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9. 如图有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB=10 m，BC=2.4 m.
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线对应的函数解析式.
(2)若一辆高为4 m，宽为2 m装有集装箱的汽车要通过隧道，汽车靠近隧道的一侧距隧道壁m m，既不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，m的取值范围是多少？
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线对应的函数解析式.
(2)若一辆高为4 m，宽为2 m装有集装箱的汽车要通过隧道，汽车靠近隧道的一侧距隧道壁m m，既不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，m的取值范围是多少？
答案
9. (1)设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx$.
由题意知,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m,
∴ 抛物线的顶点坐标为(5,2.5),且过点(10,0),
则有$\begin{cases}25a+5b=2.5,\\100a+10b=0,\end{cases}$
∴ $a=-0.1,b=1$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+x$.
(2)由题意,得$y=-0.1x^2+x=-0.1(x-5)^2+2.5$,
当$y=4-2.4=1.6$时,$-0.1(x-5)^2+2.5=1.6$,
解得$x_1=2,x_2=8$.
当x取2或8时,集装箱刚好碰到隧道的顶部,
当m=3时,此时刚好违反交通规则.
∵ 汽车靠近隧道的一侧距隧道壁m m,既不会碰到隧道的顶部,又不违反交通规则,
∴ $2＜m＜3$.
由题意知,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m,
∴ 抛物线的顶点坐标为(5,2.5),且过点(10,0),
则有$\begin{cases}25a+5b=2.5,\\100a+10b=0,\end{cases}$
∴ $a=-0.1,b=1$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1x^2+x$.
(2)由题意,得$y=-0.1x^2+x=-0.1(x-5)^2+2.5$,
当$y=4-2.4=1.6$时,$-0.1(x-5)^2+2.5=1.6$,
解得$x_1=2,x_2=8$.
当x取2或8时,集装箱刚好碰到隧道的顶部,
当m=3时,此时刚好违反交通规则.
∵ 汽车靠近隧道的一侧距隧道壁m m,既不会碰到隧道的顶部,又不违反交通规则,
∴ $2＜m＜3$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先观察坐标系发现抛物线过原点，因此可设解析式为$y=ax^2+bx$。结合题意：隧道总高4.9m，矩形部分高2.4m，因此抛物线的最大高度为$4.9-2.4=2.5$m；矩形长10m，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(10,0)$，对称轴为$x=5$，可得顶点坐标为$(5,2.5)$。将顶点和$(10,0)$代入解析式即可求解参数。
(2) 汽车高4m，矩形部分高2.4m，因此需要抛物线部分高度至少为$4-2.4=1.6$m，令$y=1.6$求解对应的x值，得到碰顶的临界位置。再结合双向隧道不越中线（中线为$x=5$）、车宽2m的条件，推导距离隧道壁的m的取值范围。
【解析】
(1) 由坐标系可知抛物线过原点$(0,0)$，设抛物线解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
根据题意，抛物线顶点纵坐标为$4.9-2.4=2.5$，与x轴另一交点为$(10,0)$，对称轴为$x=5$，因此顶点坐标为$(5,2.5)$。
将$(5,2.5)$和$(10,0)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}25a+5b=2.5\\100a+10b=0\end{cases}$
解得$a=-0.1$，$b=1$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-0.1x^2+x$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=-0.1(x-5)^2+2.5$。
令$y=4-2.4=1.6$，代入得：
$-0.1(x-5)^2+2.5=1.6$
解得$x_1=2$，$x_2=8$，即$x＜2$或$x＞8$时汽车会碰顶。
设汽车距右侧隧道壁的距离为$m$ m，车宽2m，则汽车右边缘x坐标为$10-m$，左边缘x坐标为$8-m$：
不碰顶需满足$10-m≤8$，即$m≥2$；不违反交通规则（不越中线$x=5$）需满足$8-m≥5$，即$m≤3$，取等时刚好碰顶或压线，因此$2＜m＜3$。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+x$
