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4.如图,一名男生推铅球,铅球行进高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系是$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{6}$,则他将铅球推出的距离是
11
m.答案
4. 11
解析
【分析】
要求铅球推出的距离，实际是求铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$。因此解题思路为：将$y=0$代入给定的二次函数解析式，求解关于$x$的一元二次方程，再结合实际意义舍去负的解，剩余的正解就是推出的距离。
【解析】
当铅球落地时，行进高度$y=0$，将$y=0$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{6}$，得：
$0=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{6}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$0=-x^2+9x+22$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-9x-22=0$
因式分解得：
$(x-11)(x+2)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-2$。
由于水平距离$x$不能为负数，因此舍去$x=-2$，即铅球推出的距离是11m。
【答案】
11
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程，自变量取值范围
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的核心是结合实际场景理解“推出距离”的含义，将函数问题转化为解方程问题，同时要注意根据实际意义对解进行取舍，避免出现不符合现实情况的错误结果。
【难度系数】
0.7
要求铅球推出的距离，实际是求铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$。因此解题思路为：将$y=0$代入给定的二次函数解析式，求解关于$x$的一元二次方程，再结合实际意义舍去负的解，剩余的正解就是推出的距离。
【解析】
当铅球落地时，行进高度$y=0$，将$y=0$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{6}$，得：
$0=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{6}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$0=-x^2+9x+22$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-9x-22=0$
因式分解得：
$(x-11)(x+2)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-2$。
由于水平距离$x$不能为负数，因此舍去$x=-2$，即铅球推出的距离是11m。
【答案】
11
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程，自变量取值范围
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的核心是结合实际场景理解“推出距离”的含义，将函数问题转化为解方程问题，同时要注意根据实际意义对解进行取舍，避免出现不符合现实情况的错误结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,则水管的高度为 (
A.2.2 m
B.2.24 m
C.2.25 m
D.2.3 m
C
)A.2.2 m
B.2.24 m
C.2.25 m
D.2.3 m
答案
5. C
解析
【分析】
本题是二次函数在实际喷水问题中的应用，解题思路如下：首先观察图像可知抛物线的顶点坐标为(1,3)，因此优先选择顶点式设二次函数解析式，简化计算；其次已知水柱落地时坐标为(3,0)，将该点代入解析式即可求出未知系数，确定函数解析式；最后水管的高度对应池中心即x=0处的函数值，代入x=0计算即可得到结果。
【解析】
设抛物线的解析式为顶点式$ y = a(x-h)^2 + k $，
由题意可知抛物线顶点为$(1,3)$，因此代入得$ y = a(x-1)^2 + 3 $，
因为水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3,0)$，将$x=3,y=0$代入解析式：
$0 = a(3-1)^2 + 3$
解得$ a = -\frac{3}{4} $，
因此抛物线解析式为$ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $，
水管高度为$x=0$时的$y$值，代入$x=0$：
$y = -\frac{3}{4}(0-1)^2 + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} = 2.25\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题核心是结合图像给出的顶点坐标选择顶点式设解析式，有效降低计算量，再代入已知点求解参数，最终计算对应位置的函数值即可，需要注意结合实际意义确定自变量和函数值的含义。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际喷水问题中的应用，解题思路如下：首先观察图像可知抛物线的顶点坐标为(1,3)，因此优先选择顶点式设二次函数解析式，简化计算；其次已知水柱落地时坐标为(3,0)，将该点代入解析式即可求出未知系数，确定函数解析式；最后水管的高度对应池中心即x=0处的函数值，代入x=0计算即可得到结果。
【解析】
设抛物线的解析式为顶点式$ y = a(x-h)^2 + k $，
由题意可知抛物线顶点为$(1,3)$，因此代入得$ y = a(x-1)^2 + 3 $，
因为水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3,0)$，将$x=3,y=0$代入解析式：
$0 = a(3-1)^2 + 3$
解得$ a = -\frac{3}{4} $，
因此抛物线解析式为$ y = -\frac{3}{4}(x-1)^2 + 3 $，
水管高度为$x=0$时的$y$值，代入$x=0$：
$y = -\frac{3}{4}(0-1)^2 + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} = 2.25\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题核心是结合图像给出的顶点坐标选择顶点式设解析式，有效降低计算量，再代入已知点求解参数，最终计算对应位置的函数值即可，需要注意结合实际意义确定自变量和函数值的含义。
【难度系数】
0.7
6. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后建立如图所示的平面直角坐标系，并标出相关数据(单位:m)，某学习小组
探究之后得出如下结论，其中正确的是 (
A.水面宽度为30 m
