1. (2025·常州)若使分式$\dfrac{5}{x + 1}$有意义，则$x$的取值范围是()

A.x≠−1
B.$x = - 1$
C.$x ≥ - 1$
D.$x ＞ - 1$

1. A

2. 若式子$\dfrac{\vert x\vert - 1}{x^{2} - 3x + 2}$的值为 0，则$x$的值为()

A.$- 1$
B.$0$
C.$1$
D.$\pm 1$

2. A

要使分式$\dfrac{|x| - 1}{x^2 - 3x + 2}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
1. 分子为$0$时：$|x| - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$。
2. 分母不为$0$时：$x^2 - 3x + 2 ≠ 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2) ≠ 0$，即$x ≠ 1$且$x ≠ 2$。
综上，$x = -1$。
A

3. 对于分式$\dfrac{4x^{2} - 25}{(2x + 5)(x - 4)}$，当$x =$时，分式无意义；当$x =$时，分式的值为 0.

3. $-\dfrac{5}{2}$或 $4$ $\dfrac{5}{2}$

4. 下列运算正确的是()

A.$\dfrac{3b}{4a} · \dfrac{2a}{9b^{2}} = \dfrac{b}{6}$
B.$\dfrac{1}{3ab} ÷ \dfrac{2b^{2}}{3a} = \dfrac{b^{3}}{2}$
C.$\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{3a}$
D.$\dfrac{1}{a - 1} - \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{2}{a^{2} - 1}$

4. D

5. 化简$\dfrac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \dfrac{b}{a - b}$的结果是()

A.$\dfrac{a}{a - b}$
B.$\dfrac{b}{a - b}$
C.$\dfrac{a}{a + b}$
D.$\dfrac{b}{a + b}$

5. A

$\begin{aligned}&\dfrac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \dfrac{b}{a - b}\\=&\dfrac{(a + b)^2}{(a + b)(a - b)} - \dfrac{b}{a - b}\\=&\dfrac{a + b}{a - b} - \dfrac{b}{a - b}\\=&\dfrac{a + b - b}{a - b}\\=&\dfrac{a}{a - b}\end{aligned}$
A

6. 已知$t^{2} - 3t + 1 = 0$，则$t^{2} + \dfrac{1}{t^{2}}$的值为()

A.$3$
B.$7$
C.$9$
D.$11$

6. B

由$t^{2} - 3t + 1 = 0$，可知$t ≠ 0$，等式两边同除以$t$得$t - 3 + \frac{1}{t} = 0$，即$t + \frac{1}{t} = 3$。
对$t + \frac{1}{t} = 3$两边平方，得$(t + \frac{1}{t})^{2} = 3^{2}$，即$t^{2} + 2 · t · \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} = 9$，化简得$t^{2} + 2 + \frac{1}{t^{2}} = 9$，所以$t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = 9 - 2 = 7$。
B

7. 若$\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = 2$，则分式$\dfrac{5m + 5n - 2mn}{- m - n}$的值为.

7. $-4$ 解析：将 $\dfrac{5m + 5n - 2mn}{-m - n}$ 的分子、分母同时除以 $mn$，得
$\dfrac{5m + 5n - 2mn}{-m - n} = \dfrac{5(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m}) - 2}{-(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m})} = \dfrac{5× 2 - 2}{-2} = -4$。

8. 若$\dfrac{2}{x + 3} + \dfrac{2}{3 - x} + \dfrac{2x + 18}{x^{2} - 9}$的值为整数，且$x$为整数，则所有符合条件的$x$的值为.

8. $1,2,4,5$ 解析：原式 $= \dfrac{2(x - 3) - 2(x + 3) + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)} =$
$\dfrac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{2}{x - 3}$。$\because \dfrac{2}{x + 3} + \dfrac{2}{3 - x} + \dfrac{2x + 18}{x^2 - 9}$ 的值为整数，且
$x$ 为整数，$\therefore$ 当 $x = 1$ 时，原式 $= \dfrac{2}{1 - 3} = -1$；当 $x = 2$ 时，原式 $=$
$\dfrac{2}{2 - 3} = -2$；当 $x = 4$ 时，原式 $= \dfrac{2}{4 - 3} = 2$；当 $x = 5$ 时，原式 $=$
$\dfrac{2}{5 - 3} = 1$。综上所述，所有符合条件的 $x$ 的值为 $1,2,4,5$。

9. 计算：
(1) $\dfrac{2x}{x + 2} - \dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{4x}{x^{2} - 4}$；
(2) (2025·内蒙古)$\dfrac{x^{2} - 1}{x} · \dfrac{x}{x^{2} + 2x + 1}$；
(3) $(\dfrac{4m + 5}{m + 1} + m - 1) ÷ \dfrac{m + 2}{m + 1}$；
(4) (2025·绥化)$1 - \dfrac{x - y}{x + 2y} ÷ \dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4xy + 4y^{2}}$.

9. (1) $\dfrac{x}{x + 2}$ (2) $\dfrac{x - 1}{x + 1}$ (3) $m + 2$ (4) $-\dfrac{y}{x + y}$

(1) $\dfrac{2x}{x + 2} - \dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{4x}{x^{2} - 4}$
$=\dfrac{2x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} + \dfrac{4x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{2x^2 - 4x - x^2 - 2x + 4x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{x^2 - 2x}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{x}{x + 2}$
(2) $\dfrac{x^{2} - 1}{x} · \dfrac{x}{x^{2} + 2x + 1}$
$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x} · \dfrac{x}{(x + 1)^2}$
$=\dfrac{x - 1}{x + 1}$
(3) $(\dfrac{4m + 5}{m + 1} + m - 1) ÷ \dfrac{m + 2}{m + 1}$
$=(\dfrac{4m + 5}{m + 1} + \dfrac{(m - 1)(m + 1)}{m + 1}) · \dfrac{m + 1}{m + 2}$
$=(\dfrac{4m + 5 + m^2 - 1}{m + 1}) · \dfrac{m + 1}{m + 2}$
$=\dfrac{m^2 + 4m + 4}{m + 1} · \dfrac{m + 1}{m + 2}$
$=\dfrac{(m + 2)^2}{m + 1} · \dfrac{m + 1}{m + 2}$
$=m + 2$
(4) $1 - \dfrac{x - y}{x + 2y} ÷ \dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4xy + 4y^{2}}$
$=1 - \dfrac{x - y}{x + 2y} · \dfrac{(x + 2y)^2}{(x + y)(x - y)}$
$=1 - \dfrac{x + 2y}{x + y}$
$=\dfrac{x + y - x - 2y}{x + y}$
$=-\dfrac{y}{x + y}$