例2 如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端B处有一个喷水孔,喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C,高度为3 m,水柱落地点D离池中心A 4 m,则水管的顶端B距水面的高度AB为 m.

答案:$\dfrac{8}{3}$
方法点拨 本题考查二次函数的实际应用.以点A为原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,得$C(1,3),D(4,0)$,设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3(a≠0)$,将$D(4,0)$代入求出函数解析式,进而求出$x=0$时的函数值即为AB的长.

解：
以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点C的坐标为$(1,3)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3\ (a≠0)$。
将$D(4,0)$代入解析式，得：
$0=a(4-1)^2+3$
解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
令$x=0$，得$y=-\frac{1}{3}×(0-1)^2+3=\frac{8}{3}$。
答：水管的顶端B距水面的高度AB为$\frac{8}{3}$ m。

【分析】
解决本题首先要将实际问题转化为二次函数问题：第一步合理建立平面直角坐标系，将各实际位置转化为坐标点；已知抛物线的顶点坐标C(1,3)，因此优先选择二次函数的顶点式设解析式，仅需求解1个未知参数；再将落地点D的坐标代入解析式求出参数，得到完整的函数解析式；最后水管顶端B对应x=0的位置，将x=0代入解析式求出的y值就是AB的高度。
【解析】
以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点C的坐标为$(1,3)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3\ (a≠0)$。
将$D(4,0)$代入解析式，得：
$0=a(4-1)^2+3$
解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
令$x=0$，得$y=-\frac{1}{3}×(0-1)^2+3=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中应用的基础题型，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，结合已知点的特征选择简便的解析式形式，能有效降低计算难度，主要考查数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7

某抛物线形拱桥下的拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，完成下列问题：
(1)若以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线对应的函数解析式是.
(2)若以水面所在直线为x轴，以水面所在直线的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线对应的函数解析式是.
(3)若以点A为原点，以水面所在直线为x轴，以过点A垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线对应的函数解析式是.

(1)$y=-\frac{1}{2}x^2$
(2)$y=-\frac{1}{2}x^2+2$
(3)$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$

【分析】
本题考查不同平面直角坐标系下抛物线解析式的求解，核心方法为待定系数法，解题思路如下：
1. 先根据题目给出的坐标系设定，确定抛物线的顶点、与坐标轴交点等关键已知点的坐标；
2. 结合已知点的特征选择合适的解析式形式（顶点式、交点式或一般式）；
3. 将已知点代入解析式求解未知系数，即可得到对应解析式。
【解析】
(1) 当以抛物线顶点为原点、对称轴为y轴建系时，抛物线顶点坐标为$(0,0)$，设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$，代入解析式：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
(2) 当以水面所在直线为x轴、水面垂直平分线为y轴建系时，抛物线顶点坐标为$(0,2)$，设抛物线解析式为$y=ax^2+2(a≠0)$。
此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,0)$，代入解析式：
$0=a×2^2+2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
(3) 当以点A为原点、水面所在直线为x轴建系时，抛物线与x轴交点为$(0,0)$、$(4,0)$，设抛物线解析式为$y=ax(x-4)(a≠0)$。
此时抛物线顶点坐标为$(2,2)$，代入解析式：
$2=a×2×(2-4)$，解得$a=-\frac{1}{2}$，展开化简得$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2$
(2)$y=-\frac{1}{2}x^2+2$
(3)$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$
【知识点】
待定系数法，二次函数解析式求解，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题关键是根据不同坐标系的设定准确确定关键点坐标，灵活选择二次函数的解析式形式代入计算，熟练掌握待定系数法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

1. 如图是某抛物线形廊桥的示意图，已知抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10$，为保护廊桥的安全，要在该抛物线上距水面AB均为8 m的点E,F处安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 m.

