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1. 当 $ x = 2 $ 时，下列各式在实数范围内无意义的是(
A.$\sqrt{x + 2}$
B.$\sqrt{x - 2}$
C.$\sqrt{x^{2} - 2}$
D.$\sqrt{2 - x^{2}}$
D
)。A.$\sqrt{x + 2}$
B.$\sqrt{x - 2}$
C.$\sqrt{x^{2} - 2}$
D.$\sqrt{2 - x^{2}}$
答案
1. D
解析
【解析】
判断二次根式在实数范围内是否有意义，关键看被开方数是否为非负数，若被开方数小于0，则无意义。
选项A：当$x=2$时，$x+2=2+2=4＞0$，$\sqrt{x+2}$有意义；
选项B：当$x=2$时，$x-2=2-2=0$，$\sqrt{x-2}$有意义；
选项C：当$x=2$时，$x^2-2=4-2=2＞0$，$\sqrt{x^2-2}$有意义；
选项D：当$x=2$时，$2-x^2=2-4=-2＜0$，$\sqrt{2-x^2}$在实数范围内无意义。
因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，只需将$x=2$代入各选项的被开方数，判断其是否非负即可，题目难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
判断二次根式在实数范围内是否有意义，关键看被开方数是否为非负数，若被开方数小于0，则无意义。
选项A：当$x=2$时，$x+2=2+2=4＞0$，$\sqrt{x+2}$有意义；
选项B：当$x=2$时，$x-2=2-2=0$，$\sqrt{x-2}$有意义；
选项C：当$x=2$时，$x^2-2=4-2=2＞0$，$\sqrt{x^2-2}$有意义；
选项D：当$x=2$时，$2-x^2=2-4=-2＜0$，$\sqrt{2-x^2}$在实数范围内无意义。
因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，只需将$x=2$代入各选项的被开方数，判断其是否非负即可，题目难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 能使$\sqrt{x^{2} + 3}$无意义的实数 $ x $ 有(
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.无数个
A
)。A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.无数个
答案
2. A
解析
【解析】
要使二次根式无意义，需满足被开方数小于0。
对于$\sqrt{x^{2} + 3}$，由于任何实数的平方均非负，即$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$。无论$x$取何实数，被开方数始终为正数，不存在使$\sqrt{x^{2} + 3}$无意义的实数$x$，即这样的$x$有0个。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，关键是利用平方的非负性分析被开方数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要使二次根式无意义，需满足被开方数小于0。
对于$\sqrt{x^{2} + 3}$，由于任何实数的平方均非负，即$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$。无论$x$取何实数，被开方数始终为正数，不存在使$\sqrt{x^{2} + 3}$无意义的实数$x$，即这样的$x$有0个。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，关键是利用平方的非负性分析被开方数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 已知$\sqrt{18 - 2m}$是正整数，则实数 $ m $ 的最大整数值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.7
D.9
C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.7
D.9
答案
3. C
解析
【解析】
因为$\sqrt{18 - 2m}$是正整数，所以$18 - 2m$是正的完全平方数。
设$\sqrt{18 - 2m}=k$（$k$为正整数），则$18 - 2m=k^2$，整理得$m=\frac{18 - k^2}{2}$。
由于$18 - 2m＞0$，即$k^2＜18$，正整数$k$的可能取值为1、2、3、4。
分别计算对应$m$的值：
当$k=1$时，$m=\frac{18-1}{2}=8.5$，不是整数；
当$k=2$时，$m=\frac{18-4}{2}=7$，是整数；
