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7. 已知正方体的棱长为$x$ cm，它的表面积为$S$ cm²，体积为$V$ cm³.
（1）分别写出$S$关于$x$和$V$关于$x$的函数解析式；
（2）在这两个函数中，哪一个是关于$x$的二次函数？
（1）分别写出$S$关于$x$和$V$关于$x$的函数解析式；
（2）在这两个函数中，哪一个是关于$x$的二次函数？
答案
7. 解 （1）$S=6x^2$，$V=x^3$。
（2）$S$是关于$x$的二次函数。
（2）$S$是关于$x$的二次函数。
解析
【分析】
本题需要结合正方体的表面积、体积公式推导函数解析式，再根据二次函数的定义判断函数类型。解题思路：①先回忆正方体表面积、体积的计算方法：正方体有6个完全相同的正方形面，表面积为6个面的面积之和；体积为棱长的三次方，据此即可分别写出S、V关于x的解析式；②再回忆二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2，对比两个函数的次数即可判断。
【解析】
解：（1）正方体的每个面都是边长为x的正方形，单个面的面积为x²，正方体共有6个面，因此表面积$S=6x^2$（$x＞0$）；
正方体的体积为棱长的三次方，因此体积$V=x^3$（$x＞0$）。
（2）根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2且二次项系数不为0。$S=6x^2$中x的最高次数为2，符合二次函数的特征；$V=x^3$中x的最高次数为3，不属于二次函数。
【答案】
（1）$S=6x^2$，$V=x^3$；（2）$S$是关于$x$的二次函数。
【知识点】
正方体表面积与体积计算；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的计算公式和函数的分类相结合，只要熟练掌握常见几何体的计算公式以及各类函数的定义特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题需要结合正方体的表面积、体积公式推导函数解析式，再根据二次函数的定义判断函数类型。解题思路：①先回忆正方体表面积、体积的计算方法：正方体有6个完全相同的正方形面，表面积为6个面的面积之和；体积为棱长的三次方，据此即可分别写出S、V关于x的解析式；②再回忆二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2，对比两个函数的次数即可判断。
【解析】
解：（1）正方体的每个面都是边长为x的正方形，单个面的面积为x²，正方体共有6个面，因此表面积$S=6x^2$（$x＞0$）；
正方体的体积为棱长的三次方，因此体积$V=x^3$（$x＞0$）。
（2）根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2且二次项系数不为0。$S=6x^2$中x的最高次数为2，符合二次函数的特征；$V=x^3$中x的最高次数为3，不属于二次函数。
【答案】
（1）$S=6x^2$，$V=x^3$；（2）$S$是关于$x$的二次函数。
【知识点】
正方体表面积与体积计算；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的计算公式和函数的分类相结合，只要熟练掌握常见几何体的计算公式以及各类函数的定义特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 关于 $ x $ 的函数 $ y=(a^2+4a+5)x^2 + 3ax + 1 $，甲说：“此函数不一定是二次函数。”乙说：“此函数一定是二次函数。”谁的说法正确？为什么？
答案
8. 解 乙的说法正确. 理由如下：
对 $a^2+4a+5$ 配方，可得 $(a+2)^2+1$。
因为无论 $a$ 取何值，$(a+2)^2+1≥1$ 恒成立。
所以 $a^2+4a+5≥1≠0$。
故无论 $a$ 取何值，该函数一定是二次函数。
对 $a^2+4a+5$ 配方，可得 $(a+2)^2+1$。
因为无论 $a$ 取何值，$(a+2)^2+1≥1$ 恒成立。
所以 $a^2+4a+5≥1≠0$。
故无论 $a$ 取何值，该函数一定是二次函数。
解析
【分析】
要判断该函数是否为二次函数，核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，因此本题需要先分析二次项系数$a^2+4a+5$的取值情况。我们可以通过配方法对该代数式变形，再结合平方数的非负性判断它是否可能等于0，进而判断两名同学说法的正确性。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数$a^2+4a+5$进行配方：
$a^2+4a+5 = a^2+4a+4 + 1 = (a+2)^2 + 1$
根据平方的非负性可知，无论$a$取何实数，$(a+2)^2≥0$，因此可得：
$(a+2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1$
即$a^2+4a+5≥1$，恒不等于0，满足二次函数二次项系数不为0的要求。
因此无论$a$取何值，该函数一定是二次函数。
【答案】
乙的说法正确。理由：对$a^2+4a+5$配方得$(a+2)^2+1$，无论$a$取何值，$(a+2)^2+1≥1$恒成立，即$a^2+4a+5≠0$，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义，配方法，平方的非负性
【点评】
本题重点考查二次函数的判定，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的前提，通过配方法结合平方的非负性判断代数式的取值范围是解决这类问题的常用技巧，易错点是误认二次项系数可能为0。
【难度系数】
0.8
要判断该函数是否为二次函数，核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，因此本题需要先分析二次项系数$a^2+4a+5$的取值情况。我们可以通过配方法对该代数式变形，再结合平方数的非负性判断它是否可能等于0，进而判断两名同学说法的正确性。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数$a^2+4a+5$进行配方：
$a^2+4a+5 = a^2+4a+4 + 1 = (a+2)^2 + 1$
根据平方的非负性可知，无论$a$取何实数，$(a+2)^2≥0$，因此可得：
$(a+2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1$
即$a^2+4a+5≥1$，恒不等于0，满足二次函数二次项系数不为0的要求。
因此无论$a$取何值，该函数一定是二次函数。
【答案】
乙的说法正确。理由：对$a^2+4a+5$配方得$(a+2)^2+1$，无论$a$取何值，$(a+2)^2+1≥1$恒成立，即$a^2+4a+5≠0$，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义，配方法，平方的非负性
【点评】
本题重点考查二次函数的判定，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的前提，通过配方法结合平方的非负性判断代数式的取值范围是解决这类问题的常用技巧，易错点是误认二次项系数可能为0。
【难度系数】
0.8
9. 如图，圆柱的高为10 cm，圆柱的底面直径为x cm，圆柱的表面积为S cm².
