1. 下列计算正确的是()。

A.$\sqrt{(-16)×(-9)}=\sqrt{-16}×\sqrt{-9}=(-4)×(-3)=12$
B.$\sqrt{3^{2}×5}=\sqrt{3^{2}}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{13^{2}}-\sqrt{5^{2}}=13 - 5 = 8$
D.$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{2×\dfrac{1}{4}}=\sqrt{2}×\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\sqrt{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1. B

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次根式的被开方数必须是非负数，$\sqrt{-16}$与$\sqrt{-9}$无意义，该计算错误；
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），可得$\sqrt{3^{2}×5}=\sqrt{3^{2}}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$，计算正确；
选项C：$\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{(13-5)(13+5)}=\sqrt{144}=12$，不能直接将根号内的差拆分为差的根号，该计算错误；
选项D：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$，不能错误拆分带分数，该计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的运算规则，需牢记二次根式被开方数的非负性，正确运用运算法则，避免误拆根号内的运算或错误处理带分数。
【难度系数】
0.7

2. 给出二次根式：①$\sqrt{22}$，②$\sqrt{5a^{3}}$，③$\sqrt{3}$，④$\sqrt{9}$，⑤$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$，其中最简二次根式有()。

A.①②
B.①③
C.③④
D.①③④

2. B

【解析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一分析：
①$\sqrt{22}$：被开方数22不含分母，且无开得尽方的因数，是最简二次根式；
②$\sqrt{5a^3}$：被开方数中$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
③$\sqrt{3}$：被开方数3不含分母，且无开得尽方的因数，是最简二次根式；
④$\sqrt{9}$：被开方数9是能开得尽方的数，不是最简二次根式；
⑤$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$：被开方数含分母，不是最简二次根式。
因此最简二次根式为①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，需紧扣“被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式”这两个核心条件，逐一分析每个选项即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 计算$\sqrt{\dfrac{3^{2}}{2^{5}}}$的值为()。

A.$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$
B.$\dfrac{3}{8}\sqrt{2}$
C.$\dfrac{3}{8}\sqrt{6}$
D.$8\sqrt{6}$

3. B

【解析】
先化简根号内的表达式：
$\sqrt{\dfrac{3^{2}}{2^{5}}}=\sqrt{\dfrac{9}{32}}$
再将其拆分为分子分母分别开方：
$=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{32}}=\dfrac{3}{4\sqrt{2}}$
最后进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$=\dfrac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{8}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题主要考查二次根式的化简运算，关键是掌握二次根式的性质及分母有理化的方法，需确保根式化简彻底。
【难度系数】
0.6

4. 若一个等边三角形一条边的长是$6$，则它的高为()。

A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$

4. C

【解析】
过等边三角形的一个顶点作对边的高，根据等边三角形三线合一的性质，高将对边平分，得到直角三角形的一条直角边为$6÷2=3$，斜边为6。
根据勾股定理，高$h=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查等边三角形的性质与勾股定理的综合应用，需熟练掌握等边三角形三线合一的特点，正确运用勾股定理计算线段长度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 已知$\sqrt{20a}$是整数，则满足条件的最小正整数$a$为()。

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

5. D

【解析】
先将被开方数分解质因数：$20a=2^2×5a$，因为$\sqrt{20a}$是整数，所以被开方数$20a$必须是完全平方数。$2^2$已经是完全平方数，因此$5a$需为完全平方数，满足条件的最小正整数$a$为5（此时$5a=25=5^2$，是完全平方数）。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、完全平方数
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及完全平方数的概念，解题关键是通过分解质因数判断被开方数是否为完全平方数，属于基础题。
【难度系数】
0.8

6. 化简：
(1) $\sqrt{75}=$。
(2) $\sqrt{6\dfrac{1}{4}}=$。
(3) $\sqrt{61^{2}-60^{2}}=$。

6. (1) $5\sqrt{3}$ (2) $\frac{5}{2}$ (3) 11

【解析】
(1) 先将被开方数分解因数：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}$，根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
(2) 先将带分数化为假分数：$6\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}$，再根据二次根式的除法性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}$；
(3) 先利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算被开方数：$61^2-60^2=(61-60)(61+60)=1×121=121$，再化简二次根式：$\sqrt{121}=11$。
【答案】
(1) $5\sqrt{3}$；(2) $\dfrac{5}{2}$；(3) 11
【知识点】
二次根式化简、平方差公式、带分数化假分数
【点评】
本题考查二次根式的基础化简运算，涉及因数分解、分数转化、平方差公式的应用，题目难度较低，旨在巩固二次根式的基本性质与代数公式的运用，帮助学生掌握二次根式化简的常见方法。
【难度系数】
0.9

7. 若等式$\sqrt{(3 - a)(a - 2)}=\sqrt{3 - a}·\sqrt{a - 2}$成立，则$a$的取值范围是。

7. $2≤ a≤3$

【解析】
要使等式$\sqrt{(3 - a)(a - 2)}=\sqrt{3 - a}·\sqrt{a - 2}$成立，根据二次根式有意义的条件，需满足：
$\begin{cases}3 - a ≥ 0 \\a - 2 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$3 - a ≥ 0$，得$a ≤ 3$；
解不等式$a - 2 ≥ 0$，得$a ≥ 2$；
因此，$a$的取值范围是$2≤ a≤3$。
【答案】
$2≤ a≤3$
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，关键是根据等式成立的要求列出不等式组，通过解不等式组确定参数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，若$AB = 8$，$BC = 1$，则$AC=$。

8. $3\sqrt{7}$

【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
将$AB=8$，$BC=1$代入得：
$AC = \sqrt{8^2 - 1^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$
【答案】
$3\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的直接应用，需准确判断斜边，计算时注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.9

9. 化简：
(1) $\sqrt{14×112}$。
(2) $\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{8}{27}}$。
(3) $\sqrt{3.6×10^{3}}$。
(4) $\sqrt{(\dfrac{8}{15})^{2}-(\dfrac{2}{15})^{2}}$。