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1. 已知一次函数$y=\frac{b}{a}x+c$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2+bx+c$在平面直角坐标系中的图象可能是（
A
）答案
1. A
解析
【分析】
解题时需先从已知的一次函数图象提取系数相关信息，再推导二次函数的图象特征：第一步，观察一次函数的走向和与y轴的交点位置，分别判断斜率$\frac{b}{a}$和常数项$c$的符号，得到$a$、$b$的符号关系和$c$的正负；第二步，结合二次函数的对称轴公式、与y轴交点的规律，逐一排除不符合特征的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数的系数符号：
由一次函数$y=\frac{b}{a}x+c$的图象可知，函数图象从左上向右下倾斜，斜率为负，因此$\frac{b}{a}＜0$，可得$a$和$b$异号；
同时一次函数与$y$轴交于正半轴，因此常数项$c＞0$。
2. 推导二次函数的图象特征：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
① 与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，结合$c＞0$，可知二次函数与$y$轴交于正半轴，可排除与$y$轴交于负半轴的选项；
② 对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由于$a$、$b$异号，因此$-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧，可排除对称轴在$y$轴左侧的选项。
综上，只有选项A符合上述所有特征。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是建立函数系数的符号和图象特征的对应关系，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，解题时注意先从已知函数提取系数信息，再推导未知函数的图象特征。
【难度系数】
0.7
解题时需先从已知的一次函数图象提取系数相关信息，再推导二次函数的图象特征：第一步，观察一次函数的走向和与y轴的交点位置，分别判断斜率$\frac{b}{a}$和常数项$c$的符号，得到$a$、$b$的符号关系和$c$的正负；第二步，结合二次函数的对称轴公式、与y轴交点的规律，逐一排除不符合特征的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数的系数符号：
由一次函数$y=\frac{b}{a}x+c$的图象可知，函数图象从左上向右下倾斜，斜率为负，因此$\frac{b}{a}＜0$，可得$a$和$b$异号；
同时一次函数与$y$轴交于正半轴，因此常数项$c＞0$。
2. 推导二次函数的图象特征：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
① 与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，结合$c＞0$，可知二次函数与$y$轴交于正半轴，可排除与$y$轴交于负半轴的选项；
② 对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由于$a$、$b$异号，因此$-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧，可排除对称轴在$y$轴左侧的选项。
综上，只有选项A符合上述所有特征。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是建立函数系数的符号和图象特征的对应关系，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，解题时注意先从已知函数提取系数信息，再推导未知函数的图象特征。
【难度系数】
0.7
2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=ax^2+bx$的图象可能是（
B
）答案
2. B
解析
【分析】
本题需要判断同参数的一次函数与二次函数的图象是否匹配，解题思路如下：①两个函数的系数a是同一个参数，先通过二次函数的开口方向确定a的正负，再对比一次函数的升降趋势是否和a的正负一致，排除a符号矛盾的选项；②对剩余选项，结合二次函数的对称轴位置或一次函数与y轴的交点，判断b的正负，验证两个函数对应的b符号是否一致，最终确定正确选项。
【解析】
我们结合函数图象与系数的关系逐一验证：
1. 先判断参数a的一致性：
二次函数$y=ax^2+bx$中，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；
一次函数$y=ax+b$中，$a＞0$时图象呈上升趋势，$a＜0$时图象呈下降趋势。
若二者a的符号矛盾，直接排除该选项。
2. 再判断参数b的一致性：
对于剩下a符号一致的选项：
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴在y轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，结合已确定的a符号可推导b的正负；
一次函数$y=ax+b$中，与y轴交点在正半轴则$b＞0$，在负半轴则$b＜0$。
验证二者b的符号是否一致：
选项B中，二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数呈上升趋势也符合$a＞0$；二次函数对称轴在y轴右侧，代入$a＞0$可推得$b＜0$，一次函数与y轴交于负半轴也符合$b＜0$，a、b符号均一致，符合要求。其余选项均存在a或b符号矛盾的问题，均排除。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心解题技巧是抓住两个函数共有的参数a、b的符号一致性，先通过a的符号缩小可选范围，再通过b的符号锁定正确答案，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题需要判断同参数的一次函数与二次函数的图象是否匹配，解题思路如下：①两个函数的系数a是同一个参数，先通过二次函数的开口方向确定a的正负，再对比一次函数的升降趋势是否和a的正负一致，排除a符号矛盾的选项；②对剩余选项，结合二次函数的对称轴位置或一次函数与y轴的交点，判断b的正负，验证两个函数对应的b符号是否一致，最终确定正确选项。
