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7. 根据下列条件分别求$a$的值或取值范围.
(1) 函数$y=(a-2)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(2) 函数$y=(3a-2)x^2$有最大值；
(3) 抛物线$y=(a+2)x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的形状相同.
(1) 函数$y=(a-2)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(2) 函数$y=(3a-2)x^2$有最大值；
(3) 抛物线$y=(a+2)x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的形状相同.
答案
7. 解 (1) 由题意得 $a-2＜0$，解得$a＜2$.
(2) 由题意得 $3a-2＜0$，解得 $a＜\frac{2}{3}$.
(3) 由题意得 $a+2=\frac{1}{2}$或 $a+2=-\frac{1}{2}$，解得 $a=-\frac{3}{2}$或 $a=-\frac{5}{2}$.
(2) 由题意得 $3a-2＜0$，解得 $a＜\frac{2}{3}$.
(3) 由题意得 $a+2=\frac{1}{2}$或 $a+2=-\frac{1}{2}$，解得 $a=-\frac{3}{2}$或 $a=-\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题3个小问均围绕二次函数$y=ax^2$的性质展开，解题时紧扣二次项系数$a$对图象性质的影响即可：(1)根据给定的增减性可判断抛物线开口向下，对应二次项系数小于0；(2)函数有最大值说明抛物线开口向下，二次项系数小于0；(3)抛物线形状仅和二次项系数的绝对值有关，形状相同则系数绝对值相等，分两种情况求解即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为y轴，满足$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大。
结合题意得：$a-2＜0$，解得$a＜2$。
(2) 二次函数$y=ax^2$有最大值，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0。
结合题意得：$3a-2＜0$，移项得$3a＜2$，解得$a＜\frac{2}{3}$。
(3) 两条抛物线形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等。
结合题意得：$\vert a+2\vert = \vert -\frac{1}{2}\vert$，即$a+2=\frac{1}{2}$或$a+2=-\frac{1}{2}$。
解得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$a＜2$；
(2)$a＜\frac{2}{3}$；
(3)$a=-\frac{3}{2}$或$a=-\frac{5}{2}$。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的增减性
2. 二次函数的最值性质
3. 抛物线形状与系数的关系
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$性质的基础应用，解题关键是明确二次项系数$a$对开口方向、增减性、最值、图象形状的影响，第三问注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
本题3个小问均围绕二次函数$y=ax^2$的性质展开，解题时紧扣二次项系数$a$对图象性质的影响即可：(1)根据给定的增减性可判断抛物线开口向下，对应二次项系数小于0；(2)函数有最大值说明抛物线开口向下，二次项系数小于0；(3)抛物线形状仅和二次项系数的绝对值有关，形状相同则系数绝对值相等，分两种情况求解即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为y轴，满足$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大。
结合题意得：$a-2＜0$，解得$a＜2$。
(2) 二次函数$y=ax^2$有最大值，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0。
结合题意得：$3a-2＜0$，移项得$3a＜2$，解得$a＜\frac{2}{3}$。
(3) 两条抛物线形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等。
结合题意得：$\vert a+2\vert = \vert -\frac{1}{2}\vert$，即$a+2=\frac{1}{2}$或$a+2=-\frac{1}{2}$。
解得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$a＜2$；
(2)$a＜\frac{2}{3}$；
(3)$a=-\frac{3}{2}$或$a=-\frac{5}{2}$。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的增减性
2. 二次函数的最值性质
3. 抛物线形状与系数的关系
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$性质的基础应用，解题关键是明确二次项系数$a$对开口方向、增减性、最值、图象形状的影响，第三问注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
8. 二次函数$y=kx^2$与一次函数$y=kx+k$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
B
）答案
8. B
解析
【分析】
解题时我们可以先从一次函数的特征入手，先找其定点简化判断：首先将一次函数解析式变形为$y=k(x+1)$，可知无论$k$取何非零值，一次函数都经过定点$(-1, 0)$，先据此排除不符合的选项；再根据$k$的正负分类，结合二次函数、一次函数的图象性质和系数的对应关系，逐一验证剩余选项即可。
【解析】
1. 先分析一次函数：将$y=kx+k$整理为$y=k(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数恒过点$(-1, 0)$。观察选项，A、D中一次函数与x轴交点不在$(-1, 0)$，排除A、D。
