三、解答题
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(5，5)，(5，2)，是否存在点E，使△ACE和△ACB全等？若存在，请在图中描出所有满足条件的点，并直接写出这些点的坐标。

7. 如图,满足条件的点E有3个,分别在点$E_1$,$E_2$,$E_3$处,坐标分别为(1,5),(1,-1),(5,-1)

【分析】
解题时首先分析已知△ACB的形状和边长：先根据点A、C的坐标确定AC是水平线段，长度为4，再结合点B的坐标可知△ACB是直角三角形，直角在点C，直角边BC长为3。由于△ACE和△ACB有公共边AC，因此分两种情况讨论全等的对应关系：一种是直角顶点在A点，AE长度等于BC且垂直AC；另一种是直角顶点在C点，CE长度等于BC且垂直AC，再分别讨论E点在AC上方和下方的位置，排除和点B重合的情况，即可得到所有符合条件的E点坐标。
【解析】
解：由点A(1,2)、C(5,2)可得：AC平行于x轴，$AC=5-1=4$，
由点C(5,2)、B(5,5)可得：BC平行于y轴，$BC=5-2=3$，$∠ ACB=90°$，即△ACB是直角三角形。
要使△ACE和△ACB全等，AC为公共边，分情况讨论：
1. 当$∠ CAE=90°$，$AE=BC=3$时：
若E在AC上方：E的横坐标与A相同为1，纵坐标为$2+3=5$，即$E_1(1,5)$，满足$△ E_1AC ≌ △ BCA$（SAS）；
若E在AC下方：E的横坐标与A相同为1，纵坐标为$2-3=-1$，即$E_2(1,-1)$，满足$△ E_2AC ≌ △ BCA$（SAS）；
2. 当$∠ ACE=90°$，$CE=BC=3$时：
E在AC上方时为点B，是同一个三角形，排除；
若E在AC下方：E的横坐标与C相同为5，纵坐标为$2-3=-1$，即$E_3(5,-1)$，满足$△ E_3CA ≌ △ BCA$（SAS）。
综上，共3个符合条件的点E。
【答案】
如图,满足条件的点E有3个,分别在点$E_1$,$E_2$,$E_3$处,坐标分别为(1,5),(1,-1),(5,-1)
【知识点】
全等三角形的判定；平面直角坐标系点的坐标；分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形的判定及平面直角坐标系中点的坐标求解，解题的关键是结合公共边AC分情况讨论全等的对应关系，注意不要漏解，是平面直角坐标系和全等三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6

8. 在$3×3$的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的三角形是一个格点三角形。请你在下面图中画出4种与$△ ABC$成轴对称的格点三角形。

解：
根据轴对称的性质，分别选取不同对称轴，作出△ABC各顶点的对称格点，顺次连接即可得到4种符合要求的格点三角形：
(1) 图(1)：以AC所在的竖直直线为对称轴，作出点B的对称格点（点C右侧相邻的底边格点），连接该点与点A、C，得到第一个与△ABC成轴对称的格点三角形；
(2) 图(2)：以3×3网格的竖直中线（横向第2、3列格点之间的竖直直线）为对称轴，分别作出A、B、C三点的对称格点，顺次连接三个点，得到第二个符合要求的格点三角形；
(3) 图(3)：以3×3网格的水平中线（纵向第2、3行格点之间的水平直线）为对称轴，分别作出A、B、C三点的对称格点，顺次连接三个点，得到第三个符合要求的格点三角形；
(4) 图(4)：以过点B、网格中心、右上角格点的对角线为对称轴，分别作出A、C两点的对称格点，顺次连接点B与两个对称点，得到第四个符合要求的格点三角形。
（注：上述4种画法均为符合要求的示例，其余合法的不同对称轴对应的格点三角形也可作为正确结果）

