1. 如图是一燕尾槽的梯形横断面$ABCD$,其中$AB=DC$,燕尾角$B$是$55°$,外口宽$AD$是16 cm,燕尾槽的深度是6 cm.求它的里口宽$BC$(精确到0.1.参考数据:$\sin55°\approx0.819$,$\cos55°\approx0.573$,$\tan55°\approx1.428$).
答案
解：过点A作$AE⊥ BC$于点E，过点D作$DF⊥ BC$于点F，
则四边形AEFD是矩形，
$\therefore EF=AD=16\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=6\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=DC$，$∠ AEB=∠ DFC=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DCF$，
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B=55°$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，
由$\tan∠ B=\frac{AE}{BE}$，得$BE=\frac{AE}{\tan55°}\approx\frac{6}{1.428}\approx4.20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=EF+2BE\approx16+2×4.20=24.4\ \mathrm{cm}$。
答：它的里口宽$BC$约为$24.4\ \mathrm{cm}$。
则四边形AEFD是矩形，
$\therefore EF=AD=16\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=6\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=DC$，$∠ AEB=∠ DFC=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DCF$，
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B=55°$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，
由$\tan∠ B=\frac{AE}{BE}$，得$BE=\frac{AE}{\tan55°}\approx\frac{6}{1.428}\approx4.20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=EF+2BE\approx16+2×4.20=24.4\ \mathrm{cm}$。
答：它的里口宽$BC$约为$24.4\ \mathrm{cm}$。
2. 如图,某地决定对一段坡路进行改造.改造前坡长$AB=200\ \mathrm{m}$,坡度为$1:\sqrt{3}$;将斜坡$AB$的高度$AE$降低$AC=20\ \mathrm{m}$改造为斜坡$CD$后,其坡度为$1:4$.求斜坡$CD$的长(结果保留根号).
答案
解：
在Rt△ABE中，∵斜坡AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ ABE=30°$。
∵$AB=200\ \mathrm{m}$，
∴$AE=AB·\sin30°=200×\frac{1}{2}=100\ \mathrm{m}$，
$BE=AB·\cos30°=200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵$AC=20\ \mathrm{m}$，
∴$CE=AE-AC=100-20=80\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDE中，∵斜坡CD的坡度为$1:4$，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{4}$，即$\frac{80}{DE}=\frac{1}{4}$，
解得$DE=320\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{80^2+320^2}=\sqrt{6400+102400}=80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$CD$的长为$80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABE中，∵斜坡AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ ABE=30°$。
∵$AB=200\ \mathrm{m}$，
∴$AE=AB·\sin30°=200×\frac{1}{2}=100\ \mathrm{m}$，
$BE=AB·\cos30°=200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵$AC=20\ \mathrm{m}$，
∴$CE=AE-AC=100-20=80\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDE中，∵斜坡CD的坡度为$1:4$，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{4}$，即$\frac{80}{DE}=\frac{1}{4}$，
解得$DE=320\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{80^2+320^2}=\sqrt{6400+102400}=80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$CD$的长为$80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
3. 如图,小明从点$A$出发,沿着坡角为$10°$的斜坡向上走了120 m到达点$B$,又沿着坡角为$15°$的斜坡向上走了160 m到达点$C$.点$C$相对于起点$A$升高了多少米(精确到0.1 m.参考数据:$\sin10°\approx0.17$,$\cos10°\approx0.98$,$\sin15°\approx0.26$,$\cos15°\approx0.97$)?
答案
解：
过点B作$BE⊥ AD$于E，$BF⊥ CD$于F，
则四边形BEDF是矩形，故$BE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=10°$，$AB=120\ \mathrm{m}$，
$BE = AB·\sin10° \approx 120×0.17 = 20.4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ CBF=15°$，$BC=160\ \mathrm{m}$，
$CF = BC·\sin15° \approx 160×0.26 = 41.6\ \mathrm{m}$。
点C相对于起点A升高的高度为：
$CD = DF + CF = BE + CF \approx 20.4 + 41.6 = 62.0\ \mathrm{m}$。
答：点C相对于起点A升高了约62.0米。
过点B作$BE⊥ AD$于E，$BF⊥ CD$于F，
则四边形BEDF是矩形，故$BE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=10°$，$AB=120\ \mathrm{m}$，
$BE = AB·\sin10° \approx 120×0.17 = 20.4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ CBF=15°$，$BC=160\ \mathrm{m}$，
$CF = BC·\sin15° \approx 160×0.26 = 41.6\ \mathrm{m}$。
点C相对于起点A升高的高度为：
$CD = DF + CF = BE + CF \approx 20.4 + 41.6 = 62.0\ \mathrm{m}$。
答：点C相对于起点A升高了约62.0米。
4. 如图,拦水坝的横断面为梯形$ABCD$,斜面坡度$i=3:4$是指坡面的竖直高度$AF$与水平宽度$BF$的比.已知斜坡$CD$的长为20 m,$∠ C=18°$,求斜坡$AB$的长(结果精确到0.1 m.参考数据:$\sin18°\approx0.31$,$\cos18°\approx0.95$,$\tan18°\approx0.32$).
答案
解：过点D作$DG⊥BC$于点G，
∵ 梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AF⊥BC$，
∴ $AF=DG$。
在$Rt△DGC$中，$∠DGC=90°$，$CD=20\ \mathrm{m}$，$∠C=18°$，
∴ $DG=CD·\sin18°≈20×0.31=6.2\ \mathrm{m}$，
∴ $AF=DG=6.2\ \mathrm{m}$。
∵ 斜坡$AB$的坡度$i=3:4$，即$\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$，
∴ $BF=\frac{4}{3}AF=\frac{4}{3}×6.2≈8.27\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ABF$中，$∠AFB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6.2^2+8.27^2}≈\sqrt{38.44+68.39}≈\sqrt{106.83}≈10.3\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$AB$的长约为$10.3\ \mathrm{m}$。
∵ 梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AF⊥BC$，
∴ $AF=DG$。
在$Rt△DGC$中，$∠DGC=90°$，$CD=20\ \mathrm{m}$，$∠C=18°$，
∴ $DG=CD·\sin18°≈20×0.31=6.2\ \mathrm{m}$，
∴ $AF=DG=6.2\ \mathrm{m}$。
∵ 斜坡$AB$的坡度$i=3:4$，即$\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$，
∴ $BF=\frac{4}{3}AF=\frac{4}{3}×6.2≈8.27\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ABF$中，$∠AFB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6.2^2+8.27^2}≈\sqrt{38.44+68.39}≈\sqrt{106.83}≈10.3\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$AB$的长约为$10.3\ \mathrm{m}$。