当$k=3$时，$m=\frac{18-9}{2}=4.5$，不是整数；
当$k=4$时，$m=\frac{18-16}{2}=1$，是整数。
比较整数$m$的取值7和1，最大整数值为7，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、完全平方数、整数求值
【点评】
本题考查二次根式性质与完全平方数的综合应用，解题关键是明确被开方数需为正的完全平方数，进而通过分析求出$m$的最大整数值，需注意$m$为整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
因为$\sqrt{18 - 2m}$是正整数，所以$18 - 2m$是正的完全平方数。
设$\sqrt{18 - 2m}=k$（$k$为正整数），则$18 - 2m=k^2$，整理得$m=\frac{18 - k^2}{2}$。
由于$18 - 2m＞0$，即$k^2＜18$，正整数$k$的可能取值为1、2、3、4。
分别计算对应$m$的值：
当$k=1$时，$m=\frac{18-1}{2}=8.5$，不是整数；
当$k=2$时，$m=\frac{18-4}{2}=7$，是整数；
当$k=3$时，$m=\frac{18-9}{2}=4.5$，不是整数；
当$k=4$时，$m=\frac{18-16}{2}=1$，是整数。
比较整数$m$的取值7和1，最大整数值为7，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、完全平方数、整数求值
【点评】
本题考查二次根式性质与完全平方数的综合应用，解题关键是明确被开方数需为正的完全平方数，进而通过分析求出$m$的最大整数值，需注意$m$为整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
4. 若$\sqrt{\frac{a}{b}}$是二次根式，则 $ a $，$ b $ 应满足的条件是(
A.$ a $，$ b $ 均为非负数
B.$ a $，$ b $ 同号
C.$ a ≥ 0 $，$ b ＞ 0 $
D.$\frac{a}{b} ≥ 0$且 $ b ≠ 0 $
D
)。A.$ a $，$ b $ 均为非负数
B.$ a $，$ b $ 同号
C.$ a ≥ 0 $，$ b ＞ 0 $
D.$\frac{a}{b} ≥ 0$且 $ b ≠ 0 $
答案
4. D
解析
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须是非负数，因此$\frac{a}{b} ≥ 0$；同时由于$\frac{a}{b}$是分式，分式有意义的条件是分母不为0，即$b ≠ 0$。
分析选项：
A选项未考虑$b ≠ 0$，错误；
B选项未包含$a=0$且$b ≠ 0$的情况，错误；
C选项只考虑了$a ≥ 0$，$b ＞ 0$，未考虑$a ≤ 0$，$b ＜ 0$的情况，错误；
D选项满足$\frac{a}{b} ≥ 0$且$b ≠ 0$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，需同时满足被开方数非负和分母不为0，容易忽略分母不能为0或遗漏a、b均为负数的情况，需仔细分析各选项。
【难度系数】
0.7
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须是非负数，因此$\frac{a}{b} ≥ 0$；同时由于$\frac{a}{b}$是分式，分式有意义的条件是分母不为0，即$b ≠ 0$。
分析选项：
A选项未考虑$b ≠ 0$，错误；
B选项未包含$a=0$且$b ≠ 0$的情况，错误；
C选项只考虑了$a ≥ 0$，$b ＞ 0$，未考虑$a ≤ 0$，$b ＜ 0$的情况，错误；
D选项满足$\frac{a}{b} ≥ 0$且$b ≠ 0$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，需同时满足被开方数非负和分母不为0，容易忽略分母不能为0或遗漏a、b均为负数的情况，需仔细分析各选项。
【难度系数】
0.7
5. 当 $ a = - 5 $ 时，$\sqrt{1 - 3a}$的值为
4
。答案
5. 4
解析
【解析】
将 $ a = -5 $ 代入 $ \sqrt{1 - 3a} $ 中：
1. 计算被开方数：$ 1 - 3×(-5) = 1 + 15 = 16 $；
2. 计算二次根式：$ \sqrt{16} = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
二次根式求值、代数式代入计算
【点评】
本题考查代数式代入求值与二次根式的计算，代入负数时需注意符号运算，计算需细心严谨。
【难度系数】
0.9
将 $ a = -5 $ 代入 $ \sqrt{1 - 3a} $ 中：
1. 计算被开方数：$ 1 - 3×(-5) = 1 + 15 = 16 $；
2. 计算二次根式：$ \sqrt{16} = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
