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15. (新情境·科技民生)(2025·广州)智能机器人广泛应用于智慧农业. 为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人采摘某种水果.
(1) 若用人工采摘的成本为$a$元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低 30%. 求用智能机器人采摘的成本(用含$a$的代数式表示).
(2) 若要采摘 4 000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘所需时间比 4 个工人同时采摘所需时间还少 1 天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的 5 倍. 求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
(1) 若用人工采摘的成本为$a$元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低 30%. 求用智能机器人采摘的成本(用含$a$的代数式表示).
(2) 若要采摘 4 000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘所需时间比 4 个工人同时采摘所需时间还少 1 天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的 5 倍. 求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
答案
15. (1) 根据题意，得用智能机器人采摘的成本是 $(1 - 30\%)a =$
$70\%a$ 元 (2) 设一个工人每天可采摘该种水果 $x$ 千克，则这台
智能采摘机器人每天可采摘该种水果 $5x$ 千克。根据题意，得
$\dfrac{4000}{4x} - \dfrac{4000}{5x} = 1$，解得 $x = 200$。经检验，$x = 200$ 是所列方程的
解，且符合题意。$\therefore 5x = 5× 200 = 1000$。$\therefore$ 这台智能采摘机器人
每天可采摘该种水果 1000 千克
$70\%a$ 元 (2) 设一个工人每天可采摘该种水果 $x$ 千克，则这台
智能采摘机器人每天可采摘该种水果 $5x$ 千克。根据题意，得
$\dfrac{4000}{4x} - \dfrac{4000}{5x} = 1$，解得 $x = 200$。经检验，$x = 200$ 是所列方程的
解，且符合题意。$\therefore 5x = 5× 200 = 1000$。$\therefore$ 这台智能采摘机器人
每天可采摘该种水果 1000 千克
16. 对于$M = \dfrac{x + 2}{2}$，$N = \dfrac{4x}{x + 2}$，嘉嘉和淇淇给出如下结论，嘉嘉：当$x ＞ 0$时，$M - N ＞ 0$；淇淇：当$x = 2$时，$M = N$. 下列说法正确的是(
A.嘉嘉对，淇淇错
B.嘉嘉错，淇淇对
C.嘉嘉、淇淇都对
D.嘉嘉、淇淇都不对
B
)A.嘉嘉对，淇淇错
B.嘉嘉错，淇淇对
C.嘉嘉、淇淇都对
D.嘉嘉、淇淇都不对
答案
16. B 解析：根据题意可知，$M - N = \dfrac{x + 2}{2} - \dfrac{4x}{x + 2} =$
$\dfrac{x^2 + 4x + 4 - 8x}{2(x + 2)} = \dfrac{(x - 2)^2}{2(x + 2)}$。当 $x ＞ 0$ 时，$x + 2 ＞ 0$，$(x - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore M - N ≥ 0$，故嘉嘉错。当 $x = 2$ 时，$M - N = \dfrac{(x - 2)^2}{2(x + 2)} = 0$，
$\therefore M = N$，故淇淇对。
$\dfrac{x^2 + 4x + 4 - 8x}{2(x + 2)} = \dfrac{(x - 2)^2}{2(x + 2)}$。当 $x ＞ 0$ 时，$x + 2 ＞ 0$，$(x - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore M - N ≥ 0$，故嘉嘉错。当 $x = 2$ 时，$M - N = \dfrac{(x - 2)^2}{2(x + 2)} = 0$，
$\therefore M = N$，故淇淇对。
17. (2025·眉山)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 2, \\x + 1 ≥ - x + a\end{cases}$至少有两个正整数解，且关于$x$的分式方程$\dfrac{a - 1}{x - 1} = 2 - \dfrac{3}{1 - x}$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )
A.$8$
B.$14$
C.$18$
D.$38$
A.$8$
B.$14$
C.$18$
D.$38$
答案