B.抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{25}x^2 -5$
C.最大水深为3.2 m
D.若池塘中水面的宽度减小为原来的一半，则最大水深减小为原来的$\frac{1}{3}$
探究之后得出如下结论，其中正确的是 (
C
)A.水面宽度为30 m
B.抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{25}x^2 -5$
C.最大水深为3.2 m
D.若池塘中水面的宽度减小为原来的一半，则最大水深减小为原来的$\frac{1}{3}$
答案
6. C
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的应用，解题思路如下：①首先根据抛物线的对称性，确定抛物线的顶点坐标和过的已知点，利用待定系数法求出抛物线的解析式；②结合坐标系中各点的坐标含义，依次计算验证每个选项的正误，其中水深是水面纵坐标与抛物线最低点纵坐标的距离，水面宽度是同一水平线与抛物线两个交点的横坐标之差。
【解析】
解：由图可知抛物线的顶点为$P(0,-5)$，且过点$B(15,0)$，抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=ax^2-5(a≠0)$。
将$B(15,0)$代入解析式得：
$0=a×15^2 -5$，解得$a=\frac{1}{45}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$。
逐一判断选项：
A. 由图可知当前水面对应点的横坐标为$\pm12$，水面宽度为$12-(-12)=24\,\mathrm{m}$，不是30m，A错误；
B. 已求得抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$，不是$y=\frac{1}{25}x^2 -5$，B错误；
C. 当$x=12$时，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=-1.8$，即水面纵坐标为-1.8，最大水深为$-1.8 - (-5)=3.2\,\mathrm{m}$，C正确；
D. 水面宽度减小为原来的一半，即宽度为12m，此时对应点横坐标为$\pm6$，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=-4.2$，此时水深为$-4.2 - (-5)=0.8\,\mathrm{m}$，$0.8≠ 3.2×\frac{1}{3}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题结合池塘截面的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，同时要注意区分坐标系中坐标的正负与实际长度的关系，结合题意计算判断即可。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际场景中的应用，解题思路如下：①首先根据抛物线的对称性，确定抛物线的顶点坐标和过的已知点，利用待定系数法求出抛物线的解析式；②结合坐标系中各点的坐标含义，依次计算验证每个选项的正误，其中水深是水面纵坐标与抛物线最低点纵坐标的距离，水面宽度是同一水平线与抛物线两个交点的横坐标之差。
【解析】
解：由图可知抛物线的顶点为$P(0,-5)$，且过点$B(15,0)$，抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=ax^2-5(a≠0)$。
将$B(15,0)$代入解析式得：
$0=a×15^2 -5$，解得$a=\frac{1}{45}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$。
逐一判断选项：
A. 由图可知当前水面对应点的横坐标为$\pm12$，水面宽度为$12-(-12)=24\,\mathrm{m}$，不是30m，A错误；
B. 已求得抛物线解析式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$，不是$y=\frac{1}{25}x^2 -5$，B错误；
C. 当$x=12$时，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=-1.8$，即水面纵坐标为-1.8，最大水深为$-1.8 - (-5)=3.2\,\mathrm{m}$，C正确；
D. 水面宽度减小为原来的一半，即宽度为12m，此时对应点横坐标为$\pm6$，代入解析式得$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=-4.2$，此时水深为$-4.2 - (-5)=0.8\,\mathrm{m}$，$0.8≠ 3.2×\frac{1}{3}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题结合池塘截面的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，同时要注意区分坐标系中坐标的正负与实际长度的关系，结合题意计算判断即可。
【难度系数】
0.6
7. 明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系. 明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动的水平距离$x$(单位:m)与竖直高度$y$(单位:m)的数据如下表. 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为 (
A.6 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
D
)A.6 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
答案
7. D
解析
【分析】
首先根据表格中x=2和x=6时y值相等，可判断二次函数的对称轴为直线x=4，由此确定顶点坐标为(4,3.6)，选择顶点式设出二次函数解析式，代入表格中已知的点(0,2)求出系数a，得到完整解析式。实心球落地时竖直高度y=0，令解析式中y=0，求解得到的正根即为从起点到落地点的水平距离。
【解析】
由表格数据可知，当x=2和x=6时，y的值均为3.2，因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{2+6}{2}=4$，顶点坐标为$(4,3.6)$。
设二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，将点$(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-4)^2+3.6$
$16a=2-3.6$
解得$a=-0.1$
因此二次函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$
实心球落地时$y=0$，令$y=0$：
$0=-0.1(x-4)^2+3.6$
整理得$(x-4)^2=36$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$（水平距离为正数，舍去负根）
