5. 如图①,四边形ABCD的边AB,BC,CD均与⊙O相切,切点分别为E,F,G,且AB≠AD,连接OD,DO平分∠ADC.
(1)求证:AD与⊙O相切;
(2)如图②,记AD与⊙O的公共点为点H,连接EG,FH交于点I,若EG⊥FH,求证:四边形ABCD对角互补.

(1)如图①,连接OG,过点O作OH⊥AD于点H,
∵ CD与⊙O相切,
∴ OG⊥CD.
又 DO平分∠ADC,
∴ OG=OH.
∴ AD与⊙O相切.
(2)如图②,连接OE,OF,OG,OH,HG.
由(1)可得,⊙O是四边形ABCD的内切圆.
∴ OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.
∴ ∠OEA=∠OHA=90°.
在四边形AEOH中,∠A+∠EOH=360°-90°-90°=180°,
同理可证,∠FOG+∠C=180°.
∵ EG⊥FH,
∴ ∠EGH+∠FHG=90°.
∵ ∠EOH=2∠EGH,∠FOG=2∠FHG,
∴ ∠FOG+∠EOH=180°.
∴ ∠A+∠C=180°.
∴ ∠B+∠D=180°.
∴ 四边形ABCD对角互补.

【分析】
(1) 要证明AD与⊙O相切，切线的判定规则为：若直线与圆的公共点未明确给出，可过圆心作该直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。已知CD与⊙O相切，可得半径OG⊥CD，结合DO平分∠ADC的条件，利用角平分线的性质即可证明O到AD的垂线段长度等于半径，从而证得AD是⊙O的切线。
(2) 要证明四边形ABCD对角互补，即证∠A+∠C=180°、∠B+∠D=180°。首先由(1)的结论可知⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接各切点对应的半径，可得四个半径分别与四边垂直，在四边形AEOH和四边形OFCG中，可推出∠A与∠EOH互补、∠C与∠FOG互补。再结合EG⊥FH的条件，利用圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），可推出∠EOH+∠FOG=180°，进而得到∠A+∠C=180°，结合四边形内角和为360°，即可得另一组对角也互补。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接OG，过点O作OH⊥AD于点H，
∵ CD与⊙O相切，G为切点，
∴ OG⊥CD。
又
∵ DO平分∠ADC，OH⊥AD，OG⊥CD，
根据角平分线的性质可得OH=OG，即圆心O到AD的距离等于⊙O的半径，
∴ AD与⊙O相切。
(2) 证明：如图②，连接OE,OF,OG,OH,HG。
由(1)可得，⊙O与四边形ABCD的四边都相切，即⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴ OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，
∴ ∠OEA=∠OHA=90°，
在四边形AEOH中，内角和为360°，
∴ ∠A+∠EOH=360°-∠OEA-∠OHA=360°-90°-90°=180°，
同理可证，在四边形OFCG中，∠FOG+∠C=180°。
∵ EG⊥FH，
∴ 在△IGH中，∠EGH+∠FHG=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∠EOH是弧EH所对的圆心角，∠EGH是弧EH所对的圆周角，故∠EOH=2∠EGH，
∠FOG是弧FG所对的圆心角，∠FHG是弧FG所对的圆周角，故∠FOG=2∠FHG，
∴ ∠FOG+∠EOH=2(∠EGH+∠FHG)=2×90°=180°，
代入前述结论可得∠A+∠C=180°，
∵ 四边形ABCD内角和为360°，
∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°，
即四边形ABCD对角互补。
【答案】
(1)如图①,连接OG,过点O作OH⊥AD于点H,
∵ CD与⊙O相切,
∴ OG⊥CD.
又 DO平分∠ADC,
∴ OG=OH.
∴ AD与⊙O相切.
(2)如图②,连接OE,OF,OG,OH,HG.
由(1)可得,⊙O是四边形ABCD的内切圆.
∴ OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.
∴ ∠OEA=∠OHA=90°.
在四边形AEOH中,∠A+∠EOH=360°-90°-90°=180°,
同理可证,∠FOG+∠C=180°.
∵ EG⊥FH,
∴ ∠EGH+∠FHG=90°.
∵ ∠EOH=2∠EGH,∠FOG=2∠FHG,
∴ ∠FOG+∠EOH=180°.
∴ ∠A+∠C=180°.
∴ ∠B+∠D=180°.
∴ 四边形ABCD对角互补.
【知识点】
切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与四边形的综合题型，核心考查切线判定、内切圆性质以及圆周角定理的应用，解题的关键是合理作出辅助线，通过角度转化推导对角互补的关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6