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1. 已知整数 $ x $ 同时满足下列两个条件：①$\sqrt{x + 1}$与$\sqrt{5 - x}$都有意义，②$\sqrt{x}$是一个有理数。$ x $ 的值是
0,1,4
。答案
1. 0,1,4
解析
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}x + 1 ≥ 0 \\5 - x ≥ 0\end{cases}$
解该不等式组，得$-1 ≤ x ≤ 5$。
因为$x$是整数，所以$x$的可能取值为$-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$。
又因为$\sqrt{x}$是有理数，且$x$为整数，所以$x$必须是完全平方数，在$-1 ≤ x ≤ 5$范围内的完全平方数为$0, 1, 4$，因此$x$的值是$0, 1, 4$。
【答案】
0,1,4
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方数，有理数的概念
【点评】
本题综合考查二次根式有意义的条件、有理数的概念及完全平方数的判定，需先通过不等式组确定$x$的取值范围，再结合整数和有理数的条件筛选出符合要求的$x$值，解题时需注意全面分析条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}x + 1 ≥ 0 \\5 - x ≥ 0\end{cases}$
解该不等式组，得$-1 ≤ x ≤ 5$。
因为$x$是整数，所以$x$的可能取值为$-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$。
又因为$\sqrt{x}$是有理数，且$x$为整数，所以$x$必须是完全平方数，在$-1 ≤ x ≤ 5$范围内的完全平方数为$0, 1, 4$，因此$x$的值是$0, 1, 4$。
【答案】
0,1,4
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方数，有理数的概念
【点评】
本题综合考查二次根式有意义的条件、有理数的概念及完全平方数的判定，需先通过不等式组确定$x$的取值范围，再结合整数和有理数的条件筛选出符合要求的$x$值，解题时需注意全面分析条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 若二次根式$\sqrt{4x^{2}}$的值等于 3，则 $ x $ 的值为
$ \pm \frac{3}{2} $
。答案
2. $ \pm \frac{3}{2} $
解析
【解析】
首先化简二次根式：$\sqrt{4x^{2}} = 2|x|$，
由题意得$2|x| = 3$，
两边同时除以2得$|x| = \frac{3}{2}$，
根据绝对值的性质，解得$x = \pm \frac{3}{2}$。
【答案】
$\pm \frac{3}{2}$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及绝对值的性质应用，解题时需注意二次根式的结果为非负数，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.7
首先化简二次根式：$\sqrt{4x^{2}} = 2|x|$，
由题意得$2|x| = 3$，
两边同时除以2得$|x| = \frac{3}{2}$，
根据绝对值的性质，解得$x = \pm \frac{3}{2}$。
【答案】
$\pm \frac{3}{2}$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及绝对值的性质应用，解题时需注意二次根式的结果为非负数，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.7
3. 当二次根式$\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$有意义时，$ x $ 的取值范围为
$ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 4 $
。答案
3. $ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 4 $
解析
【解析】
要使二次根式$\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$有意义，需满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负，即$x ≥ 0$；
2. 分式的分母不为零，即$\sqrt{x} - 2 ≠ 0$，解得$\sqrt{x} ≠ 2$，两边平方得$x ≠ 4$。
综上，$x$的取值范围为$x ≥ 0$且$x ≠ 4$。
【答案】
$ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 4 $
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题需同时考虑二次根式被开方数非负和分式分母不为零的限制条件，解题时易遗漏分母不为零的情况，需格外注意。
【难度系数】
0.7
