三、解答题
7. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F，且$DE=DF$，连接AD，EF。求证：AD垂直平分EF。

证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL）。
∴ $AE = AF$。
∴ 点$A$在$EF$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又∵ $DE = DF$，
∴ 点$D$也在$EF$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AD$垂直平分$EF$。

【分析】
要证明AD垂直平分EF，核心思路是利用线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，且两点确定一条直线。首先已知DE=DF，可直接得出点D在EF的垂直平分线上；接下来只需证明AE=AF，即可得出点A也在EF的垂直平分线上。观察图形可知AE、AF分别属于Rt△AED和Rt△AFD，两个三角形有公共斜边AD，且直角边DE=DF，可通过HL定理证明两三角形全等，从而得到AE=AF，最后结合两点确定一条直线即可推出结论。
【解析】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL）。
∴ $AE = AF$。
∴ 点$A$在$EF$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵ $DE = DF$，
∴ 点$D$也在$EF$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AD$垂直平分$EF$。
【答案】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL）。
∴ $AE = AF$。
∴ 点$A$在$EF$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵ $DE = DF$，
∴ 点$D$也在$EF$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AD$垂直平分$EF$。
【知识点】
直角三角形全等判定，线段垂直平分线判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确证明一条直线垂直平分线段的常用思路：证明直线上两个不同的点均满足到线段两端点距离相等，再结合两点确定一条直线推导结论，需要熟练掌握全等三角形的证明方法和线段垂直平分线的判定定理。
【难度系数】
0.75

8. 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD，AC和BD交于点E. 小云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且BE=ED，你同意小云同学的判断吗？请说明理由.

解：同意小云同学的判断，理由如下：
∵ AB=AD，
∴ 点A在BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∵ CB=CD，
∴ 点C在BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AC⊥BD，且BE=ED。

【分析】
要判断AC与BD是否垂直、BE是否等于ED，本质是判断AC是否为BD的垂直平分线。结合已知条件AB=AD、CB=CD，可联想到线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，先确定点A、点C都在BD的垂直平分线上；再根据“两点确定一条直线”，即可推出AC是BD的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质就能得到对应结论。
【解析】
同意小云同学的判断，理由如下：
∵ AB=AD，
∴ 点A在BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∵ CB=CD，
∴ 点C在BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AC⊥BD，且BE=ED。
【答案】
同意小云同学的判断，AC⊥BD，且BE=ED。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 线段垂直平分线的性质
3. 两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识的基础应用，解题关键是利用垂直平分线的判定定理确定AC为BD的垂直平分线，能有效巩固对垂直平分线判定、性质的理解与运用。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在△ABC中,ED,NM分别垂直平分AB,AC,垂足为点D,M,ED交BC于点E,NM交BC于点N,且BC=13 cm.求△AEN的周长.

解：
∵ ED垂直平分AB，点E在ED上，
∴ EA = EB。
∵ NM垂直平分AC，点N在NM上，
∴ NA = NC。
∴ △AEN的周长 = AE + EN + AN
= BE + EN + NC
= BC。
∵ BC = 13 cm，
∴ △AEN的周长为13 cm。

【分析】
要计算△AEN的周长，首先明确其周长为AE+EN+AN。观察题设条件，出现了线段垂直平分线，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可得EA=EB、NA=NC，再将△AEN周长中的AE、AN进行等量替换，就能把周长转化为BC的长度，代入已知的BC数值即可求出结果。
【解析】
∵ ED垂直平分AB，点E在ED上，
∴ EA = EB。
∵ NM垂直平分AC，点N在NM上，
∴ NA = NC。
∴ △AEN的周长 = AE + EN + AN
= BE + EN + NC
= BC。
∵ BC = 13 cm，
∴ △AEN的周长为13 cm。
【答案】
13 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的突破口是利用性质将未知的三角形周长转化为已知的线段BC的长度，同学们需要熟练掌握线段垂直平分线的性质，学会观察线段间的和差关系完成等量转换。
【难度系数】
0.8