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1. 上节课的学习中，我们发现像$\sqrt{16}$，$\sqrt{25}$这样的二次根式还可以进一步地化简：$\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}} = 4$，$\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}} = 5$。像$\sqrt{12}$这样的二次根式还可以进一步化简吗？
我们进一步展开探究，完成下面的问题。
(1) 填空：
$\sqrt{4×25}=$
$\sqrt{4}×\sqrt{25}=$
$\sqrt{9×16}=$
$\sqrt{9}×\sqrt{16}=$
……
一般地，$\sqrt{a· b}=$
(2) 证明你给出的关系式。
(3) 化简：$\sqrt{25×121}=$
我们进一步展开探究，完成下面的问题。
(1) 填空：
$\sqrt{4×25}=$
10
，$\sqrt{4}×\sqrt{25}=$
10
；$\sqrt{9×16}=$
12
，$\sqrt{9}×\sqrt{16}=$
12
；……
一般地，$\sqrt{a· b}=$
$\sqrt{a}×\sqrt{b}$
(用含$a$，$b$的代数式表示)，写出$a$，$b$的取值范围：$a≥0$，$b≥0$
。(2) 证明你给出的关系式。
(3) 化简：$\sqrt{25×121}=$
55
，$\sqrt{20}=$$2\sqrt{5}$
。答案
1. (1) 10 10 12 12 $\sqrt{a}×\sqrt{b}$ $a≥0$，$b≥0$
(2) 因为左边平方$=ab$，右边平方$=(\sqrt{a}×\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$，所以左边平方=右边平方，所以$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$
(3) 55 $2\sqrt{5}$
(2) 因为左边平方$=ab$，右边平方$=(\sqrt{a}×\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$，所以左边平方=右边平方，所以$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$
(3) 55 $2\sqrt{5}$
解析
【解析】
(1) 计算具体数值：
$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$，$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$；
$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{9}×\sqrt{16}=3×4=12$；
通过实例归纳得出：$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$，其中$a$，$b$的取值范围是$a≥0$，$b≥0$。
(2) 证明：
设$x=\sqrt{ab}$，则$x^2=ab$（$x≥0$）；
设$y=\sqrt{a}×\sqrt{b}$，则$y^2=(\sqrt{a})^2×(\sqrt{b})^2=ab$（$y≥0$）；
因为$x≥0$，$y≥0$且$x^2=y^2$，所以$x=y$，即$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。
(3) 运用法则化简：
$\sqrt{25×121}=\sqrt{25}×\sqrt{121}=5×11=55$；
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $10$，$10$，$12$，$12$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}$，$a≥0$，$b≥0$
(2) 证明见解析
(3) $55$，$2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的乘法法则，二次根式的化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题通过具体实例探究归纳二次根式的乘法法则，再进行严谨证明，最后运用法则化简二次根式，既考查了归纳推理能力，又巩固了二次根式的运算基础，帮助学生理解二次根式乘法的本质。
【难度系数】
0.8
(1) 计算具体数值：
$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$，$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$；
$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{9}×\sqrt{16}=3×4=12$；
通过实例归纳得出：$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$，其中$a$，$b$的取值范围是$a≥0$，$b≥0$。
(2) 证明：
设$x=\sqrt{ab}$，则$x^2=ab$（$x≥0$）；
设$y=\sqrt{a}×\sqrt{b}$，则$y^2=(\sqrt{a})^2×(\sqrt{b})^2=ab$（$y≥0$）；
因为$x≥0$，$y≥0$且$x^2=y^2$，所以$x=y$，即$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。
(3) 运用法则化简：
$\sqrt{25×121}=\sqrt{25}×\sqrt{121}=5×11=55$；
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $10$，$10$，$12$，$12$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}$，$a≥0$，$b≥0$
(2) 证明见解析
(3) $55$，$2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的乘法法则，二次根式的化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题通过具体实例探究归纳二次根式的乘法法则，再进行严谨证明，最后运用法则化简二次根式，既考查了归纳推理能力，又巩固了二次根式的运算基础，帮助学生理解二次根式乘法的本质。
【难度系数】
0.8
2. (1) 填空：
$\sqrt{\dfrac{4}{25}}=$
$\sqrt{\dfrac{9}{16}}=$
……
一般地，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=$
(2) 证明你给出的关系式。
(3) 化简：$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=$
$\sqrt{\dfrac{4}{25}}=$
$\frac{2}{5}$
，$\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$$\frac{2}{5}$
；$\sqrt{\dfrac{9}{16}}=$
$\frac{3}{4}$
，$\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$$\frac{3}{4}$
；……
一般地，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
(用含$a$，$b$的代数式表示)，写出$a$，$b$的取值范围：$a≥0$，$b＞0$
。(2) 证明你给出的关系式。
(3) 化简：$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
，$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=$$\frac{\sqrt{6}}{2}$
。答案
2. (1) $\frac{2}{5}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $a≥0$，$b＞0$
(2) 因为左边平方$=\frac{a}{b}$，右边平方$=(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a}{b}$，所以左边平方=右边平方，所以$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$
(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2) 因为左边平方$=\frac{a}{b}$，右边平方$=(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a}{b}$，所以左边平方=右边平方，所以$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$
(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
3. (1) 最简二次根式的概念：
① 根号内不含
② 被开方数中不含
这样的二次根式称为最简二次根式。
(2) 下列各式中，为最简二次根式的是(
A. $\sqrt{8}$
B. $\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{1}$
① 根号内不含
分母
。② 被开方数中不含
能开得尽方
的因数或因式。这样的二次根式称为最简二次根式。
(2) 下列各式中，为最简二次根式的是(
C
)。A. $\sqrt{8}$
B. $\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{1}$
答案
3. (1) ①分母 ②能开得尽方 (2) C
