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1. 折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支. 用一根宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，则$∠ AFB$的度数为（
A.$75°$
B.$72°$
C.$70°$
D.$60°$
B
）A.$75°$
B.$72°$
C.$70°$
D.$60°$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算∠AFB的度数，可按以下思路推导：1. 先利用正多边形内角和公式，求出正五边形每个内角的度数；2. 结合正五边形各边相等的性质，得到图中的等腰三角形，计算出相关底角的度数；3. 最后利用三角形内角和定理即可求出∠AFB的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ BAE=∠ AED=108°$，且正五边形各边相等，即$AB=AE=DE$。
2. 计算等腰三角形的底角度数：
在等腰$△ ABE$中，$AB=AE$，$∠ BAE=108°$，所以$∠ ABF=\frac{180°-108°}{2}=36°$；
在等腰$△ AED$中，$AE=DE$，$∠ AED=108°$，所以$∠ EAD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，因此$∠ BAF=∠ BAE-∠ EAD=108°-36°=72°$。
3. 计算$∠ AFB$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，在$△ ABF$中，$∠ AFB=180°-∠ BAF-∠ ABF=180°-72°-36°=72°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角和、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合传统折纸文化考查几何角度计算，将实际操作和几何性质结合，解题的关键是熟练运用正多边形的性质、等腰三角形角度计算规则，难度适中，能较好考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算∠AFB的度数，可按以下思路推导：1. 先利用正多边形内角和公式，求出正五边形每个内角的度数；2. 结合正五边形各边相等的性质，得到图中的等腰三角形，计算出相关底角的度数；3. 最后利用三角形内角和定理即可求出∠AFB的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ BAE=∠ AED=108°$，且正五边形各边相等，即$AB=AE=DE$。
2. 计算等腰三角形的底角度数：
在等腰$△ ABE$中，$AB=AE$，$∠ BAE=108°$，所以$∠ ABF=\frac{180°-108°}{2}=36°$；
在等腰$△ AED$中，$AE=DE$，$∠ AED=108°$，所以$∠ EAD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，因此$∠ BAF=∠ BAE-∠ EAD=108°-36°=72°$。
3. 计算$∠ AFB$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，在$△ ABF$中，$∠ AFB=180°-∠ BAF-∠ ABF=180°-72°-36°=72°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角和、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合传统折纸文化考查几何角度计算，将实际操作和几何性质结合，解题的关键是熟练运用正多边形的性质、等腰三角形角度计算规则，难度适中，能较好考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插、拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸条宽为（
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
C
）A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确纸条宽度和正六边形参数的对应关系：等宽纸条穿插拉紧得到正六边形，纸条的宽度实际就是正六边形的边心距，也就是正六边形中心到任意一边的垂线段长度。接下来我们可以利用正六边形的性质：边长为a的正六边形可以分割为6个边长为a的等边三角形，边心距就等于等边三角形的高，通过计算等边三角形的高就能得到纸条宽度。
【解析】
已知正六边形的边长为2，正六边形可分割为6个边长为2的等边三角形。
等边三角形的高即正六边形的边心距，也就是纸条的宽度，根据勾股定理计算：
$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$
因此原来的纸条宽为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等边三角形性质
【点评】
这道题将手工操作和几何知识结合，解题的核心是把实际的纸条宽度转化为正六边形的边心距，再利用正六边形与等边三角形的关联求解，能很好地考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确纸条宽度和正六边形参数的对应关系：等宽纸条穿插拉紧得到正六边形，纸条的宽度实际就是正六边形的边心距，也就是正六边形中心到任意一边的垂线段长度。接下来我们可以利用正六边形的性质：边长为a的正六边形可以分割为6个边长为a的等边三角形，边心距就等于等边三角形的高，通过计算等边三角形的高就能得到纸条宽度。
【解析】
已知正六边形的边长为2，正六边形可分割为6个边长为2的等边三角形。
等边三角形的高即正六边形的边心距，也就是纸条的宽度，根据勾股定理计算：
$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$
因此原来的纸条宽为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等边三角形性质
