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1. 把不等式 $ x ≥ -1 $ 和 $ x ＜ 1 $ 的解集表示在数轴上，正确的是(
D
)。答案
1. D
解析
【解析】
对于不等式$x≥-1$，在数轴上-1的位置用实心圆点，向右绘制；对于不等式$x＜1$，在数轴上1的位置用空心圆圈，向左绘制。观察各选项，只有选项D的数轴表示符合这两个解集的要求。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集
【点评】
在数轴上表示不等式解集时，需注意实心圆点对应含等号的不等号（≥、≤），空心圆圈对应不含等号的不等号（＞、＜），同时遵循“大于向右，小于向左”的绘制原则。
对于不等式$x≥-1$，在数轴上-1的位置用实心圆点，向右绘制；对于不等式$x＜1$，在数轴上1的位置用空心圆圈，向左绘制。观察各选项，只有选项D的数轴表示符合这两个解集的要求。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集
【点评】
在数轴上表示不等式解集时，需注意实心圆点对应含等号的不等号（≥、≤），空心圆圈对应不含等号的不等号（＞、＜），同时遵循“大于向右，小于向左”的绘制原则。
2. 下面是公路上的几种交通标志的示意图，它们有着不同的含义。如果设汽车速度为 $ x \mathrm{ km/h} $，宽度为 $ l \mathrm{ m} $，高度为 $ h \mathrm{ m} $，请用不等式表示图中各种标志的含义。
答案
2. $ x ≤ 30 $，$ l ≤ 2 $，$ h ≤ 3.5 $。
解析
【解析】
限宽标志表示汽车宽度不能超过2m，即$ l ≤ 2 $；限高标志表示汽车高度不能超过3.5m，即$ h ≤ 3.5 $；限速标志表示汽车速度不能超过30km/h，即$ x ≤ 30 $。
【答案】
$ x ≤ 30 $，$ l ≤ 2 $，$ h ≤ 3.5 $
【知识点】
根据实际意义列不等式；不等式的实际应用
【点评】
本题需准确理解交通标志的含义，将实际生活中的限制条件转化为数学不等式，体现了数学与生活的紧密联系，培养用数学知识解决实际问题的能力。
限宽标志表示汽车宽度不能超过2m，即$ l ≤ 2 $；限高标志表示汽车高度不能超过3.5m，即$ h ≤ 3.5 $；限速标志表示汽车速度不能超过30km/h，即$ x ≤ 30 $。
【答案】
$ x ≤ 30 $，$ l ≤ 2 $，$ h ≤ 3.5 $
【知识点】
根据实际意义列不等式；不等式的实际应用
【点评】
本题需准确理解交通标志的含义，将实际生活中的限制条件转化为数学不等式，体现了数学与生活的紧密联系，培养用数学知识解决实际问题的能力。
3. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集。
(1) $ x + 2 ＞ 6 $。
(2) $ 4x ＜ 2x - 4 $。
(1) $ x + 2 ＞ 6 $。
(2) $ 4x ＜ 2x - 4 $。
答案
3. (1) $ x ＞ 4 $，在数轴上表示解集略。
(2) $ x ＜ -2 $，在数轴上表示解集略。
(2) $ x ＜ -2 $，在数轴上表示解集略。
4. 已知方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 3m + 1, \\ x - y = 2m - 1. \end{cases} $
(1) 列出使 $ x ＜ y $ 成立的关于 $ m $ 的不等式。
(2) 运用不等式的性质，将(1)中的不等式化为 $ m ＞ a $ 或 $ m ＜ a $ 的形式。
(1) 列出使 $ x ＜ y $ 成立的关于 $ m $ 的不等式。
(2) 运用不等式的性质，将(1)中的不等式化为 $ m ＞ a $ 或 $ m ＜ a $ 的形式。
答案
4. (1) $ \frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m $。(2) $ m ＜ \frac{1}{2} $。
解析
【解析】
(1) 先解方程组：
将方程组中两个方程相加，得：
$2x + y + x - y = 3m + 1 + 2m - 1$
$3x = 5m$
解得 $x = \frac{5m}{3}$
把 $x = \frac{5m}{3}$ 代入 $x - y = 2m - 1$，得：
$\frac{5m}{3} - y = 2m - 1$
解得 $y = 1 - \frac{1}{3}m$
因为 $x ＜ y$，所以列出不等式：$\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m$
(2) 对不等式 $\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m$ 变形：
根据不等式性质1，两边同时加 $\frac{1}{3}m$，得：
$\frac{5m}{3} + \frac{1}{3}m ＜ 1$
即 $2m ＜ 1$