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角完全相等。解题思路可分为三步：第一步，在3×3网格中选取不同的直线作为对称轴，注意所选对称轴要保证△ABC三个顶点的对称点都落在格点上；第二步，对每个选定的对称轴，分别找到点A、B、C对应的对称格点；第三步，顺次连接三个对称格点即可得到符合要求的三角形，选择4种不同的对称轴就能得到4种符合要求的图形。
【解析】
我们可以通过选择不同的对称轴完成作图，具体画法示例如下：
1. 对应图(1)：选取AC所在的竖直直线为对称轴，找到点B关于这条直线的对称格点（即点C右侧相邻的底边格点），将该对称点与点A、点C顺次连接，得到第一个符合要求的格点三角形。
2. 对应图(2)：选取3×3网格的竖直中线（横向第2、3列格点之间的竖直直线）为对称轴，分别作出点A、B、C三点关于该对称轴的对称格点，顺次连接这三个对称格点，得到第二个符合要求的格点三角形。
3. 对应图(3)：选取3×3网格的水平中线（纵向第2、3行格点之间的水平直线）为对称轴，分别作出点A、B、C三点关于该对称轴的对称格点，顺次连接这三个对称格点，得到第三个符合要求的格点三角形。
4. 对应图(4)：选取过点B、网格中心、右上角格点的对角线为对称轴，分别作出点A、点C关于该对称轴的对称格点，将这两个对称格点与点B顺次连接，得到第四个符合要求的格点三角形。
注：也可选择其他符合要求的对称轴作图，只要得到的三角形是格点三角形且与△ABC成轴对称均正确。
【答案】
画法不唯一，示例如下：
(1) 以AC所在竖直线为对称轴作对称三角形；
(2) 以网格竖直中线为对称轴作对称三角形；
(3) 以网格水平中线为对称轴作对称三角形；
(4) 以过点B和网格右上角格点的对角线为对称轴作对称三角形。
【知识点】
轴对称的性质，格点作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称性质的灵活运用和动手操作能力，作图时要注意对称轴的选择需保证对称后的顶点均为格点，只要符合轴对称性质和格点要求的答案均正确。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3)$.
(1) 画出 $△ A'B'C'$，使 $△ A'B'C'$ 与 $△ ABC$ 关于 $y$ 轴对称；
(2) 在 $x$ 轴上作一点 $P$，使得 $PA+PC$ 最短，并写出作法；
(3) 将 $△ ABC$ 向右平移 $m$ 个单位长度，再向上平移 $n$ 个单位长度.若点 $A$ 落在第二象限内，且点 $C$ 落在第四象限内，则 $m$ 的取值范围是 ，$n$ 的取值范围是 .

9. (1) 略 (2) 图略.作法: 作点A关于x轴的对称点A'',连接CA''交x轴于点P,点P即为所求 (3) 1＜m＜4 1＜n＜3

【分析】
(1) 关于y轴对称的点满足纵坐标不变、横坐标互为相反数，因此先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点连线即可画出△A'B'C'。
(2) 这是“两点一线”型最短路径问题，利用轴对称将线段PA转化为等长的线段，结合两点之间线段最短的原理，即可确定点P的位置。
(3) 平移时点的坐标变化规律为“右加左减，上加下减”，先写出平移后A、C的坐标，再结合第二象限（横坐标负、纵坐标正）、第四象限（横坐标正、纵坐标负）的坐标符号特征列不等式组，求解即可得到m、n的取值范围。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得A(-4,-1)的对称点为A'(4,-1)，B(-5,-4)的对称点为B'(5,-4)，C(-1,-3)的对称点为C'(1,-3)，在坐标系中描出三点后顺次连接，即可得到△A'B'C'。
(2) 原理：两点之间线段最短。作点A关于x轴的对称点A''，此时PA=PA''，则PA+PC=PA''+PC，当A''、P、C三点共线时，PA''+PC的长度最短，因此连接CA''，它与x轴的交点即为所求的点P。
(3) 平移后点A的坐标为$(-4+m, -1+n)$，点C的坐标为$(-1+m, -3+n)$。
由点A在第二象限得：$\begin{cases}-4+m ＜ 0 \\ -1+n ＞ 0\end{cases}$
由点C在第四象限得：$\begin{cases}-1+m ＞ 0 \\ -3+n ＜ 0\end{cases}$
解m的不等式组得$1 ＜ m ＜ 4$，解n的不等式组得$1 ＜ n ＜ 3$。
【答案】
(1) 略
(2) 图略。作法: 作点A关于x轴的对称点A'',连接CA''交x轴于点P,点P即为所求
(3) $1＜m＜4$；$1＜n＜3$
【知识点】
轴对称的坐标性质；最短路径设计；坐标平移规律
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换与最短路径问题，结合象限坐标特征考查知识的灵活应用能力，解题的关键是熟练掌握坐标变换的相关规则。
【难度系数】
0.7