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1. 二次函数$y=-4x^2$的图象可能是（
A
）答案
1. A
解析
【分析】
解题时先明确二次函数$y=ax^2$的基本性质：图象是抛物线，顶点为原点，对称轴为y轴，开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。第一步先排除不是抛物线、或对称轴不符合的选项，第二步根据$a$的符号判断开口方向，筛选出正确选项。
【解析】
1. 首先判断函数类型：$y=-4x^2$是二次函数$y=ax^2$的形式，它的图象是抛物线，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
2. 分析开口方向：式中$a=-4＜0$，因此抛物线开口向下。
3. 逐一筛选选项：
选项B的图象是两条射线，属于绝对值函数的图象，不是抛物线，排除；
选项C的抛物线对称轴为x轴，不符合$y=ax^2$对称轴为y轴的特征，排除；
选项D的抛物线开口向上，对应$a＞0$的情况，与$a=-4＜0$不符，排除；
选项A是开口向下、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，符合$y=-4x^2$的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数图象识别
【点评】
本题考查二次函数基础图象的识别，属于基础题型，掌握$y=ax^2$的图象形状、对称轴、开口方向与$a$的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确二次函数$y=ax^2$的基本性质：图象是抛物线，顶点为原点，对称轴为y轴，开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。第一步先排除不是抛物线、或对称轴不符合的选项，第二步根据$a$的符号判断开口方向，筛选出正确选项。
【解析】
1. 首先判断函数类型：$y=-4x^2$是二次函数$y=ax^2$的形式，它的图象是抛物线，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
2. 分析开口方向：式中$a=-4＜0$，因此抛物线开口向下。
3. 逐一筛选选项：
选项B的图象是两条射线，属于绝对值函数的图象，不是抛物线，排除；
选项C的抛物线对称轴为x轴，不符合$y=ax^2$对称轴为y轴的特征，排除；
选项D的抛物线开口向上，对应$a＞0$的情况，与$a=-4＜0$不符，排除；
选项A是开口向下、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，符合$y=-4x^2$的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数图象识别
【点评】
本题考查二次函数基础图象的识别，属于基础题型，掌握$y=ax^2$的图象形状、对称轴、开口方向与$a$的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数 $ y_1 = a_1x^2 $，$ y_2 = a_2x^2 $，$ y_3 = a_3x^2 $，$ y_4 = a_4x^2 $ 的图象如图所示，则 $ a_1, a_2, a_3, a_4 $ 的大小关系是（
A.$ a_3 ＜ a_4 ＜ a_1 ＜ a_2 $
B.$ a_4 ＜ a_3 ＜ a_1 ＜ a_2 $
C.$ a_4 ＜ a_3 ＜ a_2 ＜ a_1 $
D.$ a_3 ＜ a_4 ＜ a_2 ＜ a_1 $
C
）A.$ a_3 ＜ a_4 ＜ a_1 ＜ a_2 $
B.$ a_4 ＜ a_3 ＜ a_1 ＜ a_2 $
C.$ a_4 ＜ a_3 ＜ a_2 ＜ a_1 $
D.$ a_3 ＜ a_4 ＜ a_2 ＜ a_1 $
答案
2. C
解析
【分析】
要比较四个$a$的大小，可结合二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：首先根据开口方向判断$a$的正负，开口向上的$a$为正，开口向下的$a$为负，正数大于负数；再根据开口宽窄判断$|a|$的大小，$|a|$越大开口越窄，进而结合正负比较$a$的具体大小，也可以取特殊值$x=1$，此时四个函数的函数值恰好等于对应的$a$值，直接比较$x=1$时的$y$值大小即可得到$a$的大小关系。
【解析】
1. 先判断$a$的符号：
抛物线$y_1=a_1x^2$、$y_2=a_2x^2$开口向上，因此$a_1＞0$，$a_2＞0$；
抛物线$y_3=a_3x^2$、$y_4=a_4x^2$开口向下，因此$a_3＜0$，$a_4＜0$；
可得$a_1、a_2$均大于$a_3、a_4$。
2. 再比较同号$a$的大小：
对于开口向上的抛物线，开口越窄$|a|$越大，由图可知$y_1$开口比$y_2$更窄，因此$|a_1|＞|a_2|$，即$a_1＞a_2＞0$；
对于开口向下的抛物线，开口越窄$|a|$越大，由图可知$y_4$开口比$y_3$更窄，因此$|a_4|＞|a_3|$，因为两数为负，绝对值越大数值越小，即$a_4＜a_3＜0$。
3. 综合可得大小关系为：$a_4 ＜ a_3 ＜ a_2 ＜ a_1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察参数$a$对二次函数$y=ax^2$图象的影响，记住“$a$正开口向上，$a$负开口向下，$|a|$越大开口越窄”的规律即可快速解题，也可通过取特殊值的方法简化推导过程，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