根据不等式性质2，两边同时除以2，得：
$m ＜ \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m}$；(2) $\boldsymbol{m ＜ \frac{1}{2}}$
【知识点】
二元一次方程组求解、一元一次不等式变形、不等式的性质
【点评】
本题需先通过解方程组用含$m$的代数式表示$x$、$y$，再根据$x＜y$列不等式，最后利用不等式性质化简，考查了方程组与不等式的综合运用，需熟练掌握相关解法与性质。
(1) 先解方程组：
将方程组中两个方程相加，得：
$2x + y + x - y = 3m + 1 + 2m - 1$
$3x = 5m$
解得 $x = \frac{5m}{3}$
把 $x = \frac{5m}{3}$ 代入 $x - y = 2m - 1$，得：
$\frac{5m}{3} - y = 2m - 1$
解得 $y = 1 - \frac{1}{3}m$
因为 $x ＜ y$，所以列出不等式：$\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m$
(2) 对不等式 $\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m$ 变形：
根据不等式性质1，两边同时加 $\frac{1}{3}m$，得：
$\frac{5m}{3} + \frac{1}{3}m ＜ 1$
即 $2m ＜ 1$
根据不等式性质2，两边同时除以2，得：
$m ＜ \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{5m}{3} ＜ 1 - \frac{1}{3}m}$；(2) $\boldsymbol{m ＜ \frac{1}{2}}$
【知识点】
二元一次方程组求解、一元一次不等式变形、不等式的性质
【点评】
本题需先通过解方程组用含$m$的代数式表示$x$、$y$，再根据$x＜y$列不等式，最后利用不等式性质化简，考查了方程组与不等式的综合运用，需熟练掌握相关解法与性质。
5. 我们用 $[a]$ 来表示不大于 $ a $ 的最大整数，例如，$[1.5] = 1$，$[-2.3] = -3$。若 $[x] + 3 = 1$，则 $ x $ 的取值范围是
$ -2 ≤ x ＜ -1 $
。答案
5. $ -2 ≤ x ＜ -1 $
解析
【解析】
先对等式$[x] + 3 = 1$移项，得$[x] = 1 - 3 = -2$。根据$[a]$表示不大于$a$的最大整数的定义，可知当$[x] = -2$时，$x$的取值范围为$-2 ≤ x ＜ -1$。
【答案】
$-2 ≤ x ＜ -1$
【知识点】
取整函数的定义、解含取整函数的方程
【点评】
本题考查取整函数的应用，解题关键是准确理解取整函数的含义，通过移项求出$[x]$的值后，依据定义确定$x$的取值范围，需注意端点值的取舍。
先对等式$[x] + 3 = 1$移项，得$[x] = 1 - 3 = -2$。根据$[a]$表示不大于$a$的最大整数的定义，可知当$[x] = -2$时，$x$的取值范围为$-2 ≤ x ＜ -1$。
【答案】
$-2 ≤ x ＜ -1$
【知识点】
取整函数的定义、解含取整函数的方程
【点评】
本题考查取整函数的应用，解题关键是准确理解取整函数的含义，通过移项求出$[x]$的值后，依据定义确定$x$的取值范围，需注意端点值的取舍。
6. 某同学在做一道解一元一次不等式的习题时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是 $ 1 - 3x ＜ $
。他查看答案后知道，这个不等式的解集是 $ x ＞ 5 $，那么被污染的数是
。他查看答案后知道，这个不等式的解集是 $ x ＞ 5 $，那么被污染的数是-14
。答案
6. -14
解析
【解析】
设被污染的数为$ a $，则不等式为$ 1 - 3x ＜ a $。
移项得：$ -3x ＜ a - 1 $，
两边同时除以$ -3 $（不等号方向改变）：$ x ＞ \frac{1 - a}{3} $。
已知不等式的解集为$ x ＞ 5 $，因此$ \frac{1 - a}{3} = 5 $，
解得：$ 1 - a = 15 $，$ a = -14 $。
【答案】
-14
【知识点】
一元一次不等式的解法
【点评】
解决此类问题需先解含参数的一元一次不等式，再结合已知解集建立方程求解参数，注意不等式两边除以负数时，不等号方向要改变。
设被污染的数为$ a $，则不等式为$ 1 - 3x ＜ a $。
移项得：$ -3x ＜ a - 1 $，
两边同时除以$ -3 $（不等号方向改变）：$ x ＞ \frac{1 - a}{3} $。
已知不等式的解集为$ x ＞ 5 $，因此$ \frac{1 - a}{3} = 5 $，
解得：$ 1 - a = 15 $，$ a = -14 $。
【答案】
-14
【知识点】
一元一次不等式的解法
【点评】
解决此类问题需先解含参数的一元一次不等式，再结合已知解集建立方程求解参数，注意不等式两边除以负数时，不等号方向要改变。