【解析】
我们结合函数图象与系数的关系逐一验证：
1. 先判断参数a的一致性：
二次函数$y=ax^2+bx$中，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；
一次函数$y=ax+b$中，$a＞0$时图象呈上升趋势，$a＜0$时图象呈下降趋势。
若二者a的符号矛盾，直接排除该选项。
2. 再判断参数b的一致性：
对于剩下a符号一致的选项：
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴在y轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，结合已确定的a符号可推导b的正负；
一次函数$y=ax+b$中，与y轴交点在正半轴则$b＞0$，在负半轴则$b＜0$。
验证二者b的符号是否一致：
选项B中，二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数呈上升趋势也符合$a＞0$；二次函数对称轴在y轴右侧，代入$a＞0$可推得$b＜0$，一次函数与y轴交于负半轴也符合$b＜0$，a、b符号均一致，符合要求。其余选项均存在a或b符号矛盾的问题，均排除。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心解题技巧是抓住两个函数共有的参数a、b的符号一致性，先通过a的符号缩小可选范围，再通过b的符号锁定正确答案，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y_1 = mx + n$与抛物线$y_2 = ax^2 + bx - 3$相交于点A,B,现有下列结论:①当$-2＜x＜3$时,$y_1 ＞ y_2$;②$x=3$是方程$ax^2 + bx -3=0$的一个解;③当$x=\frac{1}{2}$时,函数$y=-ax^2 + (m - b)x + n + 3$有最大值;④对于抛物线$y_2 = ax^2 + bx -3$,当$-2＜x＜3$时,$0＜y_2 ＜5$.其中正确结论的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. C
解析
【分析】
首先从图像提取核心已知条件：直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$的交点为$A(3,0)$、$B(-2,5)$，且抛物线开口向上。接下来逐个验证结论：①判断函数值大小可看图像上下位置，两交点之间直线在抛物线上方，即可验证；②方程$ax^2+bx-3=0$的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，已知$x=3$时$y_2=0$，即可验证；③先将待分析函数变形为$y=y_1-y_2$，结合两函数交点得到该函数的零点，再根据$y_1-y_2$的正负分布判断开口方向，进而确定最值位置；④观察抛物线在$-2＜x＜3$区间的取值，抛物线顶点在x轴下方，存在$y_2＜0$的部分，即可验证。
【解析】
由图像可得：直线与抛物线的交点为$A(3,0)$、$B(-2,5)$，抛物线开口向上。
1. 验证结论①：当$-2＜x＜3$时，直线图像在抛物线上方，因此$y_1＞y_2$，①正确；
2. 验证结论②：当$x=3$时，$y_2=a×3^2+b×3-3=0$，因此$x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个解，②正确；
3. 验证结论③：将函数$y=-ax^2+(m-b)x+n+3$变形：
$y=mx+n-(ax^2+bx-3)=y_1-y_2$
由两函数交点可知，$x=-2$和$x=3$时$y_1-y_2=0$，即该函数的零点为$x=-2$、$x=3$。
结合①可知：$-2＜x＜3$时$y_1-y_2＞0$，$x＜-2$或$x＞3$时$y_1-y_2＜0$，说明该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$，因此$x=\frac{1}{2}$时该函数有最大值，③正确；
4. 验证结论④：抛物线开口向上，顶点在x轴下方，因此$-2＜x＜3$时$y_2$存在小于0的部分，并非$0＜y_2＜5$，④错误。
综上，正确结论共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，一次函数的图像，函数与方程不等式的关系
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合题，解题核心是灵活运用数形结合思想，通过图像位置判断函数值大小关系，同时要掌握函数式的合理变形技巧。
【难度系数】
0.6
首先从图像提取核心已知条件：直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$的交点为$A(3,0)$、$B(-2,5)$，且抛物线开口向上。接下来逐个验证结论：①判断函数值大小可看图像上下位置，两交点之间直线在抛物线上方，即可验证；②方程$ax^2+bx-3=0$的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，已知$x=3$时$y_2=0$，即可验证；③先将待分析函数变形为$y=y_1-y_2$，结合两函数交点得到该函数的零点，再根据$y_1-y_2$的正负分布判断开口方向，进而确定最值位置；④观察抛物线在$-2＜x＜3$区间的取值，抛物线顶点在x轴下方，存在$y_2＜0$的部分，即可验证。
【解析】
由图像可得：直线与抛物线的交点为$A(3,0)$、$B(-2,5)$，抛物线开口向上。
1. 验证结论①：当$-2＜x＜3$时，直线图像在抛物线上方，因此$y_1＞y_2$，①正确；
2. 验证结论②：当$x=3$时，$y_2=a×3^2+b×3-3=0$，因此$x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个解，②正确；
3. 验证结论③：将函数$y=-ax^2+(m-b)x+n+3$变形：
$y=mx+n-(ax^2+bx-3)=y_1-y_2$
由两函数交点可知，$x=-2$和$x=3$时$y_1-y_2=0$，即该函数的零点为$x=-2$、$x=3$。
结合①可知：$-2＜x＜3$时$y_1-y_2＞0$，$x＜-2$或$x＞3$时$y_1-y_2＜0$，说明该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$，因此$x=\frac{1}{2}$时该函数有最大值，③正确；