(2) $2＜m＜3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的高度、宽度、交通规则等条件转化为二次函数的代数条件，建立数学模型求解，同时要注意结合实际意义判断取值范围的端点是否可取。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，先观察坐标系发现抛物线过原点，因此可设解析式为$y=ax^2+bx$。结合题意：隧道总高4.9m，矩形部分高2.4m，因此抛物线的最大高度为$4.9-2.4=2.5$m；矩形长10m，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(10,0)$，对称轴为$x=5$，可得顶点坐标为$(5,2.5)$。将顶点和$(10,0)$代入解析式即可求解参数。
(2) 汽车高4m，矩形部分高2.4m，因此需要抛物线部分高度至少为$4-2.4=1.6$m，令$y=1.6$求解对应的x值，得到碰顶的临界位置。再结合双向隧道不越中线（中线为$x=5$）、车宽2m的条件，推导距离隧道壁的m的取值范围。
【解析】
(1) 由坐标系可知抛物线过原点$(0,0)$，设抛物线解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
根据题意，抛物线顶点纵坐标为$4.9-2.4=2.5$，与x轴另一交点为$(10,0)$，对称轴为$x=5$，因此顶点坐标为$(5,2.5)$。
将$(5,2.5)$和$(10,0)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}25a+5b=2.5\\100a+10b=0\end{cases}$
解得$a=-0.1$，$b=1$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-0.1x^2+x$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=-0.1(x-5)^2+2.5$。
令$y=4-2.4=1.6$，代入得：
$-0.1(x-5)^2+2.5=1.6$
解得$x_1=2$，$x_2=8$，即$x＜2$或$x＞8$时汽车会碰顶。
设汽车距右侧隧道壁的距离为$m$ m，车宽2m，则汽车右边缘x坐标为$10-m$，左边缘x坐标为$8-m$：
不碰顶需满足$10-m≤8$，即$m≥2$；不违反交通规则（不越中线$x=5$）需满足$8-m≥5$，即$m≤3$，取等时刚好碰顶或压线，因此$2＜m＜3$。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+x$
(2) $2＜m＜3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的高度、宽度、交通规则等条件转化为二次函数的代数条件，建立数学模型求解，同时要注意结合实际意义判断取值范围的端点是否可取。
【难度系数】
0.6
10. 如图①,地面OB上两根等长立柱AO,CB之间悬挂一根近似成抛物线$y=\frac{1}{10}x^2 - \frac{4}{5}x + 3$的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离.
(2)因实际需要,在离AO 3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②),使左边抛物线$F_1$的最低点距MN 1 m,且离地面1.8 m,求MN的长.
(1)求绳子最低点离地面的距离.
(2)因实际需要,在离AO 3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②),使左边抛物线$F_1$的最低点距MN 1 m,且离地面1.8 m,求MN的长.
答案
10. (1)
∵ $\frac{1}{10}＞0$,
∴ 抛物线开口向上,抛物线的顶点为最低点.
∵ $y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3=\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{7}{5}$,
∴ 绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{5}$ m.
(2)由(1)得,抛物线$y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3$的对称轴为直线x=4,
∴ BO=8.
又 令x=0,得y=3.
∴ A(0,3),C(8,3).
由题意,得抛物线$F_1$的顶点坐标为(2,1.8).
设抛物线$F_1$对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$.
将A(0,3)代入,得4a+1.8=3.
解得a=0.3.
∴ 抛物线$F_1$对应的函数解析式为$y=0.3(x-2)^2+1.8$.
∵ 当x=3时,$y=0.3×1+1.8=2.1$,
∴ MN的长度为2.1 m.
∵ $\frac{1}{10}＞0$,
∴ 抛物线开口向上,抛物线的顶点为最低点.
∵ $y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3=\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{7}{5}$,
∴ 绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{5}$ m.
(2)由(1)得,抛物线$y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3$的对称轴为直线x=4,
∴ BO=8.
又 令x=0,得y=3.
∴ A(0,3),C(8,3).
