一、勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么.

a² + b² = c²

二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有下面的关系式:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.那么这个三角形是.

直角三角形

典型例题
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1) 若$a=3,b=4$,则$c=$.
(2) 若$c=34,a:b=8:15$,则$a=$, $b=$.

(1)
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，已知$a = 3$，$b = 4$，则$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
(2)
因为$a:b = 8:15$，设$a = 8x$，$b = 15x(x＞0)$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，已知$c = 34$，则$(8x)^{2}+(15x)^{2}=34^{2}$，
即$64x^{2}+225x^{2}=1156$，
$289x^{2}=1156$，
$x^{2}=4$，
因为$x＞0$，所以$x = 2$。
则$a = 8x=8×2 = 16$，$b = 15x=15×2 = 30$。
故答案依次为：(1)$5$；(2)$16$；$30$。

变式:(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°,a=10,b=8$,求第三边的长.
(2) 已知直角三角形两边长分别为3,4,求第三边长.
注意:已知直角三角形的两边求第三边时,首先要区别直角边与斜边,必要时要进行分类讨论.

(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$a=10$，$b=8$，由勾股定理得$a^2=b^2+c^2$，则$c=\sqrt{a^2 - b^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
(2) 情况一：当3，4为直角边时，第三边长为$\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$；情况二：当4为斜边，3为直角边时，第三边长为$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。综上，第三边长为5或$\sqrt{7}$。

例2 在数轴上作出表示$\sqrt{10}$与$-\sqrt{17}$的点.

答题过程如下：
表示$\sqrt{10}$：
在数轴上找到表示$3$的点$A$，过点$A$作数轴的垂线$AB$，使$AB$的长度为$1$单位。
连接原点$O$与点$B$，线段$OB$（根据勾股定理，$OB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$）的长度即为$\sqrt{10}$。
以原点$O$为圆心，$OB$为半径，用圆规画弧交数轴正半轴于点$C$，则点$C$对应的数即为$\sqrt{10}$。
表示$-\sqrt{17}$：
在数轴上找到表示$4$的点$D$，过点$D$作数轴的垂线$DE$，使$DE$的长度为$1$单位。
连接原点$O$与点$E$，线段$OE$（根据勾股定理，$OE=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$）的长度即为$\sqrt{17}$。
以原点$O$为圆心，$OE$为半径，用圆规画弧交数轴负半轴于点$F$，则点$F$对应的数即为$-\sqrt{17}$。

例3 如图,在$△ ABC$中,$AB=8,AC=6,DE$是$BC$的垂直平分线,交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,$AF⊥ BC$于点$F$.
(1) 若$∠ BAC=90°$,求$BE$的长；
(2) 若$DF=\frac{7}{5}$,求证:$△ ABC$为直角三角形.

(1) ∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=√(AB²+AC²)=√(8²+6²)=10。
∵DE是BC垂直平分线，∴D为BC中点，BD=DC=5。
设BE=x，则AE=8-x，EC=BE=x。
在Rt△AEC中，AE²+AC²=EC²，即(8-x)²+6²=x²，
解得x=25/4，∴BE=25/4。
(2) 设BC=2a，则BD=DC=a，设BF=m，FC=n，m+n=2a。
∵AF⊥BC，∴AB²-BF²=AC²-FC²，即8²-m²=6²-n²，
∴m²-n²=28，(m-n)(m+n)=28，m-n=14/a。
∵DF=7/5，若F在D、C间，则DF=DC-FC=a-n=7/5，n=a-7/5，
m=2a-n=a+7/5，m-n=14/5=14/a，∴a=5，BC=10。
∵AB²+AC²=8²+6²=100=10²=BC²，∴△ABC为直角三角形。