二次根式求值、代数式代入计算
【点评】
本题考查代数式代入求值与二次根式的计算，代入负数时需注意符号运算，计算需细心严谨。
【难度系数】
0.9
6. 当 $ a =$
$ - 3 $
时，二次根式$\sqrt{2a + 6}$有最小值，这个最小值为0
。答案
6. $ - 3 $ 0
解析
【解析】
根据二次根式的非负性，$\sqrt{2a + 6} ≥ 0$，当且仅当被开方数$2a + 6 = 0$时，二次根式取得最小值0。
解方程$2a + 6 = 0$，得$a = -3$。
因此当$a = -3$时，二次根式$\sqrt{2a + 6}$有最小值0。
【答案】
$-3$；0
【知识点】
二次根式的非负性
【点评】
本题考查二次根式的非负性，解题关键是明确当被开方数为0时，二次根式取得最小值。
【难度系数】
0.9
根据二次根式的非负性，$\sqrt{2a + 6} ≥ 0$，当且仅当被开方数$2a + 6 = 0$时，二次根式取得最小值0。
解方程$2a + 6 = 0$，得$a = -3$。
因此当$a = -3$时，二次根式$\sqrt{2a + 6}$有最小值0。
【答案】
$-3$；0
【知识点】
二次根式的非负性
【点评】
本题考查二次根式的非负性，解题关键是明确当被开方数为0时，二次根式取得最小值。
【难度系数】
0.9
7. 已知$\sqrt{a + 2} + \sqrt{b - 3} = 0$，则代数式 $ 3a - 2b $ 的值为
$ - 12 $
。答案
7. $ - 12 $
解析
【解析】
因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a + 2} ≥ 0$，$\sqrt{b - 3} ≥ 0$，且$\sqrt{a + 2} + \sqrt{b - 3} = 0$，所以：
$\sqrt{a + 2} = 0$，$\sqrt{b - 3} = 0$，
即$a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = -2$，$b = 3$。
将$a = -2$，$b = 3$代入$3a - 2b$得：
$3×(-2) - 2×3 = -6 - 6 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
算术平方根的非负性，代数式求值
【点评】
本题主要考查算术平方根的非负性及代数式求值，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出字母的值是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a + 2} ≥ 0$，$\sqrt{b - 3} ≥ 0$，且$\sqrt{a + 2} + \sqrt{b - 3} = 0$，所以：
$\sqrt{a + 2} = 0$，$\sqrt{b - 3} = 0$，
即$a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = -2$，$b = 3$。
将$a = -2$，$b = 3$代入$3a - 2b$得：
$3×(-2) - 2×3 = -6 - 6 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
算术平方根的非负性，代数式求值
【点评】
本题主要考查算术平方根的非负性及代数式求值，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出字母的值是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 求下列二次根式中 $ x $ 的取值范围：
(1)$\sqrt{3 - 2x}$。
(2)$\sqrt{\frac{2}{1 + x}}$。
(3)$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$。
(4)$\frac{\sqrt{3x - 1}}{1 - x}$。
(1)$\sqrt{3 - 2x}$。
(2)$\sqrt{\frac{2}{1 + x}}$。
(3)$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$。
(4)$\frac{\sqrt{3x - 1}}{1 - x}$。
答案
$(1)$解：
根据二次根式的性质，被开方数须大于等于$0$，即$3 - 2x≥0$。
移项可得$-2x≥ - 3$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤\frac{3}{2}$。
$(2)$解：
因为二次根式中被开方数须大于等于$0$，且分母不能为$0$，所以$\frac{2}{1 + x}＞0$（因为分子$2＞0$，所以只要分母$1 + x＞0$）。
解得$x＞-1$。
$(3)$解：