1. 4

【分析】
首先明确水面AB与x轴重合，因此点到水面的高度即为该点的纵坐标值。要求距水面8m的E、F两点的水平距离，只需令函数解析式中y=8，求解对应的x的值，两个x的差的绝对值就是EF的长度。
【解析】
由题意可知，警示灯距水面高度为8m，即点E、F的纵坐标为$y=8$。
将$y=8$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10$，得：
$8=-\dfrac{1}{2}x^2+10$
移项整理得：
$\dfrac{1}{2}x^2=2$
即$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
所以点E的横坐标为$-2$，点F的横坐标为$2$，则水平距离$EF=2-(-2)=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的基础应用，解题的核心是将实际的高度条件转化为函数中纵坐标的取值，代入解析式求解即可，解题思路直观清晰。
【难度系数】
0.8

2. 某大桥桥底呈抛物线形,以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,桥面 CB//OA,抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{320}(x-80)^2+20$,抛物线上点 A 离桥面的距离 AB=22 m,若存在一点 E 使得$CE=\dfrac{3}{8}CB$,则点 E 到抛物线的距离 ED=m.

2. 3.25

【分析】
解题可按以下步骤思考：1. 先求点A的坐标：A是抛物线与x轴正半轴的交点，令y=0代入抛物线解析式即可求出A的横坐标，得到OA的长度，由CB//OA、CB和OA水平方向长度相等可知CB=OA；2. 求桥面的纵坐标：AB是点A到桥面的竖直距离，A在x轴上y=0，因此桥面所在直线的纵坐标为0+22=22；3. 求E点的横坐标：根据CE和CB的比例关系算出CE长度，即可得到E点的横坐标，E点纵坐标等于桥面纵坐标；4. 求D点纵坐标：D是E正下方抛物线上的点，横坐标和E点相同，代入抛物线解析式求出D点纵坐标，最后用E点纵坐标减去D点纵坐标就是ED的长度。
【解析】
1. 求点A坐标：
令抛物线解析式中$y=0$，代入得：
$0=-\dfrac{1}{320}(x-80)^2+20$
移项化简得$(x-80)^2=6400$，解得$x_1=160$，$x_2=0$（对应原点O，舍去）
因此点A坐标为$(160,0)$，$OA=160\mathrm{m}$，由$CB// OA$且$OABC$为矩形，得$CB=OA=160\mathrm{m}$。
2. 求桥面所在直线纵坐标：
已知$AB=22\mathrm{m}$，A点纵坐标为0，因此桥面CB所在直线的纵坐标为$0+22=22$。
3. 求E点横坐标：
$CE=\dfrac{3}{8}CB=\dfrac{3}{8}×160=60\mathrm{m}$，因此E点横坐标为60，纵坐标为22。
4. 求D点纵坐标并计算ED：
D点横坐标和E点相同，将$x=60$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{1}{320}×(60-80)^2+20=-\dfrac{400}{320}+20=18.75$
$ED=22-18.75=3.25\mathrm{m}$
【答案】
3.25
【知识点】
二次函数实际应用，函数图像上点的坐标特征，矩形的性质
【点评】
本题结合桥梁的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是理清实际长度和坐标之间的转换关系，掌握代入法求函数上点的坐标的方法，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

3.现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图线段OE表示水平路面,以点O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求,OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m,则抛物线对应的函数解析式为.

3. $y=-\dfrac{9}{25}(x-5)^2+9$

【分析】
要确定抛物线的函数解析式，首先从已知条件提取关键点坐标：①OE=10m，可知抛物线与x轴交于O(0,0)和E(10,0)；②顶点P到OE（x轴）的距离为9m，抛物线的对称轴为OE的垂直平分线即x=5，因此顶点P的坐标为(5,9)。已知顶点坐标时，选用二次函数的顶点式求解最简便，先设顶点式，再代入已知点坐标求出参数a即可得到解析式。
【解析】
解：由题意可知，抛物线与x轴的交点为O(0,0)、E(10,0)，
∵ 抛物线的对称轴为OE的垂直平分线，顶点P到OE的距离为9m，
∴ 顶点P的坐标为(5,9)。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点P(5,9)代入得：
$y=a(x-5)^2+9$
将点O(0,0)代入上式：
$0=a×(0-5)^2+9$
即 $25a+9=0$，解得 $a=-\dfrac{9}{25}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{9}{25}(x-5)^2+9$。
【答案】
$y=-\dfrac{9}{25}(x-5)^2+9$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是准确提取抛物线上的关键点坐标，选择合适的解析式形式可大幅简化计算，属于基础题型，熟练掌握待定系数法即可快速求解。
【难度系数】
0.8