要比较四个$a$的大小，可结合二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：首先根据开口方向判断$a$的正负，开口向上的$a$为正，开口向下的$a$为负，正数大于负数；再根据开口宽窄判断$|a|$的大小，$|a|$越大开口越窄，进而结合正负比较$a$的具体大小，也可以取特殊值$x=1$，此时四个函数的函数值恰好等于对应的$a$值，直接比较$x=1$时的$y$值大小即可得到$a$的大小关系。
【解析】
1. 先判断$a$的符号：
抛物线$y_1=a_1x^2$、$y_2=a_2x^2$开口向上，因此$a_1＞0$，$a_2＞0$；
抛物线$y_3=a_3x^2$、$y_4=a_4x^2$开口向下，因此$a_3＜0$，$a_4＜0$；
可得$a_1、a_2$均大于$a_3、a_4$。
2. 再比较同号$a$的大小：
对于开口向上的抛物线，开口越窄$|a|$越大，由图可知$y_1$开口比$y_2$更窄，因此$|a_1|＞|a_2|$，即$a_1＞a_2＞0$；
对于开口向下的抛物线，开口越窄$|a|$越大，由图可知$y_4$开口比$y_3$更窄，因此$|a_4|＞|a_3|$，因为两数为负，绝对值越大数值越小，即$a_4＜a_3＜0$。
3. 综合可得大小关系为：$a_4 ＜ a_3 ＜ a_2 ＜ a_1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察参数$a$对二次函数$y=ax^2$图象的影响，记住“$a$正开口向上，$a$负开口向下，$|a|$越大开口越窄”的规律即可快速解题，也可通过取特殊值的方法简化推导过程，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线 $ y = ax^2 $ 和抛物线 $ y = -ax^2 $ 在同一平面直角坐标系中，则下列结论正确的是 （
A.顶点相同
B.对称轴互相垂直
C.开口方向一致
D.都有最低点
A
）A.顶点相同
B.对称轴互相垂直
C.开口方向一致
D.都有最低点
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、最值特征，再分别对比$y=ax^2$和$y=-ax^2$的各项性质，逐一验证选项正误即可。
【解析】
我们结合二次函数$y=ax^2$的性质逐一分析选项：
1. 顶点坐标：$y=ax^2$和$y=-ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，故顶点相同，A选项正确；
2. 对称轴：两个抛物线的对称轴都是直线$x=0$（即y轴），二者重合而非互相垂直，B选项错误；
3. 开口方向：二次项系数的符号决定开口方向，$a$和$-a$符号相反，因此两个抛物线开口方向相反，C选项错误；
4. 最值特征：开口向上的抛物线有最低点，开口向下的抛物线有最高点，两个抛物线开口方向相反，因此一个有最低点、一个有最高点，并非都有最低点，D选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题关键是明确二次项系数$a$对开口方向、最值的影响，牢记$y=ax^2$的顶点和对称轴的固定特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、最值特征，再分别对比$y=ax^2$和$y=-ax^2$的各项性质，逐一验证选项正误即可。
【解析】
我们结合二次函数$y=ax^2$的性质逐一分析选项：
1. 顶点坐标：$y=ax^2$和$y=-ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，故顶点相同，A选项正确；
2. 对称轴：两个抛物线的对称轴都是直线$x=0$（即y轴），二者重合而非互相垂直，B选项错误；
3. 开口方向：二次项系数的符号决定开口方向，$a$和$-a$符号相反，因此两个抛物线开口方向相反，C选项错误；
4. 最值特征：开口向上的抛物线有最低点，开口向下的抛物线有最高点，两个抛物线开口方向相反，因此一个有最低点、一个有最高点，并非都有最低点，D选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题关键是明确二次项系数$a$对开口方向、最值的影响，牢记$y=ax^2$的顶点和对称轴的固定特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 给出下列四个函数：①$y=-x$；②$y=x$；③$y=-2x^2$；④$y=x^2$。当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小的函数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先明确题目要求：筛选出x＜0时y随x增大而减小的函数。我们可以将4个函数分为一次函数（正比例函数）和二次函数两类分别判断：①先回忆一次函数y=kx的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，且该规律在全体实数范围内都成立，可直接判断①②；②再回忆二次函数y=ax²的增减性规律：其对称轴为y轴（x=0），a＞0时开口向上，x＜0时y随x增大而减小，x＞0时y随x增大而增大；a＜0时开口向下，x＜0时y随x增大而增大，x＞0时y随x增大而减小，据此判断③④即可。
【解析】
我们逐个分析4个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$，属于正比例函数，$k=-1＜0$，y随x的增大而减小，在全体实数范围内均成立，因此x＜0时满足要求；
