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1. 定义：一组数据$x_{1},x_{2},···,x_{n}$的平均数为$\overline{x}$,那么称这$n$个数据与平均数$\overline{x}$的差的平方和叫作这$n$个数据的离差平方和，记作$d^{2}=(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}$.那么100,101,99,98,102 的离差平方和是.
答案
首先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{100 + 101+99+98+102}{5}$
$=\frac{500}{5}$
$= 100$。
然后计算离差平方和：
$d^{2}=(100 - 100)^{2}+(101 - 100)^{2}+(99 - 100)^{2}+(98 - 100)^{2}+(102 - 100)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}$
$=0 + 1+1 + 4+4$
$=10$。
故答案为$10$。
$\overline{x}=\frac{100 + 101+99+98+102}{5}$
$=\frac{500}{5}$
$= 100$。
然后计算离差平方和：
$d^{2}=(100 - 100)^{2}+(101 - 100)^{2}+(99 - 100)^{2}+(98 - 100)^{2}+(102 - 100)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}$
$=0 + 1+1 + 4+4$
$=10$。
故答案为$10$。
2. 一个小组共有6名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了8,10,8,7,6,9个，这6个学生这次测试成绩的方差为.
答案
1. 计算平均数：$\bar{x} = \frac{8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 9}{6} = \frac{48}{6} = 8$
2. 计算方差：$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{6}[(8-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (6-8)^2 + (9-8)^2] \\&= \frac{1}{6}[0 + 4 + 0 + 1 + 4 + 1] \\&= \frac{1}{6} × 10 \\&= \frac{5}{3}\end{aligned}$
3. 结论：$\frac{5}{3}$
2. 计算方差：$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{6}[(8-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (6-8)^2 + (9-8)^2] \\&= \frac{1}{6}[0 + 4 + 0 + 1 + 4 + 1] \\&= \frac{1}{6} × 10 \\&= \frac{5}{3}\end{aligned}$
3. 结论：$\frac{5}{3}$
合作学习
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
1. 小组讨论：除了“组内离差平方和最小”原则，在生活中你还知道哪些数据分组的方法或标准？它们各自有什么优缺点？
2. 小组任务：将10名应聘者的笔试成绩所有分法的组内离差平方和计算出来，并验证表课本24.4-1中的结果，找出最优分组.
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
1. 小组讨论：除了“组内离差平方和最小”原则，在生活中你还知道哪些数据分组的方法或标准？它们各自有什么优缺点？
2. 小组任务：将10名应聘者的笔试成绩所有分法的组内离差平方和计算出来，并验证表课本24.4-1中的结果，找出最优分组.
答案
1. 数据分组方法及优缺点
等距分组：将数据按固定间隔分组。优点：简单直观，便于比较各组数据；缺点：未考虑数据实际分布特征，可能导致组内差异大。
按比例分组：按固定比例（如前30%）划分。优点：保证入选比例公平；缺点：受极端值影响，可能忽略数据集中趋势。
按特定分数段分组：如设定及格线（60分）。优点：标准明确；缺点：固定标准可能不适应数据实际情况。
2. 组内离差平方和计算及最优分组
数据：58,64,68,75,76,83,85,89,90,92（共10个数据，分两组，k为面试组人数，k=1,2,…,9）
组内离差平方和公式：设两组数据为A、B，$\bar{x}_A$、$\bar{x}_B$为两组平均数，则总离差平方和$S=S_A+S_B$，其中$S_A=\sum (x_i-\bar{x}_A)^2$，$S_B=\sum (x_j-\bar{x}_B)^2$。
计算结果（部分关键值）：
$k=5$（面试组：83,85,89,90,92；非面试组：58,64,68,75,76）：
非面试组：$\bar{x}_A=68.2$，$S_A=228.8$；
面试组：$\bar{x}_B=87.8$，$S_B=54.8$；
总离差平方和$S=228.8+54.8=283.6$（最小）。
最优分组：
将成绩分为两组：[58,64,68,75,76]和[83,85,89,90,92]，即后5名应聘者进入面试。
结论：最优分组为后5名进入面试，此时组内离差平方和最小（283.6）。
等距分组：将数据按固定间隔分组。优点：简单直观，便于比较各组数据；缺点：未考虑数据实际分布特征，可能导致组内差异大。
按比例分组：按固定比例（如前30%）划分。优点：保证入选比例公平；缺点：受极端值影响，可能忽略数据集中趋势。
按特定分数段分组：如设定及格线（60分）。优点：标准明确；缺点：固定标准可能不适应数据实际情况。
2. 组内离差平方和计算及最优分组
数据：58,64,68,75,76,83,85,89,90,92（共10个数据，分两组，k为面试组人数，k=1,2,…,9）
组内离差平方和公式：设两组数据为A、B，$\bar{x}_A$、$\bar{x}_B$为两组平均数，则总离差平方和$S=S_A+S_B$，其中$S_A=\sum (x_i-\bar{x}_A)^2$，$S_B=\sum (x_j-\bar{x}_B)^2$。
计算结果（部分关键值）：
$k=5$（面试组：83,85,89,90,92；非面试组：58,64,68,75,76）：
非面试组：$\bar{x}_A=68.2$，$S_A=228.8$；
面试组：$\bar{x}_B=87.8$，$S_B=54.8$；
总离差平方和$S=228.8+54.8=283.6$（最小）。
最优分组：
将成绩分为两组：[58,64,68,75,76]和[83,85,89,90,92]，即后5名应聘者进入面试。
结论：最优分组为后5名进入面试，此时组内离差平方和最小（283.6）。
1. 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15,18,15,24.按照组内离差平方和最小的原则，将竞赛成绩分成两组.
答案
1. 计算所有可能分组的组内离差平方和：
情况1：一组1人，另一组3人
单独15：组1离差平方和=0，组2(18,15,24)平均数=19，离差平方和=1+16+25=42，总=42
单独18：组1离差平方和=0，组2(15,15,24)平均数=18，离差平方和=9+9+36=54，总=54
单独24：组1离差平方和=0，组2(15,18,15)平均数=16，离差平方和=1+4+1=6，总=6
情况2：两组各2人
[15,18]和[15,24]：组1离差平方和=4.5，组2离差平方和=40.5，总=45
[15,15]和[18,24]：组1离差平方和=0，组2离差平方和=18，总=18
[15,24]和[18,15]：总=45
2. 比较总离差平方和，最小为6。
结论：分组为{24}和{15,15,18}。
情况1：一组1人，另一组3人
单独15：组1离差平方和=0，组2(18,15,24)平均数=19，离差平方和=1+16+25=42，总=42
单独18：组1离差平方和=0，组2(15,15,24)平均数=18，离差平方和=9+9+36=54，总=54
单独24：组1离差平方和=0，组2(15,18,15)平均数=16，离差平方和=1+4+1=6，总=6
情况2：两组各2人
[15,18]和[15,24]：组1离差平方和=4.5，组2离差平方和=40.5，总=45
[15,15]和[18,24]：组1离差平方和=0，组2离差平方和=18，总=18
[15,24]和[18,15]：总=45
2. 比较总离差平方和，最小为6。
结论：分组为{24}和{15,15,18}。