【点评】
这道题将手工操作和几何知识结合，解题的核心是把实际的纸条宽度转化为正六边形的边心距，再利用正六边形与等边三角形的关联求解，能很好地考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图①是长方形纸条，$∠ DEF = α$，将纸条沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③；用$α$表示图③中$∠ CFE$的大小为
$180°−3α$
。答案
3. $180°−3α$
解析
【分析】
解题时先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠EFB的度数；再结合平角定义得到初始∠CFE的大小；最后根据折叠前后对应角相等的性质，依次分析两次折叠后∠CFE的变化，每次折叠都会重叠一个与∠EFB相等的角，逐步推导即可得到结果。
【解析】
∵ 长方形的对边AD//BC，
∴ ∠EFB = ∠DEF = α（两直线平行，内错角相等）。
图①中，点B、F、C在同一直线上，
∴ 初始∠CFE = 180° - ∠EFB = 180° - α。
第一次沿EF折叠成图②时，根据折叠的性质，重叠的角相等，即∠GFE = ∠EFB = α，
此时∠GFC = 初始∠CFE - ∠GFE = (180° - α) - α = 180° - 2α。
第二次沿BF折叠成图③时，再次根据折叠的性质，重叠的角相等，会再重叠一个α的角，
∴ 图③中∠CFE = ∠GFC - ∠EFB = (180° - 2α) - α = 180° - 3α。
【答案】
$180°−3α$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题主要考查图形折叠中角的变化规律，解题的关键是明确每次折叠后重叠的角的度数，结合平行线的性质逐步推导即可，注意不要漏算折叠导致的角的重叠次数。
【难度系数】
0.6
解题时先利用长方形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠EFB的度数；再结合平角定义得到初始∠CFE的大小；最后根据折叠前后对应角相等的性质，依次分析两次折叠后∠CFE的变化，每次折叠都会重叠一个与∠EFB相等的角，逐步推导即可得到结果。
【解析】
∵ 长方形的对边AD//BC，
∴ ∠EFB = ∠DEF = α（两直线平行，内错角相等）。
图①中，点B、F、C在同一直线上，
∴ 初始∠CFE = 180° - ∠EFB = 180° - α。
第一次沿EF折叠成图②时，根据折叠的性质，重叠的角相等，即∠GFE = ∠EFB = α，
此时∠GFC = 初始∠CFE - ∠GFE = (180° - α) - α = 180° - 2α。
第二次沿BF折叠成图③时，再次根据折叠的性质，重叠的角相等，会再重叠一个α的角，
∴ 图③中∠CFE = ∠GFC - ∠EFB = (180° - 2α) - α = 180° - 3α。
【答案】
$180°−3α$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题主要考查图形折叠中角的变化规律，解题的关键是明确每次折叠后重叠的角的度数，结合平行线的性质逐步推导即可，注意不要漏算折叠导致的角的重叠次数。
【难度系数】
0.6
4. 如图①是$AD// BC$的纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图③中$∠ CFE=21°$，则图②中$∠ AEF$的度数为
$113°$
。答案
4. $113°$
解析
【分析】
解题时先结合平行线性质找角的关系：因为AD//BC，所以∠AEF与∠BFE是同旁内角，二者互补，求出∠BFE即可得∠AEF的度数。再利用折叠的核心性质“折叠前后对应角相等”，理清两次折叠后平角180°和已知∠CFE与∠BFE的数量关系，列方程求解∠BFE即可。
【解析】
解：设∠BFE的度数为$x$，
根据折叠前后对应角相等的性质，两次折叠后平角$180°$可表示为$3x-∠ CFE=180°$，
已知$∠ CFE=21°$，代入得：
$3x-21°=180°$
解得$x=67°$
$\because AD// BC$
$\therefore ∠ AEF+∠ BFE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ AEF=180°-67°=113°$
【答案】
$113°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题属于几何折叠类基础综合题，解题核心是准确梳理两次折叠后各角的数量关系，结合平行线性质和角的和差关系计算即可，需要注意折叠后重叠部分的角相等这一隐含条件。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行线性质找角的关系：因为AD//BC，所以∠AEF与∠BFE是同旁内角，二者互补，求出∠BFE即可得∠AEF的度数。再利用折叠的核心性质“折叠前后对应角相等”，理清两次折叠后平角180°和已知∠CFE与∠BFE的数量关系，列方程求解∠BFE即可。
【解析】
解：设∠BFE的度数为$x$，
根据折叠前后对应角相等的性质，两次折叠后平角$180°$可表示为$3x-∠ CFE=180°$，
已知$∠ CFE=21°$，代入得：
$3x-21°=180°$
解得$x=67°$
$\because AD// BC$
$\therefore ∠ AEF+∠ BFE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ AEF=180°-67°=113°$
【答案】
$113°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题属于几何折叠类基础综合题，解题核心是准确梳理两次折叠后各角的数量关系，结合平行线性质和角的和差关系计算即可，需要注意折叠后重叠部分的角相等这一隐含条件。
【难度系数】
0.6
5. 起源于中国的折纸艺术,不仅具有艺术审美价值,还蕴含着数学运算和空间几何原理. 图①是一朵用长方形纸条折成的玫瑰花,其前两步的折纸过程如下:
第一步,将长方形纸条ABCD沿DE折叠,点A落在点A'的位置上,A'E与CD交于点F(如图②所示).
