一、选择题
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，PA=5，则线段PB的长为().

A.6
B.5
C.4
D.3

B

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的相关性质，先明确题目给出的条件：直线CD是AB的垂直平分线，点P在CD上，根据线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等这一性质，可直接得到PA和PB的长度相等，结合已知PA的长度就能求出PB的长度。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，且点P在直线CD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴PB = PA，
又
∵PA = 5，
∴PB = 5，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考察线段垂直平分线性质的运用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无需复杂推导计算。
【难度系数】
0.9

2. 如图，$AC=AD$，$BC=BD$，则有().

A.AB 垂直平分CD
B.CD 垂直平分AB
C.AB 与CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$

A

【分析】
我们从已知条件$AC=AD$、$BC=BD$入手思考，回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先分别判断点A、点B和线段CD的位置关系，再结合“两点确定一条直线”的公理，就能得出AB和CD的位置关系，进而选出正确选项。注意题目没有给出$AC=BC$、$AD=BD$这类条件，因此不能得出CD垂直平分AB的结论。
【解析】
解：
1. 已知$AC=AD$，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点A在线段CD的垂直平分线上；
2. 已知$BC=BD$，同理可得点B也在线段CD的垂直平分线上；
3. 因为两点确定一条直线，因此直线AB就是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
题目未给出$AC=BC$、$AD=BD$等条件，无法证明CD垂直平分AB，也无法证明CD平分$∠ ACB$，因此B、C、D选项均不成立。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题时要严格依据题目给出的条件推导，不能擅自添加未给出的条件判断CD与AB的关系。
【难度系数】
0.8

3. 点P在锐角三角形ABC内，且满足$PA=PB=PC$，则点P是$△ ABC$（）.

A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点

D

【分析】
解题时先抓住题干核心条件：点P到△ABC三个顶点的距离相等（PA=PB=PC），结合所学的线段垂直平分线判定定理分析：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上，由此可推导P的位置；再逐一辨析各选项对应交点的性质，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1. 因为PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上；
2. 因为PB=PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上；
3. 因为PA=PC，所以点P在线段AC的垂直平分线上。
因此点P是△ABC三边垂直平分线的交点。
再辨析其余选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合到三个顶点距离相等的条件，排除；
B选项：三条中线的交点是三角形重心，性质是分每条中线为2:1的两段，无到三个顶点距离相等的性质，排除；
C选项：三条高的交点是三角形垂心，无到三个顶点距离相等的性质，排除。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对线段垂直平分线判定定理的理解，以及对三角形不同特殊交点性质的区分，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

二、填空题
4. 如图，$△ ABC$ 的边 $BC$ 的垂直平分线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $D$，若 $△ ADB$ 的周长是 $10\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，则 $AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

$\boldsymbol{6}$

【分析】
解题时首先抓住题干中的关键条件“BC的垂直平分线MN”，根据线段垂直平分线的性质，可得到BD=CD；再结合△ADB的周长条件，将周长中的BD替换为CD，此时△ADB的周长可转化为AC+AB的和，最后代入已知的AB长度和周长数值，即可求出AC的长度。
【解析】
∵MN是线段BC的垂直平分线，且点D在MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$DB = DC$。
已知△ADB的周长是$10\ \mathrm{cm}$，即：
$AD + DB + AB = 10\ \mathrm{cm}$，
将$DB=DC$代入上式，得：
$AD + DC + AB = 10\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AD + DC = AC$，
∴$AC + AB = 10\ \mathrm{cm}$，
代入$AB=4\ \mathrm{cm}$，得：
$AC = 10 - 4 = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知边与已知条件建立直接联系，解题过程中用到的转化思想是几何题中常用的思想方法。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$为边$BC$上一点,且$BC=BD+AD$,则点$D$在线段的垂直平分线上.

$\boldsymbol{AC}$

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此我们需要推出点D到某条线段两个端点的距离相等。首先观察已知条件$BC=BD+AD$，结合点D在BC上，可得$BC=BD+DC$，将两个等式联立即可推出$AD=DC$，再结合判定定理就能得到结论。
【解析】
∵ 点D为边BC上一点，
∴ $BC=BD+DC$，
又
∵ $BC=BD+AD$，
∴ $BD+DC=BD+AD$，
等式两边同时减去BD，可得：$AD=DC$，
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
$AC$
【知识点】
线段的和差；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础题，解题核心是通过线段的和差关系推导出$AD=DC$，再结合线段垂直平分线的判定定理即可得出答案，熟练掌握相关定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，边 $AC$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，$AE = 3\ \mathrm{cm}$，$△ ABD$ 的周长为$13\ \mathrm{cm}$，那么$△ ABC$ 的周长为 $\mathrm{cm}.$

$\boldsymbol{19}$

【分析】
解题时首先观察题干给出的垂直平分线条件，联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分对应线段。第一步先利用垂直平分线得出AC的长度，第二步将△ABD周长中的AD通过等量代换换成CD，从而得到AB与BC的长度和，最后将AB+BC的和与AC长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵DE是线段AC的垂直平分线
∴AD=CD，AC=2AE
已知AE=3cm，
∴AC=2×3=6cm
∵△ABD的周长为13cm
∴AB+BD+AD=13cm
将AD替换为CD，可得：
AB+BD+CD=13cm
又
∵BD+CD=BC
∴AB+BC=13cm
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm
【答案】
$\boldsymbol{19}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过等量代换将未知线段关系转化为已知的周长条件，无需复杂计算，掌握线段垂直平分线的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8