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10. (2025·宿迁)先化简，再求值：$(x + 2 - \dfrac{5}{x - 2}) ÷ \dfrac{x - 3}{x - 2}$，其中$x = - 4$.
答案
10. 原式 $= (\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} - \dfrac{5}{x - 2}) · \dfrac{x - 2}{x - 3} = \dfrac{x^2 - 9}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{x - 3} =$
$\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{x - 3} = x + 3$。当 $x = -4$ 时，原式 $= -4 + 3 = -1$
$\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{x - 3} = x + 3$。当 $x = -4$ 时，原式 $= -4 + 3 = -1$
11. (2025·沭阳期末)如果关于$x$的分式方程$\dfrac{m}{x - 2} + \dfrac{2x}{x - 2} = 1$有增根，那么$m$的值为(
A.$- 2$
B.$2$
C.$4$
D.$- 4$
D
)A.$- 2$
B.$2$
C.$4$
D.$- 4$
答案
11. D
解析
解：方程两边同乘$x - 2$，得$m + 2x = x - 2$。
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$m + 2x = x - 2$，得$m + 2×2 = 2 - 2$，解得$m = - 4$。
D
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$m + 2x = x - 2$，得$m + 2×2 = 2 - 2$，解得$m = - 4$。
D
12. (新考法·新定义题)(2025·宿城期末)定义一种“$\otimes$”运算：$a \otimes b = \dfrac{b}{a - b}(a ≠ b)$，例如：$1 \otimes 3 = \dfrac{3}{1 - 3} = - \dfrac{3}{2}$，则方程$2 \otimes x = \dfrac{1}{x - 2} + 1$的解是(
A.$x = - 1$
B.$x = \dfrac{1}{2}$
C.$x = \dfrac{3}{2}$
D.$x = 2$
B
)A.$x = - 1$
B.$x = \dfrac{1}{2}$
C.$x = \dfrac{3}{2}$
D.$x = 2$
答案
12. B
解析
由题意得，$2 \otimes x = \dfrac{x}{2 - x}$，方程可化为：
$\dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{1}{x - 2} + 1$
方程两边同乘$x - 2$得：$-x = 1 + (x - 2)$
$-x = 1 + x - 2$
$-x - x = 1 - 2$
$-2x = -1$
$x = \dfrac{1}{2}$
经检验，$x = \dfrac{1}{2}$是原方程的解。
答案：B
$\dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{1}{x - 2} + 1$
方程两边同乘$x - 2$得：$-x = 1 + (x - 2)$
$-x = 1 + x - 2$
$-x - x = 1 - 2$
$-2x = -1$
$x = \dfrac{1}{2}$
经检验，$x = \dfrac{1}{2}$是原方程的解。
答案：B
13. 解方程：
(1) $\dfrac{3 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\dfrac{x}{x - 1} - 1 = \dfrac{3}{(x - 1)(x + 2)}$.
(1) $\dfrac{3 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{4 - x} = 1$；
(2) $\dfrac{x}{x - 1} - 1 = \dfrac{3}{(x - 1)(x + 2)}$.
答案
13. (1) $x = 3$ (2) 无解
解析
(1) 方程两边同乘$x - 4$，得$3 - x - 1 = x - 4$，解得$x = 3$。检验：当$x = 3$时，$x - 4 = -1 ≠ 0$，所以$x = 3$是原方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$，展开得$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，化简得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
(2) 方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$，展开得$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，化简得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
14. (2024·兴安盟)A，B 两种型号的机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 千克，A 型机器人搬运 900 千克所用的时间与 B 型机器人搬运 600 千克所用的时间相等. A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运化工原料(
A.60 千克、30 千克
B.90 千克、120 千克
C.60 千克、90 千克
D.90 千克、60 千克
D
)A.60 千克、30 千克
B.90 千克、120 千克
C.60 千克、90 千克
D.90 千克、60 千克
答案
14. D
解析
设B型机器人每小时搬运化工原料$x$千克，则A型机器人每小时搬运$(x + 30)$千克。
根据题意，得$\frac{900}{x + 30} = \frac{600}{x}$
方程两边同乘$x(x + 30)$，得$900x = 600(x + 30)$
解得$x = 60$
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
则$x + 30 = 60 + 30 = 90$
D
根据题意，得$\frac{900}{x + 30} = \frac{600}{x}$
方程两边同乘$x(x + 30)$，得$900x = 600(x + 30)$
解得$x = 60$
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
则$x + 30 = 60 + 30 = 90$
D