2. 对于②$y=x$，属于正比例函数，$k=1＞0$，y随x的增大而增大，因此x＜0时不满足要求；
3. 对于③$y=-2x^2$，属于二次函数，$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，因此不满足要求；
4. 对于④$y=x^2$，属于二次函数，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为x=0，当x＜0时，y随x的增大而减小，因此满足要求。
综上，满足要求的函数有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数y=ax²的增减性
【点评】
本题核心考察不同类型函数的增减性判断，解题关键是牢记一次函数和二次函数的增减性规律，尤其注意二次函数的增减性要结合开口方向和对称轴对应的区间判断，避免混淆增减趋势。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目要求：筛选出x＜0时y随x增大而减小的函数。我们可以将4个函数分为一次函数（正比例函数）和二次函数两类分别判断：①先回忆一次函数y=kx的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，且该规律在全体实数范围内都成立，可直接判断①②；②再回忆二次函数y=ax²的增减性规律：其对称轴为y轴（x=0），a＞0时开口向上，x＜0时y随x增大而减小，x＞0时y随x增大而增大；a＜0时开口向下，x＜0时y随x增大而增大，x＞0时y随x增大而减小，据此判断③④即可。
【解析】
我们逐个分析4个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$，属于正比例函数，$k=-1＜0$，y随x的增大而减小，在全体实数范围内均成立，因此x＜0时满足要求；
2. 对于②$y=x$，属于正比例函数，$k=1＞0$，y随x的增大而增大，因此x＜0时不满足要求；
3. 对于③$y=-2x^2$，属于二次函数，$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，因此不满足要求；
4. 对于④$y=x^2$，属于二次函数，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为x=0，当x＜0时，y随x的增大而减小，因此满足要求。
综上，满足要求的函数有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数y=ax²的增减性
【点评】
本题核心考察不同类型函数的增减性判断，解题关键是牢记一次函数和二次函数的增减性规律，尤其注意二次函数的增减性要结合开口方向和对称轴对应的区间判断，避免混淆增减趋势。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象如图所示，线段$AB // x$轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为
4
。答案
5. 4
解析
【分析】
解题思路：首先明确二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，线段$AB// x$轴说明A、B两点纵坐标相等，因此两点关于y轴对称，利用对称关系即可得到B点的横坐标，再计算两点横坐标的差的绝对值即可得到AB的长度；也可以先求出A点坐标，再通过解方程得到B点坐标后计算线段长度。
步骤1：先确定二次函数的对称轴为y轴；
步骤2：根据$AB// x$轴，得出A、B关于y轴对称，得到B点横坐标；
步骤3：计算AB的长度。
【解析】
方法1：利用对称性求解
∵ 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），且线段$AB// x$轴，
∴ A、B两点关于y轴对称，两点横坐标互为相反数。
∵ 点A的横坐标为2，
∴ 点B的横坐标为$-2$，
∴ $AB=2 - (-2)=4$。
方法2：求点坐标计算
把$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得$y=\frac{1}{2}× 2^2=2$，
∴ 点A坐标为$(2,2)$，
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标也为2，
令$\frac{1}{2}x^2=2$，解得$x=\pm 2$，
∴ 点B坐标为$(-2,2)$，
∴ $AB=\vert 2 - (-2)\vert=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数y=ax²的对称性；平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题时既可以通过对称性快速得到结果，也可以通过求点坐标的常规方法计算，难度较低，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，线段$AB// x$轴说明A、B两点纵坐标相等，因此两点关于y轴对称，利用对称关系即可得到B点的横坐标，再计算两点横坐标的差的绝对值即可得到AB的长度；也可以先求出A点坐标，再通过解方程得到B点坐标后计算线段长度。
步骤1：先确定二次函数的对称轴为y轴；
步骤2：根据$AB// x$轴，得出A、B关于y轴对称，得到B点横坐标；
步骤3：计算AB的长度。
【解析】
方法1：利用对称性求解
∵ 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），且线段$AB// x$轴，