2. 分类讨论$k$的符号：
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$的开口向上，顶点在原点；一次函数$y=kx+k$的斜率为正，图象从左到右上升，且与y轴交点为$(0, k)$，在y轴正半轴，B选项符合该特征。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$的开口向下；一次函数$y=kx+k$的斜率为负，图象从左到右下降，且与y轴交点在y轴负半轴，C选项中一次函数图象上升，斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除C。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是利用函数解析式与图象系数的对应关系，结合定点判断、分类讨论的方法快速排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先从一次函数的特征入手，先找其定点简化判断：首先将一次函数解析式变形为$y=k(x+1)$，可知无论$k$取何非零值，一次函数都经过定点$(-1, 0)$，先据此排除不符合的选项；再根据$k$的正负分类，结合二次函数、一次函数的图象性质和系数的对应关系，逐一验证剩余选项即可。
【解析】
1. 先分析一次函数：将$y=kx+k$整理为$y=k(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数恒过点$(-1, 0)$。观察选项，A、D中一次函数与x轴交点不在$(-1, 0)$，排除A、D。
2. 分类讨论$k$的符号：
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$的开口向上，顶点在原点；一次函数$y=kx+k$的斜率为正，图象从左到右上升，且与y轴交点为$(0, k)$，在y轴正半轴，B选项符合该特征。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$的开口向下；一次函数$y=kx+k$的斜率为负，图象从左到右下降，且与y轴交点在y轴负半轴，C选项中一次函数图象上升，斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除C。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是利用函数解析式与图象系数的对应关系，结合定点判断、分类讨论的方法快速排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
9. 已知二次函数 $ y = ax^2 $，若当 $ x $ 取 $ x_1, x_2 $（$ x_1 ≠ x_2 $）时，函数值相等，则当 $ x $ 取 $ x_1 + x_2 $ 时，函数值 $ y $ 的值为
0
。答案
9. 0
解析
【分析】
解题思路可从两个角度切入：①从二次函数性质角度：二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），若两个不同的$x$对应的函数值相等，说明这两个$x$对应的点关于对称轴对称，关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，即可得到$x_1+x_2$的值，代入函数即可求$y$；②从代数运算角度：根据函数值相等列等式，结合二次项系数不为0、$x_1≠x_2$的条件，推导得到$x_1+x_2$的取值，再代入求值。
【解析】
方法一（利用二次函数对称性）：
∵二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），
当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴$x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2$，得$y=a×0^2=0$。
方法二（代数推导法）：
由题意得：$ax_1^2=ax_2^2$，
∵$y=ax^2$是二次函数，
∴$a≠0$，
等式两边同时除以$a$得：$x_1^2=x_2^2$，
变形得：$x_1^2-x_2^2=0$，因式分解得$(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$，
∵$x_1≠x_2$，
∴$x_1-x_2≠0$，
∴$x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2$，得$y=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、因式分解的应用、代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考题，既可以通过抛物线对称性快速推导，也可以通过代数运算求解，能帮助学生加深对二次函数$y=ax^2$图象特征的理解。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个角度切入：①从二次函数性质角度：二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），若两个不同的$x$对应的函数值相等，说明这两个$x$对应的点关于对称轴对称，关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，即可得到$x_1+x_2$的值，代入函数即可求$y$；②从代数运算角度：根据函数值相等列等式，结合二次项系数不为0、$x_1≠x_2$的条件，推导得到$x_1+x_2$的取值，再代入求值。
【解析】
方法一（利用二次函数对称性）：
∵二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），
当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴$x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2$，得$y=a×0^2=0$。
方法二（代数推导法）：
由题意得：$ax_1^2=ax_2^2$，
∵$y=ax^2$是二次函数，
∴$a≠0$，
等式两边同时除以$a$得：$x_1^2=x_2^2$，
变形得：$x_1^2-x_2^2=0$，因式分解得$(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$，
∵$x_1≠x_2$，
∴$x_1-x_2≠0$，