（1）求圆柱的表面积S关于圆柱的底面直径x的函数解析式，并判断这个函数是否为二次函数；
（2）当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留π）？
（1）求圆柱的表面积S关于圆柱的底面直径x的函数解析式，并判断这个函数是否为二次函数；
（2）当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留π）？
答案
9. 解 （1）由题意得圆柱的表面积 $S=2π rh+2π r^2=2π × \frac{x}{2}× 10+2π × (\frac{x}{2})^2=\frac{1}{2}π x^2+10π x$。
所以圆柱的表面积 $S$ 关于圆柱的底面直径 $x$ 的函数解析式为 $S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$。
因为 $\frac{1}{2}π≠0$，所以函数 $S=\frac{1}{2}π x^2 +10π x$ 是二次函数。
（2）当 $x=4$ 时，$S=8π+40π=48π$；
当 $x=10$ 时，$S=50π+100π=150π$。
所以 $150π-48π=102π$。
所以圆柱的表面积增加了 $102π \ \mathrm{cm}^2$。
所以圆柱的表面积 $S$ 关于圆柱的底面直径 $x$ 的函数解析式为 $S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$。
因为 $\frac{1}{2}π≠0$，所以函数 $S=\frac{1}{2}π x^2 +10π x$ 是二次函数。
（2）当 $x=4$ 时，$S=8π+40π=48π$；
当 $x=10$ 时，$S=50π+100π=150π$。
所以 $150π-48π=102π$。
所以圆柱的表面积增加了 $102π \ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
（1）推导圆柱表面积的函数解析式，首先明确圆柱表面积由侧面积和2个底面积组成。已知圆柱高为10cm，底面直径为x，可得底面半径为$\frac{x}{2}$，分别代入侧面积公式（侧面积=底面周长×高）和圆的面积公式，整理得到S与x的关系式，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$的函数为二次函数）判断即可。
（2）求底面直径变化时表面积的增加量，只需将$x=4$和$x=10$分别代入第一问得到的函数解析式，求出对应的S值，再作差即可得到结果。
【解析】
（1）圆柱表面积公式为$S=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}$
底面半径$r=\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$，高$h=10\ \mathrm{cm}$
侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=2π rh=2π × \frac{x}{2} × 10=10π x$
2个底面积：$2S_{\mathrm{底}}=2π r^2=2π × (\frac{x}{2})^2=\frac{1}{2}π x^2$
因此表面积$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$
该函数最高次为二次，且二次项系数$\frac{1}{2}π≠0$，所以是二次函数。
（2）当$x=4$时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}π × 4^2 +10π × 4=8π+40π=48π$
当$x=10$时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}π × 10^2 +10π × 10=50π+100π=150π$
表面积增加量为$150π-48π=102π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$，是二次函数；
（2）$102π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆柱表面积计算、二次函数的定义、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查函数相关知识，解题核心是熟练掌握圆柱表面积公式，理解二次函数的判定规则，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
（1）推导圆柱表面积的函数解析式，首先明确圆柱表面积由侧面积和2个底面积组成。已知圆柱高为10cm，底面直径为x，可得底面半径为$\frac{x}{2}$，分别代入侧面积公式（侧面积=底面周长×高）和圆的面积公式，整理得到S与x的关系式，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$的函数为二次函数）判断即可。
（2）求底面直径变化时表面积的增加量，只需将$x=4$和$x=10$分别代入第一问得到的函数解析式，求出对应的S值，再作差即可得到结果。
【解析】
（1）圆柱表面积公式为$S=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}$
底面半径$r=\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$，高$h=10\ \mathrm{cm}$
侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=2π rh=2π × \frac{x}{2} × 10=10π x$
2个底面积：$2S_{\mathrm{底}}=2π r^2=2π × (\frac{x}{2})^2=\frac{1}{2}π x^2$
因此表面积$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$
该函数最高次为二次，且二次项系数$\frac{1}{2}π≠0$，所以是二次函数。
（2）当$x=4$时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}π × 4^2 +10π × 4=8π+40π=48π$
当$x=10$时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}π × 10^2 +10π × 10=50π+100π=150π$
表面积增加量为$150π-48π=102π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$，是二次函数；
（2）$102π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆柱表面积计算、二次函数的定义、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查函数相关知识，解题核心是熟练掌握圆柱表面积公式，理解二次函数的判定规则，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
