例1 如图7-22,一段路基的横断面是梯形,高为4.2 m,上底的宽为12.51 m,路基的坡面与地面的夹角分别为$32°$和$28°$.求路基下底的宽(精确到0.01 m).
解 作$DE⊥ AB$,$CF⊥ AB$,垂足分别为$E$、$F$.
根据题意,得
$DE=CF=4.2$,$CD=EF=12.51$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,

$\because i=\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{4.2}{AE}=\tan32°$,
$\therefore AE=\dfrac{4.2}{\tan32°}\approx6.72$.
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,同理可得
$BF=\dfrac{4.2}{\tan28°}\approx7.90$.
因此$AB=AE+EF+BF\approx6.72+12.51+7.90=27.13$,
即路基下底的宽约为27.13 m.

解：
作$DE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，垂足分别为$E$、$F$。
根据题意，得
$DE=CF=4.2\ \mathrm{m}$，$CD=EF=12.51\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，
$\because \tan32°=\dfrac{DE}{AE}$，
$\therefore AE=\dfrac{DE}{\tan32°}=\dfrac{4.2}{\tan32°}\approx6.72\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△BCF$中，
$\because \tan28°=\dfrac{CF}{BF}$，
$\therefore BF=\dfrac{CF}{\tan28°}=\dfrac{4.2}{\tan28°}\approx7.90\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AE+EF+BF\approx6.72+12.51+7.90=27.13\ \mathrm{m}$。
答：路基下底的宽约为27.13 m。

例2 一段路基的横断面是直角梯形(图7-23①).已知原来坡面的坡角$α$的正弦值为0.6,现不改变土石方量,全部利用原有土石方进行坡面改造,使坡度变小,达到如图7-23②所示的技术要求.试求改造后坡面的坡度是多少.
解 由图7-23①可知$BE⊥ DC$,$BE=30\ \mathrm{m}$,$\sinα=0.6$.
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,

$\because \sinα=\dfrac{BE}{BC}$,
$\therefore BC=\dfrac{BE}{\sinα}=\dfrac{30}{0.6}=50$.
由勾股定理,得$EC=40$.
在不改变土石方量,全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造,使坡度变小,则梯形$ABCD$的面积$=$梯形$A_{1}B_{1}C_{1}D$的面积.
$\therefore 20×30+\dfrac{1}{2}×30×40=20×20+\dfrac{1}{2}×20× EC_{1}$.
解得$EC_{1}=80$.
$\therefore$ 改建后的坡度$i=B_{1}E:EC_{1}=20:80=1:4$,
即改造后坡面的坡度是$1:4$.

解：
由图①可知$BE⊥DC$，$BE=30\ \mathrm{m}$，$\sinα=0.6$。
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，
$\because \sinα=\dfrac{BE}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{BE}{\sinα}=\dfrac{30}{0.6}=50\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$EC=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{m}$。
$\because$ 改造前后土石方量不变，即$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{\mathrm{梯形}A_{1}B_{1}C_{1}D}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}×(20+20+40)×30=\dfrac{1}{2}×(20+20+EC_{1})×20$，
化简得：$20×30+\dfrac{1}{2}×30×40=20×20+\dfrac{1}{2}×20× EC_{1}$，
解得$EC_{1}=80\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 改建后的坡度$i=B_{1}E:EC_{1}=20:80=1:4$。
答：改造后坡面的坡度是$1:4$。