∴$x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2$，得$y=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、因式分解的应用、代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考题，既可以通过抛物线对称性快速推导，也可以通过代数运算求解，能帮助学生加深对二次函数$y=ax^2$图象特征的理解。
【难度系数】
0.8
10.如图，$\odot O$的半径为2，$C_1$是函数$y=2x^2$的图象，$C_2$是函数$y=-2x^2$的图象，则图中阴影部分的面积为
$2π$
.答案
10. $2π$
解析
【分析】
观察图形可知，函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，图中阴影为不规则图形，直接计算难度较大，因此可利用对称性通过割补法，把上方阴影部分补到下方对应的空白区域，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积再计算。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，
∴ 可通过割补法，将x轴上方的阴影部分拼接至x轴下方对应的空白区域，最终所有阴影部分恰好拼成一个半径为2的半圆。
已知$\odot O$的半径$r=2$，则阴影部分面积等于半圆面积：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×π×2^2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，圆的面积计算
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性，将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积求解，体现了转化思想在几何面积计算中的应用，是不规则图形面积求解的典型题型。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，图中阴影为不规则图形，直接计算难度较大，因此可利用对称性通过割补法，把上方阴影部分补到下方对应的空白区域，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积再计算。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，
∴ 可通过割补法，将x轴上方的阴影部分拼接至x轴下方对应的空白区域，最终所有阴影部分恰好拼成一个半径为2的半圆。
已知$\odot O$的半径$r=2$，则阴影部分面积等于半圆面积：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×π×2^2=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，圆的面积计算
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性，将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积求解，体现了转化思想在几何面积计算中的应用，是不规则图形面积求解的典型题型。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的二次函数$y=mx^{m^2 -1}$，当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大，求$m$的值。
答案
11. 解 因为 $y = mx^{m^2 -1}$ 是二次函数，所以 $m^2 -1=2$. 解得 $m = \pm\sqrt{3}$. 又当 $x ≥ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，所以 $m＞0$. 所以 $m=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：第一步，先依据二次函数的定义确定m的可能取值，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程求解即可得到m的候选值；第二步，结合题目给出的增减性条件，判断二次项系数的正负，对候选值进行筛选，最终得到符合要求的m值。
【解析】
解：
∵$y = mx^{m^2 -1}$是关于$x$的二次函数
∴自变量$x$的次数为2，且$m≠0$，可得方程：
$m^2 -1=2$
解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$
又
∵当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数开口向上
∴二次项系数$m＞0$
∴舍去$m=-\sqrt{3}$，即$m=\sqrt{3}$
【答案】
$m=\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础题，解题时需先根据定义得到参数的候选值，再结合函数性质筛选符合要求的结果，易错点是容易忽略增减性对二次项系数的符号限制，导致出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需分两步思考：第一步，先依据二次函数的定义确定m的可能取值，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程求解即可得到m的候选值；第二步，结合题目给出的增减性条件，判断二次项系数的正负，对候选值进行筛选，最终得到符合要求的m值。
【解析】
解：
∵$y = mx^{m^2 -1}$是关于$x$的二次函数
∴自变量$x$的次数为2，且$m≠0$，可得方程：
$m^2 -1=2$
解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$
又
∵当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数开口向上
∴二次项系数$m＞0$
∴舍去$m=-\sqrt{3}$，即$m=\sqrt{3}$
【答案】
$m=\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础题，解题时需先根据定义得到参数的候选值，再结合函数性质筛选符合要求的结果，易错点是容易忽略增减性对二次项系数的符号限制，导致出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
