C$，$BF = EC$，
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle DCE(SAS)$，
$\therefore \angle AFB = \angle DEC$，
$\therefore OE = OF$，
$\therefore \triangle OEF$为等腰三角形。
$\therefore BE + EF = CF + EF$，
$\therefore BF = EC$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$AB = DC$，$\angle B = \angle C$，$BF = EC$，
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle DCE(SAS)$，
$\therefore \angle AFB = \angle DEC$，
$\therefore OE = OF$，
$\therefore \triangle OEF$为等腰三角形。
5. 如图,$D为\triangle ABC的边AB$的延长线上一点,$DF\perp AC于点F$,交$BC于点E$,且$BE = BD$。求证：$AB = BC$。
答案
证明：$\because BD = BE$，
$\therefore \angle D = \angle BED = \angle CEF$。
$\because DF \perp AC$，
$\therefore \angle AFD = \angle EFC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle C + \angle CEF = \angle A + \angle D = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle C = \angle A$，
$\therefore AB = BC$。
$\therefore \angle D = \angle BED = \angle CEF$。
$\because DF \perp AC$，
$\therefore \angle AFD = \angle EFC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle C + \angle CEF = \angle A + \angle D = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle C = \angle A$，
$\therefore AB = BC$。
6. (教材变式)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$BC = 5$,$CD = 3$。以点$D$为圆心,适当长度为半径画弧,分别交$DA$,$DC于E$,$F$两点；分别以点$E$,$F$为圆心,以大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点$P$；连接$DP并延长交BC于点G$。求$BG$的长。
答案
解：由作图过程可知 $DG$ 平分 $\angle ADC$，
$\therefore \angle ADG = \angle CDG$。
$\because AD // BC$，
$\therefore \angle ADG = \angle CGD$，
$\therefore \angle CDG = \angle CGD$，
$\therefore CG = CD = 3$，
$\therefore BG = BC - CG = 5 - 3 = 2$。
$\therefore \angle ADG = \angle CDG$。
$\because AD // BC$，
$\therefore \angle ADG = \angle CGD$，
$\therefore \angle CDG = \angle CGD$，
$\therefore CG = CD = 3$，
$\therefore BG = BC - CG = 5 - 3 = 2$。