4. 验证结论④：抛物线开口向上，顶点在x轴下方，因此$-2＜x＜3$时$y_2$存在小于0的部分，并非$0＜y_2＜5$，④错误。
综上，正确结论共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，一次函数的图像，函数与方程不等式的关系
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合题，解题核心是灵活运用数形结合思想，通过图像位置判断函数值大小关系，同时要掌握函数式的合理变形技巧。
【难度系数】
0.6
4. 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，部分抛物线如图所示，现有下列判断：①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$9a-3b+c=0$；④若点$(-0.5,y_1),(-2,y_2)$均在抛物线上，则$y_1＞y_2$；⑤$5a-2b+c＜0$。其中正确的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4. B
解析
【分析】
解题思路：首先根据抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴公式得到b与a的关系及b的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号，确定②；利用抛物线的对称性，结合对称轴为x=-1和已知的x轴交点位置，推导另一个交点坐标，代入解析式判断③；根据二次函数开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的性质，比较两个点到对称轴的距离，判断④；将b=2a代入5a-2b+c化简，结合特殊点的函数值判断⑤，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
先推导基础结论：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，$\because a＞0$，$\therefore b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$；
4. 抛物线与x轴的一个交点为$x=1$，结合对称轴$x=-1$，由对称性可得另一个交点为$x=-1-(1-(-1))=-3$。
逐个判断结论：
① $a＞0、b＞0、c＜0$，$\therefore abc＜0$，①错误；
② 抛物线与x轴有2个交点，$\therefore$ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，②正确；
③ 当$x=-3$时，$y=9a-3b+c=0$，③正确；
④ 点$(-0.5,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-0.5-(-1)|=0.5$，点$(-2,y_2)$到对称轴的距离为$|-2-(-1)|=1$，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$\therefore y_2＞y_1$，④错误；
⑤ $\because b=2a$，$\therefore 5a-2b+c=5a-4a+c=a+c$，又$\because x=1$时，$y=a+b+c=a+2a+c=3a+c=0$，得$c=-3a$，代入得$a+c=a-3a=-2a＜0$，$\therefore 5a-2b+c＜0$，⑤正确。
综上，②③⑤共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考法，需要结合图象特征推导系数关系，同时灵活运用对称性、增减性判断函数值的大小，解题时要注意结合特殊点的函数值代入分析。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先根据抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴公式得到b与a的关系及b的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号，确定②；利用抛物线的对称性，结合对称轴为x=-1和已知的x轴交点位置，推导另一个交点坐标，代入解析式判断③；根据二次函数开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的性质，比较两个点到对称轴的距离，判断④；将b=2a代入5a-2b+c化简，结合特殊点的函数值判断⑤，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
先推导基础结论：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，$\because a＞0$，$\therefore b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$；
4. 抛物线与x轴的一个交点为$x=1$，结合对称轴$x=-1$，由对称性可得另一个交点为$x=-1-(1-(-1))=-3$。
逐个判断结论：
① $a＞0、b＞0、c＜0$，$\therefore abc＜0$，①错误；
② 抛物线与x轴有2个交点，$\therefore$ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，②正确；
③ 当$x=-3$时，$y=9a-3b+c=0$，③正确；
④ 点$(-0.5,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-0.5-(-1)|=0.5$，点$(-2,y_2)$到对称轴的距离为$|-2-(-1)|=1$，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$\therefore y_2＞y_1$，④错误；
⑤ $\because b=2a$，$\therefore 5a-2b+c=5a-4a+c=a+c$，又$\because x=1$时，$y=a+b+c=a+2a+c=3a+c=0$，得$c=-3a$，代入得$a+c=a-3a=-2a＜0$，$\therefore 5a-2b+c＜0$，⑤正确。
综上，②③⑤共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考法，需要结合图象特征推导系数关系，同时灵活运用对称性、增减性判断函数值的大小，解题时要注意结合特殊点的函数值代入分析。
【难度系数】
0.65
