6. 如图，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 4 $，点 $ D $ 的坐标是 $ (0,8) $，以点 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ x $ 轴上的点 $ A $，$ B $。
(1) 求点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标；
(2) 若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $，求平移后抛物线的表达式。

6. 解：（1）在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ CD // AB $ 且 $ CD = AB = 4 $，点 $ D $ 的坐标是 $ (0, 8) $，$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (4, 8) $。设抛物线的对称轴与 $ x $ 轴相交于点 $ H $，则 $ AH = BH = 2 $，$ \therefore $ 点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (2, 0) $，$ (6, 0) $。
（2）由抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点为 $ C(4, 8) $，可设抛物线的表达式为 $ y = a(x - 4)^{2} + 8 $，把 $ A(2, 0) $ 的坐标代入上式，解得 $ a = - 2 $。设平移后抛物线的表达式为 $ y = - 2(x - 4)^{2} + 8 + k $，把点 $ (0, 8) $ 的坐标代入上式得 $ k = 32 $，$ \therefore $ 平移后抛物线的表达式为 $ y = - 2(x - 4)^{2} + 40 $，即 $ y = - 2x^{2} + 16x + 8 $。

7. 若抛物线 $ L: y = ax^{2} + bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数，$ abc ≠ 0 $）与直线 $ l $ 都经过 $ y $ 轴上的一点 $ P $，且抛物线 $ L $ 的顶点 $ Q $ 在直线 $ l $ 上，则称此直线 $ l $ 与该抛物线 $ L $ 具有“绿色丝带”关系。此时，直线 $ l $ 叫做抛物线 $ L $ 的“绿色”，抛物线 $ L $ 叫做直线 $ l $ 的“丝带”。
(1) 若直线 $ y = mx + 1 $ 与抛物线 $ y = x^{2} - 2x + n $ 具有“绿色丝带”关系，求 $ m $，$ n $ 的值；
(2) 若某“丝带”$ L $ 的顶点在反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象上，它的“绿色”$ l $ 的表达式为 $ y = 2x - 4 $，求此“丝带”$ L $ 的表达式。

7. 解：（1）令直线 $ y = mx + 1 $ 中 $ x = 0 $，则 $ y = 1 $，即直线与 $ y $ 轴的交点为 $ (0, 1) $；将点 $ (0, 1) $ 的坐标代入 $ y = x^{2} - 2x + n $ 中，得 $ n = 1 $。$ \therefore $ 抛物线的表达式为 $ y = x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} $，$ \therefore $ 抛物线的顶点坐标为 $ (1, 0) $。将点 $ (1, 0) $ 的坐标代入 $ y = mx + 1 $ 中，得 $ 0 = m + 1 $，解得 $ m = - 1 $。$ \therefore m $ 的值为 $ - 1 $，$ n $ 的值为 1。
（2）将 $ y = 2x - 4 $ 代入 $ y = \dfrac{6}{x} $ 中，有 $ 2x - 4 = \dfrac{6}{x} $，即 $ 2x^{2} - 4x - 6 = 0 $，解得 $ x_{1} = - 1 $，$ x_{2} = 3 $。$ \therefore $ 该“丝带”$ L $ 的顶点坐标为 $ (- 1, - 6) $ 或 $ (3, 2) $。令“绿色”$ l:y = 2x - 4 $ 中 $ x = 0 $，则 $ y = - 4 $，$ \therefore $“丝带”$ L $ 过点 $ (0, - 4) $。设该“丝带”$ L $ 的表达式为 $ y = m(x + 1)^{2} - 6 $ 或 $ y = n(x - 3)^{2} + 2 $，由题意得，$ - 4 = m(0 + 1)^{2} - 6 $ 或 $ - 4 = n(0 - 3)^{2} + 2 $，解得 $ m = 2 $，$ n = - \dfrac{2}{3} $。$ \therefore $ 此“丝带”$ L $ 的表达式为 $ y = 2(x + 1)^{2} - 6 $ 或 $ y = - \dfrac{2}{3}(x - 3)^{2} + 2 $。