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10. 已知一个等腰三角形的底边长为$8cm$，腰长为$13cm$，求此等腰三角形的面积。
答案
解：过等腰三角形的顶点作底边的垂线，根据等腰三角形三线合一的性质，这条垂线也是底边的中线。
则底边的一半为$8÷2 = 4cm$。
在由腰、底边一半和高组成的直角三角形中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得高为$\sqrt{13^{2}-4^{2}}=\sqrt{169 - 16}=\sqrt{153}=3\sqrt {17}cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得此等腰三角形面积为$\frac{1}{2}×8×3\sqrt {17} = 12\sqrt {17}cm^{2}$。
则底边的一半为$8÷2 = 4cm$。
在由腰、底边一半和高组成的直角三角形中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得高为$\sqrt{13^{2}-4^{2}}=\sqrt{169 - 16}=\sqrt{153}=3\sqrt {17}cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得此等腰三角形面积为$\frac{1}{2}×8×3\sqrt {17} = 12\sqrt {17}cm^{2}$。
1. 若$\sqrt{x^{3}-x^{2}}=x\sqrt{x - 1}$成立，则$x$的取值范围是
$x≥1$
。答案
1. $x≥1$
解析
【解析】
要使等式$\sqrt{x^{3}-x^{2}}=x\sqrt{x - 1}$成立，需同时满足等式两边二次根式有意义及等式成立的条件：
1. 右边的二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，故$x-1≥0$，即$x≥1$；
2. 左边的二次根式$\sqrt{x^3 - x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，根号内$x^2(x-1)≥0$，因$x^2≥0$恒成立，当$x≥1$时，$x-1≥0$，满足根号内非负；
3. 化简左边得$\sqrt{x^2(x-1)}=|x|\sqrt{x-1}$，要使$|x|\sqrt{x-1}=x\sqrt{x-1}$，需$|x|=x$，即$x≥0$，结合$x≥1$，取交集得$x≥1$；
另外，当$x=0$时，右边$\sqrt{x-1}$无意义，故$x=0$不满足条件。
综上，$x$的取值范围是$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的相关性质及有意义的条件，解题时需同时兼顾等式两边二次根式的取值要求，注意排除使根式无意义的情况，避免遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.7
要使等式$\sqrt{x^{3}-x^{2}}=x\sqrt{x - 1}$成立，需同时满足等式两边二次根式有意义及等式成立的条件：
1. 右边的二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，故$x-1≥0$，即$x≥1$；
2. 左边的二次根式$\sqrt{x^3 - x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，根号内$x^2(x-1)≥0$，因$x^2≥0$恒成立，当$x≥1$时，$x-1≥0$，满足根号内非负；
3. 化简左边得$\sqrt{x^2(x-1)}=|x|\sqrt{x-1}$，要使$|x|\sqrt{x-1}=x\sqrt{x-1}$，需$|x|=x$，即$x≥0$，结合$x≥1$，取交集得$x≥1$；
另外，当$x=0$时，右边$\sqrt{x-1}$无意义，故$x=0$不满足条件。
综上，$x$的取值范围是$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的相关性质及有意义的条件，解题时需同时兼顾等式两边二次根式的取值要求，注意排除使根式无意义的情况，避免遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.7
2. 化简$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$的结果是(
A.$\sqrt{-a}$
B.$\sqrt{a}$
C.$-\sqrt{-a}$
D.$-\sqrt{a}$
C
)。A.$\sqrt{-a}$
B.$\sqrt{a}$
C.$-\sqrt{-a}$
D.$-\sqrt{a}$
答案
2. C
解析
【解析】
要使二次根式$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，则$-\dfrac{1}{a}＞0$，可得$a＜0$。
对原式进行化简：
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}} = a\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}} = a·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}$
因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得：
$a·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a} = -\sqrt{-a}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母$a$的取值范围，再利用二次根式的性质化简，需特别注意符号的处理，避免因忽略字母正负性而出错。
【难度系数】
0.6
要使二次根式$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，则$-\dfrac{1}{a}＞0$，可得$a＜0$。
对原式进行化简：
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}} = a\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}} = a·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}$
因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得：
$a·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a} = -\sqrt{-a}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母$a$的取值范围，再利用二次根式的性质化简，需特别注意符号的处理，避免因忽略字母正负性而出错。
【难度系数】
0.6
3. 在$4×4$的网格内画$△ ABC$，使它的顶点都在格点上，且$AB = 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，$BC=\sqrt{(-4)^{2}}$，$AC=\sqrt{2^{2}+3^{2}}$，并求$△ ABC$的面积。
答案
$AB = 5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$；
$BC = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$；
$AC = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$。
$S=\dfrac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
4. 已知$a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，求$a^{2}-ab + b^{2}$的值。
答案
解：
首先，计算$a + b$的值：
$a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$
然后，计算$ab$的值：
$ab = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3 - 2 = 1$
接着，根据完全平方公式$a^{2}-ab + b^{2}=(a + b)^{2}-3ab$
将$a + b = 2\sqrt{3}$，$ab = 1$代入上式：
$(2\sqrt{3})^{2}-3×1$
$=12 - 3$
$= 9$
所以$a^{2}-ab + b^{2}$的值为$9$。
首先，计算$a + b$的值：
$a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$
然后，计算$ab$的值：
$ab = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3 - 2 = 1$
接着，根据完全平方公式$a^{2}-ab + b^{2}=(a + b)^{2}-3ab$
将$a + b = 2\sqrt{3}$，$ab = 1$代入上式：
$(2\sqrt{3})^{2}-3×1$
$=12 - 3$
$= 9$
所以$a^{2}-ab + b^{2}$的值为$9$。
5. 你见过像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$，$\sqrt{\sqrt{48}-\sqrt{45}}$这样的根式吗？这一类根式叫作复合二次根式。有一些复合二次根式可以化简，例如，$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}=\sqrt{3 - 2\sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}-1$。
请用上述方法化简：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$。
请用上述方法化简：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$。
答案
解：
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3 + 2\sqrt{6}+2}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3 + 2\sqrt{6}+2}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