要使二次根式$\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$有意义，需满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负，即$x ≥ 0$；
2. 分式的分母不为零，即$\sqrt{x} - 2 ≠ 0$，解得$\sqrt{x} ≠ 2$，两边平方得$x ≠ 4$。
综上，$x$的取值范围为$x ≥ 0$且$x ≠ 4$。
【答案】
$ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 4 $
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题需同时考虑二次根式被开方数非负和分式分母不为零的限制条件，解题时易遗漏分母不为零的情况，需格外注意。
【难度系数】
0.7
4. 当二次根式$\sqrt{\frac{5 + x}{x + 4}}$有意义时，$ x $ 的取值范围为
$ x ＞ - 4 $ 或 $ x ≤ - 5 $
。答案
4. $ x ＞ - 4 $ 或 $ x ≤ - 5 $
解析
【解析】
要使二次根式$\sqrt{\frac{5 + x}{x + 4}}$有意义，需满足被开方数为非负数且分母不为零，即：
$\begin{cases}\frac{5+x}{x+4} ≥ 0 \\x+4 ≠ 0\end{cases}$
解此不等式组：
分两种情况讨论：
1. 当$\begin{cases}5+x ≥ 0 \\ x+4 ＞ 0\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x ≥ -5 \\ x ＞ -4\end{cases}$，即$x ＞ -4$；
2. 当$\begin{cases}5+x ≤ 0 \\ x+4 ＜ 0\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x ≤ -5 \\ x ＜ -4\end{cases}$，即$x ≤ -5$。
综上，$x$的取值范围为$x ＞ -4$或$x ≤ -5$。
【答案】
$x ＞ - 4 $ 或 $ x ≤ - 5 $
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式组
【点评】
本题综合考查二次根式与分式有意义的条件，需同时兼顾被开方数非负和分母不为零，解不等式时需通过分类讨论避免漏解，易忽略分母不为零的条件导致错误。
【难度系数】
0.6
要使二次根式$\sqrt{\frac{5 + x}{x + 4}}$有意义，需满足被开方数为非负数且分母不为零，即：
$\begin{cases}\frac{5+x}{x+4} ≥ 0 \\x+4 ≠ 0\end{cases}$
解此不等式组：
分两种情况讨论：
1. 当$\begin{cases}5+x ≥ 0 \\ x+4 ＞ 0\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x ≥ -5 \\ x ＞ -4\end{cases}$，即$x ＞ -4$；
2. 当$\begin{cases}5+x ≤ 0 \\ x+4 ＜ 0\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x ≤ -5 \\ x ＜ -4\end{cases}$，即$x ≤ -5$。
综上，$x$的取值范围为$x ＞ -4$或$x ≤ -5$。
【答案】
$x ＞ - 4 $ 或 $ x ≤ - 5 $
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式组
【点评】
本题综合考查二次根式与分式有意义的条件，需同时兼顾被开方数非负和分母不为零，解不等式时需通过分类讨论避免漏解，易忽略分母不为零的条件导致错误。
【难度系数】
0.6
5. 将四个面积均为 $ 6 $ $ cm^{2} $ 的长方形拼成如图所示的图案，其中四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ 是正方形。已知正方形 $ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ 的面积为 $ 1 $ $ cm^{2} $，求正方形 $ ABCD $ 的边长。
答案
设长方形的长为$a$ $cm$，宽为$b$ $cm$：
已知长方形面积$S = ab=6$，正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$面积$S_{1}=(a - b)^{2}=1$。
把$ab = 6$，$(a - b)^{2}=1$代入公式$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$中。
则$(a + b)^{2}=1 + 4×6$。
$a + b=\sqrt{25}=5$。
由图可知正方形$ABCD$的边长等于长方形的长与宽之和，即正方形$ABCD$的边长为$5$ $cm$。
所以正方形$ABCD$的边长为$5$ $cm$。
已知长方形面积$S = ab=6$，正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$面积$S_{1}=(a - b)^{2}=1$。
把$ab = 6$，$(a - b)^{2}=1$代入公式$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$中。
