1. (1) 类比计算：
① $a + 3a =$，$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} =$。
② $6a - 9a =$，$6\sqrt{2} - 9\sqrt{2} =$。
③ $a + \frac{3}{2}a - 0.5a =$，$\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{3} - 0.5\sqrt{3} =$。
(2) 归纳：类似合并同类项，被开方数相同的二次根式相加可以合并。被开方数相同的二次根式合并的依据是逆用运算律。
(3) 计算：$\sqrt{8} - \sqrt{2} =$。
小贴士：二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

1. (1) ① $4a$ $4\sqrt{2}$ ② $-3a$ $-3\sqrt{2}$ ③ $2a$ $2\sqrt{3}$ (2) 分配律 (3) $\sqrt{2}$

【解析】
(1) ①根据合并同类项法则，系数相加，字母或二次根式部分不变：$a+3a=(1+3)a=4a$；$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1+3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
②$6a-9a=(6-9)a=-3a$；$6\sqrt{2}-9\sqrt{2}=(6-9)\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$。
③$a+\frac{3}{2}a-0.5a=(1+\frac{3}{2}-0.5)a=2a$；$\sqrt{3}+\frac{3}{2}\sqrt{3}-0.5\sqrt{3}=(1+\frac{3}{2}-0.5)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
(2) 被开方数相同的二次根式合并时，将系数相加减，二次根式部分不变，依据是逆用乘法分配律。
(3) 先化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) ① $4a$，$4\sqrt{2}$；② $-3a$，$-3\sqrt{2}$；③ $2a$，$2\sqrt{3}$
(2) 乘法分配
(3) $\sqrt{2}$
【知识点】
合并同类二次根式，二次根式的化简，乘法分配律
【点评】
本题通过类比同类项的合并，引导学生掌握被开方数相同的二次根式的合并方法，强调先化简再合并的步骤，帮助学生理解二次根式加减运算的本质，提升类比归纳能力与运算能力。
【难度系数】
0.8

2. (1) 类比计算：
① $(a + b)(c + d) =$，$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{7}) =$。
② $(a + b)(a - b) =$，$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =$。
③ $(a + b)^2 =$，$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 =$。
(2) 归纳：整式的乘除法则以及乘法公式仍然适用于二次根式的运算。
(3) 计算：$(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) =$，$(\sqrt{14} - \sqrt{32}) ÷ \sqrt{2} =$，$(2 - \sqrt{5})^2 =$。

2. (1) ① $ac + ad + bc + bd$ $\sqrt{15} + \sqrt{21} + \sqrt{10} + \sqrt{14}$ ② $a^{2} - b^{2}$ $1$ ③ $a^{2} + 2ab + b^{2}$ $5 + 2\sqrt{6}$ (2) 乘除 (3) $-1$ $\sqrt{7} - 4$ $9 - 4\sqrt{5}$

【解析】
(1) ① 根据多项式乘多项式法则：$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，代入二次根式计算：$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{7})=\sqrt{3}×\sqrt{5}+\sqrt{3}×\sqrt{7}+\sqrt{2}×\sqrt{5}+\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{15}+\sqrt{21}+\sqrt{10}+\sqrt{14}$；
② 根据平方差公式：$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，代入二次根式计算：$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$；
③ 根据完全平方公式：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入二次根式计算：$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$；
(2) 由(1)的类比计算可知，整式的乘除法则以及乘法公式仍然适用于二次根式的乘除运算；
(3) ① 利用平方差公式：$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$；
② 利用二次根式除法法则：$(\sqrt{14}-\sqrt{32})÷\sqrt{2}=\sqrt{14}÷\sqrt{2}-\sqrt{32}÷\sqrt{2}=\sqrt{7}-\sqrt{16}=\sqrt{7}-4$；
③ 利用完全平方公式：$(2-\sqrt{5})^2=2^2-2×2×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) ① $ac + ad + bc + bd$，$\sqrt{15} + \sqrt{21} + \sqrt{10} + \sqrt{14}$；② $a^{2} - b^{2}$，$1$；③ $a^{2} + 2ab + b^{2}$，$5 + 2\sqrt{6}$；(2) 乘除；(3) $-1$，$\sqrt{7} - 4$，$9 - 4\sqrt{5}$
【知识点】
多项式乘法法则、乘法公式、二次根式乘除运算
【点评】
本题通过类比整式的乘除运算，帮助理解整式的乘除法则及乘法公式同样适用于二次根式的乘除运算，考查对基础运算规则的迁移应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3. (1) 分母有理化。
把分母中的根号化去，叫作分母有理化。分母有理化的常规方法：分子和分母同乘一个适当的二次根式，使分母不含根号。
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$进行分母有理化时，分子、分母应同时乘，得，结果为。

3. (2) $\sqrt{2} - 1$ $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ $\sqrt{2} - 1$

1. 下列二次根式中，能与$\sqrt{2}$合并的是()。

A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{24}$

1. C

【解析】
能与$\sqrt{2}$合并的是同类二次根式，即化简后被开方数为2的二次根式，对各选项逐一化简：
A选项：$\sqrt{4}=2$，是整数，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
B选项：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，可合并；
D选项：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是先将各选项中的二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式的定义进行判断，属于基础题。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算正确的是()。

A.$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$
B.$2\sqrt{3} = 6$
C.$\sqrt{4} - \sqrt{8} = 2 - 2\sqrt{2}$
D.$4 ÷ \sqrt{2} = 2$

2. C

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$是不同的最简二次根式，不能直接相减，故$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，A错误；
选项B：$2\sqrt{3}$是最简二次根式，不等于6，B错误；
选项C：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{4}-\sqrt{8}=2-2\sqrt{2}$，计算正确，C正确；
选项D：$4÷\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=2\sqrt{2}≠2$，D错误。
综上，正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，需熟练掌握二次根式的化简、加减及除法运算法则，明确只有同类二次根式才能合并，除法运算可通过有理化进行计算。
【难度系数】
0.8