因此实心球从起点到落地点的水平距离为10m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是利用二次函数的对称性简化解析式的求解过程，最后要注意结合实际场景对解得的自变量值进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先根据表格中x=2和x=6时y值相等，可判断二次函数的对称轴为直线x=4，由此确定顶点坐标为(4,3.6)，选择顶点式设出二次函数解析式，代入表格中已知的点(0,2)求出系数a，得到完整解析式。实心球落地时竖直高度y=0，令解析式中y=0，求解得到的正根即为从起点到落地点的水平距离。
【解析】
由表格数据可知，当x=2和x=6时，y的值均为3.2，因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{2+6}{2}=4$，顶点坐标为$(4,3.6)$。
设二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，将点$(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-4)^2+3.6$
$16a=2-3.6$
解得$a=-0.1$
因此二次函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$
实心球落地时$y=0$，令$y=0$：
$0=-0.1(x-4)^2+3.6$
整理得$(x-4)^2=36$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$（水平距离为正数，舍去负根）
因此实心球从起点到落地点的水平距离为10m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是利用二次函数的对称性简化解析式的求解过程，最后要注意结合实际场景对解得的自变量值进行取舍。
【难度系数】
0.7
8. 小宇喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析,下面是他对某次足球射门路线的分析.在如图所示的平面直角坐标系中,点O是原点,小宇从球门正前方8 m的点A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球离球门OB的水平距离为2 m时,球到达最高点,此时球离地面3 m.
(1)求抛物线(足球的飞行路线)对应的函数解析式.
(2)已知球门高OB为2.44 m,通过计算判断球能否被射进球门(不考虑其他因素).
(1)求抛物线(足球的飞行路线)对应的函数解析式.
(2)已知球门高OB为2.44 m,通过计算判断球能否被射进球门(不考虑其他因素).
答案
8. (1)由题意得A(8,0),抛物线的顶点坐标为(2,3),
∴ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$.
∵ 点A(8,0)在抛物线上,
∴ $a(8-2)^2+3=0$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)
∵ 当x=0时,$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}＞2.44$,
∴ 球不能被射进球门.
∴ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$.
∵ 点A(8,0)在抛物线上,
∴ $a(8-2)^2+3=0$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)
∵ 当x=0时,$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}＞2.44$,
∴ 球不能被射进球门.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，首先提取题目中的关键信息：抛物线的顶点为最高点，坐标是(2,3)，且抛物线经过落地点A(8,0)。已知抛物线顶点时，选择顶点式设解析式最为简便，将点A坐标代入即可求出未知参数，得到完整解析式。
(2) 判断能否进球门时，首先明确球门位置对应坐标系中x=0的位置，只需将x=0代入已求得的解析式，算出对应y值（球到球门处的高度），再和球门高度2.44m比较即可得出结论：若y＜2.44则能进球，反之则不能。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为(2,3)，且过点A(8,0)。
设抛物线对应的函数解析式为顶点式$y=a(x-2)^2+3$（$a≠0$）。
将A(8,0)代入解析式得：
$a(8-2)^2+3=0$
$36a+3=0$
解得$a=-\frac{1}{12}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门对应x=0的位置，将x=0代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$
因为$\frac{8}{3}\approx2.67＞2.44$，说明球到达球门处的高度高于球门高度。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能被射进球门
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；函数值计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确提取题目中的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，再结合实际条件计算判断，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式时，首先提取题目中的关键信息：抛物线的顶点为最高点，坐标是(2,3)，且抛物线经过落地点A(8,0)。已知抛物线顶点时，选择顶点式设解析式最为简便，将点A坐标代入即可求出未知参数，得到完整解析式。
(2) 判断能否进球门时，首先明确球门位置对应坐标系中x=0的位置，只需将x=0代入已求得的解析式，算出对应y值（球到球门处的高度），再和球门高度2.44m比较即可得出结论：若y＜2.44则能进球，反之则不能。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为(2,3)，且过点A(8,0)。
设抛物线对应的函数解析式为顶点式$y=a(x-2)^2+3$（$a≠0$）。
将A(8,0)代入解析式得：
$a(8-2)^2+3=0$
$36a+3=0$
解得$a=-\frac{1}{12}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门对应x=0的位置，将x=0代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$
因为$\frac{8}{3}\approx2.67＞2.44$，说明球到达球门处的高度高于球门高度。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能被射进球门
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；函数值计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确提取题目中的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，再结合实际条件计算判断，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