∴ A、B两点关于y轴对称，两点横坐标互为相反数。
∵ 点A的横坐标为2，
∴ 点B的横坐标为$-2$，
∴ $AB=2 - (-2)=4$。
方法2：求点坐标计算
把$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得$y=\frac{1}{2}× 2^2=2$，
∴ 点A坐标为$(2,2)$，
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标也为2，
令$\frac{1}{2}x^2=2$，解得$x=\pm 2$，
∴ 点B坐标为$(-2,2)$，
∴ $AB=\vert 2 - (-2)\vert=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数y=ax²的对称性；平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题时既可以通过对称性快速得到结果，也可以通过求点坐标的常规方法计算，难度较低，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1) $y=\frac{1}{4}x^2$；
(2) $y=4x^2$；
(3) $y=-\frac{1}{4}x^2$；
(4) $y=-4x^2$。
(1) $y=\frac{1}{4}x^2$；
(2) $y=4x^2$；
(3) $y=-\frac{1}{4}x^2$；
(4) $y=-4x^2$。
答案
解：
采用描点法绘制函数图象：
1. 列表：选取合适的自变量x的值，分别计算对应的四个函数的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $\frac{9}{4}$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=4x^2$ | $\dots$ | | | $4$ | $0$ | $4$ | | | $\dots$ |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $-\frac{9}{4}$ | $-1$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $-1$ | $-\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=-4x^2$ | $\dots$ | | | $-4$ | $0$ | $-4$ | | | $\dots$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，描出上述表格内各坐标对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线顺次连接各函数对应的点，得到四个函数的图象：
$y=\frac{1}{4}x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；
$y=4x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线；
$y=-\frac{1}{4}x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；
$y=-4x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线。
采用描点法绘制函数图象：
1. 列表：选取合适的自变量x的值，分别计算对应的四个函数的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $\frac{9}{4}$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=4x^2$ | $\dots$ | | | $4$ | $0$ | $4$ | | | $\dots$ |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $-\frac{9}{4}$ | $-1$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $-1$ | $-\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=-4x^2$ | $\dots$ | | | $-4$ | $0$ | $-4$ | | | $\dots$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，描出上述表格内各坐标对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线顺次连接各函数对应的点，得到四个函数的图象：
$y=\frac{1}{4}x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；
$y=4x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线；
$y=-\frac{1}{4}x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；
$y=-4x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线。
解析
【分析】