17. B 解析：记 $\begin{cases} \dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 2①, \\ x + 1 ≥ -x + a②. \end{cases}$ 解不等式①，得 $x ≤ 5$。解不等
式②，得 $x ≥ \dfrac{a - 1}{2}$。$\because$ 关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} \dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 2, \\ x + 1 ≥ -x + a \end{cases}$ 至少有
两个正整数解，$\therefore$ 该不等式组的解集为 $\dfrac{a - 1}{2} ≤ x ≤ 5$，且解集中至
少包含两个正整数。$\therefore \dfrac{a - 1}{2} ≤ 4$，解得 $a ≤ 9$。解关于 $x$ 的分式方
程 $\dfrac{a - 1}{x - 1} = 2 - \dfrac{3}{1 - x}$，得 $x = \dfrac{a - 2}{2}$。$\because$ 解为正整数且 $x ≠ 1$，$\therefore \dfrac{a - 2}{2}$
为大于或等于 2 的整数，即 $a$ 为大于或等于 6 的偶数。又 $\because a ≤$
$9$，$\therefore a = 6$ 或 $a = 8$。$\therefore$ 所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为 $6 +$
$8 = 14$。
式②，得 $x ≥ \dfrac{a - 1}{2}$。$\because$ 关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} \dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 2, \\ x + 1 ≥ -x + a \end{cases}$ 至少有
两个正整数解，$\therefore$ 该不等式组的解集为 $\dfrac{a - 1}{2} ≤ x ≤ 5$，且解集中至
少包含两个正整数。$\therefore \dfrac{a - 1}{2} ≤ 4$，解得 $a ≤ 9$。解关于 $x$ 的分式方
程 $\dfrac{a - 1}{x - 1} = 2 - \dfrac{3}{1 - x}$，得 $x = \dfrac{a - 2}{2}$。$\because$ 解为正整数且 $x ≠ 1$，$\therefore \dfrac{a - 2}{2}$
为大于或等于 2 的整数，即 $a$ 为大于或等于 6 的偶数。又 $\because a ≤$
$9$，$\therefore a = 6$ 或 $a = 8$。$\therefore$ 所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为 $6 +$
$8 = 14$。
18. 根据表中的数据，$a$的值为
$\dfrac{5}{2}$
，$b$的值为$-2$
.答案
18. $\dfrac{5}{2}$ $-2$
解析
解：当$x=2$时，$a=\dfrac{2×2 + 1}{2}=\dfrac{5}{2}$；
当$\dfrac{2n + 1}{n}=1$时，$2n + 1 = n$，解得$n=-1$，则$b=3×(-1)+1=-2$。
$\dfrac{5}{2}$；$-2$
当$\dfrac{2n + 1}{n}=1$时，$2n + 1 = n$，解得$n=-1$，则$b=3×(-1)+1=-2$。
$\dfrac{5}{2}$；$-2$
19. 若$3ab - 3b^{2} - 2 = 0$，则代数式$(1 - \dfrac{2ab - b^{2}}{a^{2}}) ÷ \dfrac{a - b}{a^{2}b}$的值为
$\dfrac{2}{3}$
.答案
19. $\dfrac{2}{3}$ 解析：原式 $= ab - b^2$。$\because 3ab - 3b^2 - 2 = 0$，$\therefore 3ab -$
$3b^2 = 2$。$\therefore ab - b^2 = \dfrac{2}{3}$。$\therefore$ 原式 $= \dfrac{2}{3}$。
$3b^2 = 2$。$\therefore ab - b^2 = \dfrac{2}{3}$。$\therefore$ 原式 $= \dfrac{2}{3}$。
20. 已知$m + n = 3$，$mn = 1$，则$\dfrac{m}{n} + \dfrac{n}{m}$的值为
$7$
.答案
20. 7 解析：$\because m + n = 3$，$mn = 1$，$\therefore \dfrac{m}{n} + \dfrac{n}{m} = \dfrac{m^2 + n^2}{mn} =$
$\dfrac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \dfrac{3^2 - 2× 1}{1} = 7$。
$\dfrac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \dfrac{3^2 - 2× 1}{1} = 7$。