则$(a + b)^{2}=1 + 4×6$。
$a + b=\sqrt{25}=5$。
由图可知正方形$ABCD$的边长等于长方形的长与宽之和，即正方形$ABCD$的边长为$5$ $cm$。
所以正方形$ABCD$的边长为$5$ $cm$。
6. 无论 $ x $ 取何实数，下列二次根式都有意义，请写出 $ m $ 的取值范围。
(1)$\sqrt{x^{2} + m}$。
(2)$\sqrt{x^{2} - 8x + m}$。
(1)$\sqrt{x^{2} + m}$。
(2)$\sqrt{x^{2} - 8x + m}$。
答案
$(1)$ 求$\sqrt{x^{2} + m}$中$m$的取值范围
解：
因为二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，对于$\sqrt{x^{2} + m}$，$x^{2}≥0$恒成立。
要使$x^{2}+m≥0$恒成立，因为$x^{2}≥0$，所以当$m≥0$时，$x^{2}+m≥0$恒成立。
$(2)$ 求$\sqrt{x^{2} - 8x + m}$中$m$的取值范围
解：
先对$x^{2}-8x + m$进行配方，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 4$，则$x^{2}-8x + m=(x - 4)^{2}+m - 16$。
因为$(x - 4)^{2}≥0$恒成立，要使$(x - 4)^{2}+m - 16≥0$恒成立，即$(x - 4)^{2}≥16 - m$恒成立。
那么$16 - m≤0$，移项可得$m≥16$。
解：
因为二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，对于$\sqrt{x^{2} + m}$，$x^{2}≥0$恒成立。
要使$x^{2}+m≥0$恒成立，因为$x^{2}≥0$，所以当$m≥0$时，$x^{2}+m≥0$恒成立。
$(2)$ 求$\sqrt{x^{2} - 8x + m}$中$m$的取值范围
解：
先对$x^{2}-8x + m$进行配方，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 4$，则$x^{2}-8x + m=(x - 4)^{2}+m - 16$。
因为$(x - 4)^{2}≥0$恒成立，要使$(x - 4)^{2}+m - 16≥0$恒成立，即$(x - 4)^{2}≥16 - m$恒成立。
那么$16 - m≤0$，移项可得$m≥16$。
7. 已知 $ m $，$ n $ 都是实数，且满足 $ m = \sqrt{n - 9} + \sqrt{9 - n} + 4 $，求$\sqrt{mn}$的值。
答案
解：
要使$\sqrt{n - 9}$与$\sqrt{9 - n}$有意义，则$n - 9≥0$且$9 - n≥0$。
由$n - 9≥0$得$n≥9$，由$9 - n≥0$得$n≤9$，所以$n = 9$。
把$n = 9$代入$m = \sqrt{n - 9}+\sqrt{9 - n}+4$，得$m=\sqrt{9 - 9}+\sqrt{9 - 9}+4 = 4$。
则$mn=9×4 = 36$，所以$\sqrt{mn}=\sqrt{36}=6$。
综上，$\sqrt{mn}$的值为$6$。
要使$\sqrt{n - 9}$与$\sqrt{9 - n}$有意义，则$n - 9≥0$且$9 - n≥0$。
由$n - 9≥0$得$n≥9$，由$9 - n≥0$得$n≤9$，所以$n = 9$。
把$n = 9$代入$m = \sqrt{n - 9}+\sqrt{9 - n}+4$，得$m=\sqrt{9 - 9}+\sqrt{9 - 9}+4 = 4$。
则$mn=9×4 = 36$，所以$\sqrt{mn}=\sqrt{36}=6$。
综上，$\sqrt{mn}$的值为$6$。
8. 已知$\vert 998 - a \vert + \sqrt{a - 999} = a$，求 $ a - 998^{2} $ 的值。
小贴士：思考二次根式隐含着什么条件。
小贴士：思考二次根式隐含着什么条件。
答案
解：
因为二次根式$\sqrt{a - 999}$有意义，则$a - 999≥0$，即$a≥999$。
那么$998 - a＜0$，所以$\vert 998 - a\vert=a - 998$。
已知$\vert 998 - a\vert+\sqrt{a - 999}=a$，可化为$a - 998+\sqrt{a - 999}=a$。
移项可得$\sqrt{a - 999}=998$。
两边同时平方得$a - 999 = 998^{2}$。
移项可得$a - 998^{2}=999$。
所以$a - 998^{2}$的值为$999$。
因为二次根式$\sqrt{a - 999}$有意义，则$a - 999≥0$，即$a≥999$。
那么$998 - a＜0$，所以$\vert 998 - a\vert=a - 998$。
已知$\vert 998 - a\vert+\sqrt{a - 999}=a$，可化为$a - 998+\sqrt{a - 999}=a$。
移项可得$\sqrt{a - 999}=998$。
两边同时平方得$a - 999 = 998^{2}$。
移项可得$a - 998^{2}=999$。
所以$a - 998^{2}$的值为$999$。