第二步,将纸条沿EH折叠,点B,C分别落在直线EF的右侧点B',C'的位置上,EB'与CD相交于点M(如图③所示).
(1)若∠AED=∠BEH=30°,猜想△EFM的形状,并说明理由;
(2)若DE//B'C',求证:F为DM的中点.
第一步,将长方形纸条ABCD沿DE折叠,点A落在点A'的位置上,A'E与CD交于点F(如图②所示).
第二步,将纸条沿EH折叠,点B,C分别落在直线EF的右侧点B',C'的位置上,EB'与CD相交于点M(如图③所示).
(1)若∠AED=∠BEH=30°,猜想△EFM的形状,并说明理由;
(2)若DE//B'C',求证:F为DM的中点.
答案
5. (1)△EFM 为等边三角形.
理由:由折叠可知∠A'ED = ∠AED = 30°,
∠B'EH = ∠BEH = 30°,
∴ ∠AEF = ∠A' ED + ∠AED = 60°,
∠BEM=∠B'EH+∠BEH=60°.
∵ ∠AEF+∠FEM+∠BEM=180°,
∴ ∠FEM=180°−∠AEF−∠BEM=60°.
又 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD.
∴ ∠EFM = ∠AEF = 60°, ∠EMF =
∠BEM=60°.
∴ ∠EFM=∠EMF=∠FEM.
∴ △EFM为等边三角形.
(2)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD,∠B=90°.
∴ ∠AED=∠EDM.
由折叠可知∠AED = ∠A'ED, ∠B' =
∠B=90°.
∴ ∠A'ED=∠EDM.
∴ EF=DF.
又 DE//B'C',
∴ ∠DEM=∠B'=90°.
∴ ∠DEF+∠FEM=∠EDF+∠EMD=90°.
∴ ∠FEM=∠EMD.
∴ EF=FM.
∴ DF=FM.
∴ F为DM的中点.
理由:由折叠可知∠A'ED = ∠AED = 30°,
∠B'EH = ∠BEH = 30°,
∴ ∠AEF = ∠A' ED + ∠AED = 60°,
∠BEM=∠B'EH+∠BEH=60°.
∵ ∠AEF+∠FEM+∠BEM=180°,
∴ ∠FEM=180°−∠AEF−∠BEM=60°.
又 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD.
∴ ∠EFM = ∠AEF = 60°, ∠EMF =
∠BEM=60°.
∴ ∠EFM=∠EMF=∠FEM.
∴ △EFM为等边三角形.
(2)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD,∠B=90°.
∴ ∠AED=∠EDM.
由折叠可知∠AED = ∠A'ED, ∠B' =
∠B=90°.
∴ ∠A'ED=∠EDM.
∴ EF=DF.
又 DE//B'C',
∴ ∠DEM=∠B'=90°.
∴ ∠DEF+∠FEM=∠EDF+∠EMD=90°.
∴ ∠FEM=∠EMD.
∴ EF=FM.
∴ DF=FM.
∴ F为DM的中点.
