第二学时 反证法
问题导引
1. 日常生活中,想要证明一件事情不成立,除了直接说明,还有什么简便方法?
2. 当命题从正面很难推理证明时,我们可以采用什么证明方法?
知识梳理

解：
1. 可以先假设这件事情成立，再从这个假设出发进行推理，若推导出与已知客观事实相矛盾的结论，就可以证明这件事情不成立，该方法简便易行。
2. 当命题从正面很难推理证明时，我们可以采用反证法。

【分析】
本题围绕反证法的基础应用设置问题，第1问需思考证明不成立的间接方法，核心是反证法的推理逻辑；第2问需明确正面难证时的证明方法，对应反证法的适用场景。解题时需结合反证法的定义，梳理间接证明的思路，对应两个问题的需求作答。
【解析】
1. 证明一件事情不成立，除直接说明外，可采用反证法：先假设这件事情成立，再从该假设出发进行推理，若推导出与已知客观事实、定理或结论相矛盾的结果，即可证明原事情不成立，该方法简便易行。
2. 当命题从正面很难推理证明时，可采用反证法，反证法是间接证明的重要方法，适用于正面突破困难的命题。
【答案】
1. 可以先假设这件事情成立，再从这个假设出发进行推理，若推导出与已知客观事实相矛盾的结论，就可以证明这件事情不成立，该方法简便易行。
2. 当命题从正面很难推理证明时，我们可以采用反证法。
【知识点】
反证法、间接证明
【点评】
本题是反证法的入门导引问题，帮助学生理解反证法的核心思路与适用场景，为后续学习反证法的具体应用奠定基础，属于基础概念类问题。
【难度系数】
0.2

知识点 反证法
反证法是一种间接证明方法. 先提出与相反的假设,再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果,然后由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.
重点提示
1. 反证法的核心逻辑
否定结论→推出矛盾→肯定结论
2. 反证法的三个步骤
(1)反设:假设命题的结论不成立(即结论的反面成立).
(2)归谬:从假设出发,经过推理,得出与题设、定义、基本事实、定理相矛盾.
(3)结论:因为推理正确,产生矛盾的原因是假设错误,所以原命题成立.
3. 常见否定用语

原命题的结论

【分析】
要解决这个问题，需掌握反证法的定义：反证法是间接证明方法，其核心的第一步是提出与原命题结论相反的假设，后续通过推导矛盾来证明原命题成立，因此空白处应填写反设对应的对象。
【解析】
根据反证法的定义，反证法的“反设”步骤是假设命题的结论不成立，也就是提出与原命题结论相反的假设，因此题干中空白处应填写“原命题的结论”。
【答案】
原命题的结论
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基础概念，属于反证法相关知识的入门考查，需要学生准确理解反证法的核心逻辑和步骤，是反证法知识点的基础应用。
【难度系数】
0.3

例 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于$45°$”，应假设 （）

A.两锐角都大于$45°$
B.有一个锐角小于$45°$
C.有一个锐角大于$45°$
D.两锐角都小于$45°$
答案:A
方法点拨 “至少有一个……”的否定为一个都没有。

答案:A
方法点拨 “至少有一个……”的否定为一个都没有。

【分析】
本题考查反证法的应用，反证法的核心是先假设命题的结论不成立，即找出原结论的否定形式。原命题的结论是“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，需明确“至少有一个”这类表述的否定规则，再对应选项得出答案。
【解析】
用反证法证明命题时，第一步要假设结论不成立。原结论“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”中，“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即直角三角形的两个锐角都大于45°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础应用题，关键在于掌握“至少有一个”的否定形式，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8