要画出二次函数$y=ax^2$的图象，我们使用初中画函数图象的通用方法——描点法，分为三步开展：第一步列表，由于$y=ax^2$的图象关于y轴对称，所以我们选取互为相反数的x值和x=0，既能简化计算，也能体现图象的对称性；第二步描点，将列表得到的每组$(x,y)$作为点的坐标，在坐标系中对应位置描出；第三步连线，用平滑的曲线按x从小到大的顺序把各点依次连接，即可得到对应函数的图象。同时可通过a的取值预判图象特征：a＞0时抛物线开口向上，a＜0时开口向下，$|a|$越大抛物线开口越窄，可用来校验画图是否正确。
【解析】
我们按照描点法的三步绘制四个函数的图象：
1. 列表：选取对称的x值，分别计算四个函数对应的y值，结果如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $\frac{9}{4}$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=4x^2$ | $\dots$ | $36$ | $16$ | $4$ | $0$ | $4$ | $16$ | $36$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $-\frac{9}{4}$ | $-1$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $-1$ | $-\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=-4x^2$ | $\dots$ | $-36$ | $-16$ | $-4$ | $0$ | $-4$ | $-16$ | $-36$ | $\dots$ |
2. 描点：根据上表中的坐标，在给定的平面直角坐标系中准确描出每个函数对应的点。
3. 连线：分别对四个函数的点，用平滑的曲线按照x从小到大的顺序顺次连接，得到四个函数的图象。
【答案】
得到四个函数的图象：$y=\frac{1}{4}x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；$y=4x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线；$y=-\frac{1}{4}x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；$y=-4x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线。
【知识点】
描点法画图象；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础作图题，既考查了描点法画函数图象的通用技能，也考查了对二次函数$y=ax^2$中参数a对图象开口方向、开口大小影响的理解，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
要画出二次函数$y=ax^2$的图象，我们使用初中画函数图象的通用方法——描点法，分为三步开展：第一步列表，由于$y=ax^2$的图象关于y轴对称，所以我们选取互为相反数的x值和x=0，既能简化计算，也能体现图象的对称性；第二步描点，将列表得到的每组$(x,y)$作为点的坐标，在坐标系中对应位置描出；第三步连线，用平滑的曲线按x从小到大的顺序把各点依次连接，即可得到对应函数的图象。同时可通过a的取值预判图象特征：a＞0时抛物线开口向上，a＜0时开口向下，$|a|$越大抛物线开口越窄，可用来校验画图是否正确。
【解析】
我们按照描点法的三步绘制四个函数的图象：
1. 列表：选取对称的x值，分别计算四个函数对应的y值，结果如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $\frac{9}{4}$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=4x^2$ | $\dots$ | $36$ | $16$ | $4$ | $0$ | $4$ | $16$ | $36$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $-\frac{9}{4}$ | $-1$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $-1$ | $-\frac{9}{4}$ | $\dots$ |
| $y=-4x^2$ | $\dots$ | $-36$ | $-16$ | $-4$ | $0$ | $-4$ | $-16$ | $-36$ | $\dots$ |
2. 描点：根据上表中的坐标，在给定的平面直角坐标系中准确描出每个函数对应的点。
3. 连线：分别对四个函数的点，用平滑的曲线按照x从小到大的顺序顺次连接，得到四个函数的图象。
【答案】
得到四个函数的图象：$y=\frac{1}{4}x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；$y=4x^2$是开口向上、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线；$y=-\frac{1}{4}x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较宽阔的抛物线；$y=-4x^2$是开口向下、顶点为原点、对称轴为y轴、开口较窄的抛物线。
【知识点】
描点法画图象；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础作图题，既考查了描点法画函数图象的通用技能，也考查了对二次函数$y=ax^2$中参数a对图象开口方向、开口大小影响的理解，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