解析
【分析】
(1)判定三角形形状可从内角的度数入手：首先利用折叠前后对应角相等的性质，结合已知∠AED=∠BEH=30°，求出∠AEF和∠BEM的度数，再根据平角为180°算出∠FEM的度数；再结合长方形对边平行的性质，利用平行线内错角相等求出△EFM另外两个内角的度数，即可判断三角形形状。
(2)要证F为DM的中点，等价于证明DF=FM：首先由长方形对边平行的性质和折叠的等角性质，推导得到EF=DF；再结合DE//B'C'的条件，推导得到∠FEM=∠EMD，进而得到EF=FM，通过等量代换即可得到DF=FM，完成证明。
【解析】
(1)△EFM 为等边三角形，理由如下：
由折叠可知∠A'ED = ∠AED = 30°，∠B'EH = ∠BEH = 30°，
∴ ∠AEF = ∠A' ED + ∠AED = 60°，∠BEM=∠B'EH+∠BEH=60°。
∵ ∠AEF+∠FEM+∠BEM=180°，
∴ ∠FEM=180°−∠AEF−∠BEM=60°。
又
∵四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EFM = ∠AEF = 60°，∠EMF = ∠BEM=60°，
∴ ∠EFM=∠EMF=∠FEM，
∴ △EFM为等边三角形。
(2)证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD，∠B=90°，
∴ ∠AED=∠EDM。
由折叠可知∠AED = ∠A'ED，∠B' = ∠B=90°，
∴ ∠A'ED=∠EDM，
∴ EF=DF。
又
∵DE//B'C'，
∴ ∠DEM=∠B'=90°，
∴ ∠DEF+∠FEM=∠EDF+∠EMD=90°，
∴ ∠FEM=∠EMD，
∴ EF=FM，
∴ DF=FM，
即F为DM的中点。
【答案】
(1)△EFM为等边三角形，理由见上述解析；
(2)F为DM的中点，证明见上述解析。
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题结合折纸的生活情境考查几何推理，解题时需抓住折叠前后对应角、对应边相等的核心性质，结合平行线的角度关系推导特殊三角形的边角关系，较好地考查了逻辑推导能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.6
(1)判定三角形形状可从内角的度数入手：首先利用折叠前后对应角相等的性质，结合已知∠AED=∠BEH=30°，求出∠AEF和∠BEM的度数，再根据平角为180°算出∠FEM的度数；再结合长方形对边平行的性质，利用平行线内错角相等求出△EFM另外两个内角的度数，即可判断三角形形状。
(2)要证F为DM的中点，等价于证明DF=FM：首先由长方形对边平行的性质和折叠的等角性质，推导得到EF=DF；再结合DE//B'C'的条件，推导得到∠FEM=∠EMD，进而得到EF=FM，通过等量代换即可得到DF=FM，完成证明。
【解析】
(1)△EFM 为等边三角形，理由如下：
由折叠可知∠A'ED = ∠AED = 30°，∠B'EH = ∠BEH = 30°，
∴ ∠AEF = ∠A' ED + ∠AED = 60°，∠BEM=∠B'EH+∠BEH=60°。
∵ ∠AEF+∠FEM+∠BEM=180°，
∴ ∠FEM=180°−∠AEF−∠BEM=60°。
又
∵四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EFM = ∠AEF = 60°，∠EMF = ∠BEM=60°，
∴ ∠EFM=∠EMF=∠FEM，
∴ △EFM为等边三角形。
(2)证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB//CD，∠B=90°，
∴ ∠AED=∠EDM。
由折叠可知∠AED = ∠A'ED，∠B' = ∠B=90°，
∴ ∠A'ED=∠EDM，
∴ EF=DF。
又
∵DE//B'C'，
∴ ∠DEM=∠B'=90°，
∴ ∠DEF+∠FEM=∠EDF+∠EMD=90°，
∴ ∠FEM=∠EMD，
∴ EF=FM，
∴ DF=FM，
即F为DM的中点。
【答案】
(1)△EFM为等边三角形，理由见上述解析；
(2)F为DM的中点，证明见上述解析。
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题结合折纸的生活情境考查几何推理，解题时需抓住折叠前后对应角、对应边相等的核心性质，结合平行线的角度关系推导特殊三角形的边角关系，较好地考查了逻辑推导能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.6
