8. （金华改编）在平面直角坐标系中，点 $ O $ 为原点，平行于 $ x $ 轴的直线与抛物线 $ L: y = ax^{2} $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ B $ 在第一象限），点 $ D $ 在 $ AB $ 的延长线上。已知 $ a = 1 $，点 $ B $ 的纵坐标为 $ 2 $。
(1) 如图①，向右平移抛物线 $ L $ 使该抛物线过点 $ B $，与 $ AB $ 的延长线交于点 $ C $，求 $ AC $ 的长；
(2) 如图②，若 $ BD = \frac{1}{2}AB $，过点 $ B $，$ D $ 的抛物线 $ L_{2} $，其顶点 $ M $ 在 $ x $ 轴上，求该抛物线的表达式。

8. 解：（1）对于二次函数 $ y = x^{2} $，当 $ y = 2 $ 时，$ 2 = x^{2} $，解得 $ x_{1} = \sqrt{2} $，$ x_{2} = - \sqrt{2} $，$ \therefore AB = 2\sqrt{2} $。$ \because $ 平移得到的抛物线 $ L_{1} $ 经过点 $ B $，$ \therefore BC = AB = 2\sqrt{2} $，$ \therefore AC = 4\sqrt{2} $。
（2）记抛物线 $ L_{2} $ 的对称轴与 $ AD $ 相交于点 $ N $，根据抛物线的轴对称性，得 $ BN = \dfrac{1}{2}DB = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $。设抛物线 $ L_{2} $ 的表达式为 $ y = a_{2}(x - \dfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2} $。由（1）得，点 $ B $ 的坐标为 $ (\sqrt{2}, 2) $，$ \therefore 2 = a_{2}(\sqrt{2} - \dfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2} $，解得 $ a_{2} = 4 $。$ \therefore $ 抛物线 $ L_{2} $ 的表达式为 $ y = 4(x - \dfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2} $。

1. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度是 16 m，则所围成矩形 ABCD(墙足够长)的最大面积是().

A.$60\ \mathrm{m}^2$
B.$63\ \mathrm{m}^2$
C.$64\ \mathrm{m}^2$
D.$66\ \mathrm{m}^2$

1. C

2. 如图，用长 10 m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗棂)，若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为().

A.$50π\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{50}{4 + π}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{50}{8 + π}\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{50}{16 + π}\ \mathrm{m}^2$

2. C