先对$x^{2}+4x + 4$进行因式分解，$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$。
因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$(x + 2)^{2}≥0$恒成立，所以$x$的取值范围是全体实数。
$(4)$解：
根据二次根式性质，被开方数$3x - 1≥0$，解得$x≥\frac{1}{3}$；
又因为分母不能为$0$，所以$1 - x≠0$，即$x≠1$。
综合可得$x≥\frac{1}{3}$且$x≠1$。
根据二次根式的性质，被开方数须大于等于$0$，即$3 - 2x≥0$。
移项可得$-2x≥ - 3$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤\frac{3}{2}$。
$(2)$解：
因为二次根式中被开方数须大于等于$0$，且分母不能为$0$，所以$\frac{2}{1 + x}＞0$（因为分子$2＞0$，所以只要分母$1 + x＞0$）。
解得$x＞-1$。
$(3)$解：
先对$x^{2}+4x + 4$进行因式分解，$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$。
因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$(x + 2)^{2}≥0$恒成立，所以$x$的取值范围是全体实数。
$(4)$解：
根据二次根式性质，被开方数$3x - 1≥0$，解得$x≥\frac{1}{3}$；
又因为分母不能为$0$，所以$1 - x≠0$，即$x≠1$。
综合可得$x≥\frac{1}{3}$且$x≠1$。
9. $ A $，$ B $ 两船同时从同地出发，$ A $ 船以 $ x $ $ km/h $ 的速度朝正北方向航行，$ B $ 船以 $ 5 $ $ km/h $ 的速度朝正西方向航行，航行时间为 $ 2 $ $ h $。
(1)用关于 $ x $ 的代数式表示 $ A $，$ B $ 两船的距离 $ d $。
(2)当 $ x = 12 $ 时，$ A $，$ B $ 两船相距多少千米？
(1)用关于 $ x $ 的代数式表示 $ A $，$ B $ 两船的距离 $ d $。
(2)当 $ x = 12 $ 时，$ A $，$ B $ 两船相距多少千米？
答案
（1）
解：根据路程公式$s = vt$（$s$表示路程，$v$表示速度，$t$表示时间）。
$A$船航行的路程$s_{A}=x×2 = 2x$（$km$），$B$船航行的路程$s_{B}=5×2 = 10$（$km$）。
因为$A$船朝正北方向航行，$B$船朝正西方向航行，所以$A$、$B$两船的行驶路线夹角为$90°$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方），这里$d$为斜边，$s_{A}$与$s_{B}$为两直角边。
则$d=\sqrt{(2x)^{2}+10^{2}}=\sqrt{4x^{2}+100}$（$km$）。
（2）
解：当$x = 12$时，把$x = 12$代入$d=\sqrt{4x^{2}+100}$中。
先计算$4x^{2}+100$的值：
当$x = 12$时，$4x^{2}+100=4×12^{2}+100$。
根据运算顺序，先算乘方$12^{2}=144$，再算乘法$4×144 = 576$，最后算加法$576 + 100=676$。
再计算$d$的值：
因为$d=\sqrt{4x^{2}+100}$，此时$4x^{2}+100 = 676$，所以$d=\sqrt{676}$。
又因为$26^{2}=676$，所以$d = 26$（$km$）。
解：根据路程公式$s = vt$（$s$表示路程，$v$表示速度，$t$表示时间）。
$A$船航行的路程$s_{A}=x×2 = 2x$（$km$），$B$船航行的路程$s_{B}=5×2 = 10$（$km$）。
因为$A$船朝正北方向航行，$B$船朝正西方向航行，所以$A$、$B$两船的行驶路线夹角为$90°$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方），这里$d$为斜边，$s_{A}$与$s_{B}$为两直角边。
则$d=\sqrt{(2x)^{2}+10^{2}}=\sqrt{4x^{2}+100}$（$km$）。
（2）
解：当$x = 12$时，把$x = 12$代入$d=\sqrt{4x^{2}+100}$中。
先计算$4x^{2}+100$的值：
当$x = 12$时，$4x^{2}+100=4×12^{2}+100$。
根据运算顺序，先算乘方$12^{2}=144$，再算乘法$4×144 = 576$，最后算加法$576 + 100=676$。
再计算$d$的值：
因为$d=\sqrt{4x^{2}+100}$，此时$4x^{2}+100 = 676$，所以$d=\sqrt{676}$。
又因为$26^{2}=676$，所以$d = 26$（$km$）。