由题意,得抛物线$F_1$的顶点坐标为(2,1.8).
设抛物线$F_1$对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$.
将A(0,3)代入,得4a+1.8=3.
解得a=0.3.
∴ 抛物线$F_1$对应的函数解析式为$y=0.3(x-2)^2+1.8$.
∵ 当x=3时,$y=0.3×1+1.8=2.1$,
∴ MN的长度为2.1 m.
解析
【分析】
(1) 绳子的形状是开口向上的抛物线，最低点对应抛物线的顶点，因此只需将二次函数的一般式转化为顶点式，顶点的纵坐标就是绳子最低点离地面的距离。
(2) 首先根据原抛物线解析式求出A点坐标和对称轴，进而得到OB的长度；再根据题意确定左侧抛物线$F_1$的顶点坐标，用待定系数法设顶点式，代入A点坐标求出$F_1$的解析式，最后将MN对应的横坐标代入解析式，得到的y值就是MN的长度。
【解析】
(1) $\because \frac{1}{10}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点。
将函数解析式配方得：
$y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3=\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{7}{5}$
$\therefore$ 绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{5}\ \mathrm{m}$。
(2) 由(1)可知原抛物线的对称轴为直线$x=4$，$\because$ AO、CB是等长立柱，A、C关于对称轴对称，$\therefore BO=8$。
令$x=0$，代入原解析式得$y=3$，$\therefore A(0,3)$，$C(8,3)$。
由题意得抛物线$F_1$的顶点坐标为$(2,1.8)$，设$F_1$的解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$。
将$A(0,3)$代入得：$4a+1.8=3$，解得$a=0.3$。
$\therefore$ 抛物线$F_1$的解析式为$y=0.3(x-2)^2+1.8$。
MN对应的横坐标为$x=3$，代入解析式得：
$y=0.3×(3-2)^2+1.8=2.1$，即MN的长为2.1 m。
【答案】
(1) $\frac{7}{5}\ \mathrm{m}$；(2) $2.1\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的位置、距离信息转化为二次函数的顶点、点坐标等代数条件，再利用二次函数的性质求解，能很好地锻炼学生的数学建模能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 绳子的形状是开口向上的抛物线，最低点对应抛物线的顶点，因此只需将二次函数的一般式转化为顶点式，顶点的纵坐标就是绳子最低点离地面的距离。
(2) 首先根据原抛物线解析式求出A点坐标和对称轴，进而得到OB的长度；再根据题意确定左侧抛物线$F_1$的顶点坐标，用待定系数法设顶点式，代入A点坐标求出$F_1$的解析式，最后将MN对应的横坐标代入解析式，得到的y值就是MN的长度。
【解析】
(1) $\because \frac{1}{10}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点。
将函数解析式配方得：
$y=\frac{1}{10}x^2-\frac{4}{5}x+3=\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{7}{5}$
$\therefore$ 绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{5}\ \mathrm{m}$。
(2) 由(1)可知原抛物线的对称轴为直线$x=4$，$\because$ AO、CB是等长立柱，A、C关于对称轴对称，$\therefore BO=8$。
令$x=0$，代入原解析式得$y=3$，$\therefore A(0,3)$，$C(8,3)$。
由题意得抛物线$F_1$的顶点坐标为$(2,1.8)$，设$F_1$的解析式为$y=a(x-2)^2+1.8$。
将$A(0,3)$代入得：$4a+1.8=3$，解得$a=0.3$。
$\therefore$ 抛物线$F_1$的解析式为$y=0.3(x-2)^2+1.8$。
MN对应的横坐标为$x=3$，代入解析式得：
$y=0.3×(3-2)^2+1.8=2.1$，即MN的长为2.1 m。
【答案】
(1) $\frac{7}{5}\ \mathrm{m}$；(2) $2.1\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的位置、距离信息转化为二次函数的顶点、点坐标等代数条件，再利用二次函数的性质求解，能很好地锻炼学生的数学建模能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
